Factorización de trinomios: Probar si el coeficiente es diferente de 1

Resolvamos la ecuación dada:

$4x^2-14x-8=0$

$$En lugar de dividir ambos lados de la ecuación por el factor común de todos los términos en la ecuación (que es el número 2), elegiremos factorizarlo usando paréntesis:

$4x^2-14x-8=0 \\ 2(2x^2-7x-4)=0$

Ahora, recuerda que multiplicar todos los términos en la expresión dará como resultado 0 solo si al menos uno de los términos es igual a cero.

Sin embargo, el primer factor en la expresión que obtuvimos es el número 2, que obviamente no es cero, por lo tanto:

$2x^2-7x-4 =0$Ahora notemos que el coeficiente del término cuadrático (al cuadrado) es mayor que 1.

Por supuesto, podemos resolver la ecuación usando la fórmula cuadrática, pero preferimos, por el bien de mejorar nuestras habilidades, continuar y factorizar la expresión en el lado izquierdo.

Usaremos el método de agrupación.

Al igual que en el método rápido de factorización de trinomios (que en realidad es un caso especial del método general de factorización de trinomios), buscaremos un par de números $m,\hspace{2pt}n$cuyo producto nos dé el producto del coeficiente del término cuadrático y el término constante en la expresión general:

$ax^2+bx+c$y su suma.

Así, buscaremos un par de números: $m,\hspace{2pt}n$ que satisfagan:

$m\cdot n=a\cdot c\\ m+n=b$ Una vez que encontremos el par de números que satisfacen ambas condiciones mencionadas (si es que se pueden encontrar) separaremos el coeficiente del término en la primera potencia en consecuencia y factorizaremos por agrupación.

Volvamos entonces al problema y demostremos:

En la ecuación:

$2x^2-7x-4 =0$ Buscaremos un par de números $m,\hspace{2pt}n$ que satisfagan:

$m\cdot n=2\cdot (-4)\\ m+n=-7 \\ \downarrow\\ m\cdot n=-8\\ m+n=-7 \\$Continuaremos, tal como lo hacemos en el método rápido de factorización de trinomios.

Del primer requisito mencionado, es decir, de la multiplicación, notemos que el producto de los números que estamos buscando debe dar un resultado negativo y por lo tanto podemos concluir que los dos números tienen signos diferentes, esto es según las leyes de multiplicación, y ahora recordaremos que los posibles factores del número 8 son 2 y 4 u 8 y 1, cumpliendo el segundo requisito mencionado, junto con el hecho de que los signos de los números que estamos buscando son diferentes entre sí nos llevará a la conclusión de que la única posibilidad para los dos números que estamos buscando es:

$\begin{cases} m=-8\\ n=1 \end{cases}$A partir de aquí, a diferencia del método rápido de factorización de trinomios(donde este paso en realidad se omite y se factoriza directamente, pero definitivamente existe), separaremos los factores del coeficiente según el par de números $m,\hspace{2pt}n$que encontramos:

$2x^2\underline{\textcolor{blue}{-7x}}-4 =0\\ \downarrow\\ 2x^2\underline{\textcolor{blue}{(-8+1)x}}-4 =0\\ \downarrow\\ 2x^2\underline{\textcolor{blue}{-8x+x}}-4 =0\\$En el siguiente paso factorizaremos por agrupación:

Nos referiremos a dos grupos de términos, de modo que en cada grupo haya un término en la primera potencia (la elección de grupos no importa, siempre que se mantenga esta condición), en cada grupo - factorizaremos un factor común para que dentro de los paréntesis, en ambos grupos, obtengamos la misma expresión:

$$$\textcolor{green}{2x^2-8x}\textcolor{red}{+x-4} =0\\ \downarrow\\ \textcolor{green}{2x(x-4)}\textcolor{red}{+1(x-4)} =0\\$(En este caso, en el segundo grupo - que está marcado en rojo, no fue posible factorizar más, así que nos conformamos con factorizar el número 1 como factor común para énfasis),

Ahora, notemos que la expresión entre paréntesis en ambos grupos es idéntica y por lo tanto podemos referirnos a ella como un factor común para ambos grupos (que es un binomio) y factorizarlo fuera de los paréntesis:

$\textcolor{green}{2x}\underline{(x-4)}\textcolor{red}{+1}\underline{(x-4)}=0\\ \downarrow\\ \underline{(x-4)}(\textcolor{green}{2x}\textcolor{red}{+1})=0$Así hemos obtenido una expresión factorizada en el lado izquierdo.

Resumamos esta técnica de factorización:

$2x^2-7x-4 =0 \\ \begin{cases} m\cdot n=2\cdot (-4)=-8\\ m+n=-7 \\\end{cases}\leftrightarrow m,\hspace{2pt}n=?\\ \downarrow\\ m\stackrel{!}{= }-8\\ n\stackrel{!}{= }1\\ \downarrow\\ 2x^2\underline{\textcolor{blue}{-7x}}-4 =0\\ \downarrow\\ 2x^2\underline{\textcolor{blue}{-8x+x}}-4 =0\\ \downarrow\\ \textcolor{green}{2x^2-8x}\textcolor{red}{+x-4} =0\\ \downarrow\\ \textcolor{green}{2x}\underline{(x-4)}\textcolor{red}{+1}\underline{(x-4)}=0\\ \downarrow\\ \underline{(x-4)}(\textcolor{green}{2x}\textcolor{red}{+1})=0$Esta técnica es muy importante - recomendamos revisarla brevemente antes de continuar.

Continuemos resolviendo la ecuación, obtuvimos:

$(x-4)(2x+1)=0$

Aquí recordamos que multiplicar los términos en la expresión dará como resultado 0 solo si al menos uno de los términos en la expresión es igual a cero.

Por lo tanto, separaremos las dos partes de la ecuación y las resolveremos por separado, aislando la variable:

$x-4=0\\ \boxed{x=4}$O :

$2x+1=0\\ 2x=-1\text{/}:2\\ \boxed{x=-\frac{1}{2}}$

Resumamos la solución de la ecuación:

$4x^2-14x-8=0 \\ 2(2x^2-7x-4)=0 \\ \downarrow\\ 2x^2-7x-4 =0 \\ \begin{cases} m\cdot n=2\cdot (-4)=-8\\ m+n=-7 \\\end{cases}\leftrightarrow m,\hspace{2pt}n=?\\ \downarrow\\ m\stackrel{!}{= }-8\\ n\stackrel{!}{= }1\\ \downarrow\\ 2x^2\textcolor{blue}{-8x+x}-4 =0 \\ \downarrow\\ 2x\underline{(x-4)}+1\cdot\underline{(x-4)}=0\\ \underline{(x-4)}(2x+1)=0\\ \downarrow\\ x-4=0\rightarrow\boxed{x=4}\\ 2x+1=0\rightarrow\boxed{x=-\frac{1}{2}}\\ \downarrow\\ \boxed{x=4,-\frac{1}{2}}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción a.