El Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras es uno de los teoremas más célebres en el ámbito de las matemáticas y uno de los temas más temidos entre los estudiantes. No es casualidad que se trate de uno de los teoremas matemáticos más comunes, con el que nos seguimos topando incluso años después de haber salido de las instituciones educativas.

Este teorema se le atribuye a Pitágoras de Samos, nacido en 570 AC, sabio griego a quien debemos también la palabra filósofo

¿Qué establece el Teorema de Pitágoras? El Teorema de Pitágoras establece la relación existente entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

En este artículo, te explicaremos de manera sencilla y práctica que es el Teorema de Pitágoras y te daremos algunos ejemplos, así que deja el miedo a un lado y adéntrate.

Para comenzar, es esencial aclarar algunos puntos importantes:

• Un triángulo es un polígono con tres lados;
• Los ángulos de cualquier triángulo suman $180^o$ grados;
• Un triángulo rectángulo es un triángulo en donde uno de los ángulos tiene $90^o$ grados;
• Un ángulo recto es un ángulo de $90^o$ grados;
• En todo triángulo rectángulo los lados adyacentes al ángulo recto reciben el nombre de «catetos», es decir, los catetos son los lados que encierran el ángulo recto.
• el lado más largo de un triángulo rectángulo, aquel que se opone al ángulo recto, recibe el nombre de «hipotenusa».

Podemos usar el Teorema de Pitágoras para entender que es un teorema.

Un teorema es una afirmación demostrable que vincula dos proposiciones:

se parte de una primera proposición que llamamos hipótesis para afirmar una segunda proposición que llamamos tesis.

El enunciado de un teorema afirma que si la hipótesis es cierta entonces la tesis es cierta.

La demostración de un teorema es la parte más difícil del mismo y generalmente se deja en manos de matemáticos. Lo importante es que una vez demostrado un teorema, podemos estar seguros de usar el enunciado del teorema como una verdad permanente.

Volviendo al Teorema de Pitágoras, destaquemos cual es la hipótesis y cuál la tesis. Para ello reformulamos el enunciado del teorema usando las expresiones si y entonces del siguiente modo:

El Teorema de Pitágoras afirma que Si:

1.Un triangulo es rectangulo, es decir, el valor de uno de los ángulos de un triángulo es $90^o$ (hipótesis)

Entonces:

2.El cuadrado del lado más largo del triángulo es la suma de los cuadrados de los otros dos lados (tesis)

En el Teorema de Pitágoras, el recíproco del teorema también es cierto, es decir, Si:

1.El cuadrado del lado más largo de un triángulo es la suma de los cuadrados de los otros dos lados (hipótesis)

Entonces:

2.El triangulo es rectangulo, es decir, el valor de uno de los ángulos del triángulo es $90^o$ (tesis)

El Teorema de Pitágoras es, si se puede decir, la piedra fundacional de la geometría cartesiana, y por lo tanto se ha convertido en herramienta primordial en el desarrollo de las ciencias como las conocemos hoy día.

La importancia de este teorema proviene de la importancia del triángulo rectángulo, que es aquel triángulo que vincula la recta horizontal con la recta vertical (los catetos del triángulo). En efecto, la horizontal y la vertical siempre guardan entre sí un ángulo de $90^o$, que es el mismo ángulo que encierran siempre entre sí los catetos del triángulo rectángulo.

El Teorema de Pitágoras tiene aplicación y es usado en todas las áreas de las ciencias, ya que todas tienen fundamento matemático.

Si está interesado en aprender más sobre otros temas de triángulos, puede ingresar a uno de los siguientes artículos:

• Triángulo agudo
• Triángulo obtuso
• Triángulo escaleno
• Triángulo equilátero
• Triángulo isósceles
• Las aristas de un triángulo
• Área de un triángulo rectángulo
• Altura del triángulo
• ¿Cómo se calcula el perímetro de un triángulo?
• Congruencia de triángulos rectángulos (en el contexto del Teorema de Pitágoras)
• La aplicación del teorema de Pitágoras en un ortoedro o cuboide
• Ahora que ya hemos sentado las bases, podemos continuar con la explicación:

A continuación presentamos varias problemas con el teorema de pitágoras:

Halla el valor de $X$ en el siguiente triángulo:

Solución:

La imagen muestra un triángulo del cual conocemos la longitud de dos de sus lados y queremos conocer el valor del tercer lado.

Sabemos también que el triángulo mostrado es rectángulo porque un pequeño recuadro señala cual es el ángulo recto.

El teorema de Pitágoras dice que en un triángulo es rectángulo se cumple lo siguiente:

$c²=a²+b²$

En nuestro triángulo rectángulo

$a= 3$

$b=4$

$c=X$

Al reemplazar en la expresión algebraica del Teorema de Pitágoras los valores de nuestro triángulo, obtenemos la siguiente ecuación:

$X²=3²+4²$

$X²=9+16$

$X²=25$

Si ahora extraemos la raíz cuadrada a ambos miembros de la ecuación podemos despejar la $X$ y obtener el valor buscado

$X=\sqrt{25}$

$X=5$

Calcula la longitud $X$ en el siguiente triángulo rectángulo:

La imagen muestra un triángulo rectángulo del cual conocemos la longitud de dos de sus lados y queremos conocer el valor del tercer lado, en este caso uno de los catetos.

El teorema de Pitágoras dice que en un triángulo es rectángulo se cumple lo siguiente:

$c²=a²+b²$

En nuestro triángulo rectángulo

$a= 3$

$b=X$

$c=5$

Al reemplazar en la expresión algebraica del Teorema de Pitágoras los valores de nuestro triángulo, obtenemos la siguiente ecuación:

$5²=3²+X²$

$25=9+X²$

Para despejar la $X$ debemos comenzar restando $9$ a cada miembro de la ecuación

$25-9=X²$

$16=X²$

Extrayendo ahora la raíz cuadrada a ambos miembros de la ecuación obtenemos el valor de $X$

$\sqrt{16}=X$

$X=4$

Por tanto, la respuesta es: $4$ unidades, es decir, la longitud del cateto equivale a $4$ unidades.

¿Cuál es el valor de $X$ en el triángulo que vemos en la siguiente imagen?

Solución:

Nos encontramos con un triángulo rectángulo, que también es isósceles, pues dos de sus lados tienen la misma longitud.

En este caso conocemos del triángulo rectángulo la longitud de la hipotenusa y queremos conocer la longitud de cada cateto, sabiendo que ambos catetos tienen el mismo valor.

El teorema de Pitágoras dice que en un triángulo es rectángulo se cumple lo siguiente:

$c²=a²+b²$

En nuestro triángulo rectángulo

$a= X$

$b=X$

$c=10$

Al reemplazar en la expresión algebraica del Teorema de Pitágoras los valores de nuestro triángulo, obtenemos la siguiente ecuación:

$10²=X²+X²$

$100=2X²$

Para despejar la x debemos comenzar dividiendo entre $2$ cada miembro de la ecuación

$\frac{100}{2}=\frac{2X²}{2}$

$50=X²$

Extrayendo ahora la raíz cuadrada a ambos miembros de la ecuación obtenemos el valor de $X$

$\sqrt{50}=X$

$X=7.07$

El Teorema de Pitágoras se utiliza principalmente en ejercicios relacionados con los triángulos rectángulos en los que se facilita la longitud de ambos catetos para que hallemos la longitud de la hipotenusa.

También existe el teorema inverso, mediante el cual podemos demostrar que un triángulo determinado es rectángulo: un triángulo en el que la suma de ambos catetos al cuadrado es igual a la hipotenusa al cuadrado es un triángulo rectángulo.

El teorema de Pitágoras inverso (o a la inversa) enuncia lo siguiente:

Si se cumple en cierto triángulo que la suma del cuadrado de los catetos equivale al cuadrado de la hipotenusa, o sea:

Si:

$a^2+b^2=c^2$

se puede determinar que ¡dicho triángulo es un triángulo rectángulo!

Además, en ciertos casos podríamos ver que ya se conoce la hipotenusa, pero que hay que hallar uno de los lados del triángulo.

Practiquemos este tipo de casos aplicando el teorema de Pitágoras inverso:

Dado el triángulo rectángulo:

Sabemos que:

$AB= 6$

$CB= 2$

¿Cuál es la longitud del lado $AC$ ?

Solución

Sabiendo que se trata de un triángulo rectángulo, podremos aplicar el teorema de Pitágoras que dice que, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

Es decir, en nuestro ejercicio:

$ac^2+cb^2=ab^2$

Ahora colocaremos los datos que tenemos para descubrir la longitud de la arista $AC$

Colocaremos:

$ac^2+22=62$

Sigamos resolviendo:

$ac^2+4=36$

Transpongamos miembros y obtendremos:

$ac^2=32$

Despejemos la raíz y obtendremos:

$Ac=32=5.656$

Otro ejercicio:

Dado el triángulo:

Dado que:

$AC=4$

$CB=3$

$AB=5$

Determina si este triángulo es rectángulo o no.

Solución:

Podemos utilizar el teorema de Pitágoras inverso para descubrir si este triángulo es rectángulo o no.

Como hemos aprendido, el teorema de Pitágoras inverso enuncia que, si la suma de los cuadrados de los catetos equivale al cuadrado de la hipotenusa, se puede determinar que se trata de un triángulo rectángulo.

Colocaremos los datos en el teorema de Pitágoras y revisaremos para ver si se cumple aquí un enunciado verdadero:

$4^2+3^2=5^2$

Sigamos viendo:

$16+9=25$

$25=25$

Efectivamente, tenemos un enunciado verdadero y esto quiere decir que podemos determinar, con total certeza, que éste es un triángulo rectángulo tal como lo enuncia el teorema de Pitágoras inverso.

El Teorema de Pitágoras aplicado en un triángulo isósceles

El teorema de Pitágoras se ocupa de los triángulos rectángulos, pero, si hacemos memoria y recordamos las características de los triángulos isósceles, nos percataremos de que la altura de la base (que también es la mediana de la base y la bisectriz), divide el triángulo isósceles en $2$ triángulos rectángulos congruentes.

Veámoslo en una ilustración:

Como podemos observar, la altura ha dividido el triángulo isósceles en $2$ triángulos rectángulos congruentes, por lo tanto

podremos hacer uso del teorema de Pitágoras ya que es aplicable a los triángulos rectángulos y, de este modo, resolver diversos ejercicios.

Practiquemos el uso del teorema de Pitágoras en un triángulo isósceles:

Dado el triángulo isósceles $ABC$

Se sabe que la altura equivale a la longitud de la base

También sabemos que la altura mide $6$ cm.

Halla la longitud del lado $AC$ .

Solución:

Sabemos que: $ad=cb=6$

Sabemos que en los triángulos isósceles la altura también es la mediana de la base, lo que implica que: $CB=DB$

Sabemos que la altura mide $6$ cm. y que es igual a la longitud de la base. De aquí podemos deducir que: $cd=db=3$

ya que la mediana corta la arista en $2$ .

Es así cómo podemos hallar la longitud de la arista $AB$ utilizando el teorema de Pitágoras ya que ahora se trata de un triángulo rectángulo.

Colocaremos en el teorema de Pitágoras los parámetros y hallaremos la longitud de la hipotenusa $AB$

Obtendremos:

$6^2+3^2=ab^2$

$36+9=ab^2$

$45=ab^2$

$ab=45=6.708$

Sabiendo que el triángulo $ABC$ es isósceles, podemos deducir que: $ac=ab$

Y, por consiguiente, $ac = 6.708$

Dado el triángulo

Tarea:

¿Cuál es el valor de $X$?

Solución:

Dado el triángulo

¿Cuál es el valor de $X$?

No caigas en la trampa, esta es una pregunta frustrante

Recuerda, en el Teorema de Pitágoras solo se puede usar un triángulo rectángulo. Este triángulo, según el dibujo, es un triángulo obtuso, por lo que el teorema no se aplica a él

Respuesta:

No es posible calcular, con la ayuda de la teoría de Pitágoras

Dado el triángulo $\triangle ABC$ :

Consigna:

Encontrar la longitud de $BC$

Solución:

Teorema de Pitágoras - Aplicar la fórmula

Dado el triángulo $\triangle ABC$ en el dibujo.

Escribir el Teorema de Pitágoras del triángulo rectángulo $\triangle ABC$

$AB²+BC²=AC²$

Colocamos las longitudes conocidas:

$5²+BC²=13²$

$25+BC²=169$

$BC²=169-25=144$,$\sqrt{}$

$BC=12$

Respuesta:

$12$ cm.

Tarea:

Dado los triángulos en el dibujo

¿Cuál es la longitud del lado $DB$?

Solución:

Empezamos con el triángulo $\triangle ABC$, anotamos el Teorema de Pitágoras para él:

$BC²+BA²=AC²$

Colocamos los lados dados en la gráfica.

$BC²+6²=(2\sqrt{11})²$

$BC²+36=2²\sqrt{11}²=4\times11=44$

$BC²+36=44$ /$-11$

$BC²=44-36=8$ /$\sqrt{}$

$BC=\sqrt{8}$

Ahora escribimos el Teorema de Pitágoras para el triángulo $\triangle BCD$:

$DC²+DB²=BC²$

Colocamos el lado $CD$, $BC$

$2²+DB²=(\sqrt{8})²$

$4+DB²=8$ /$-4$

$DB²=4$ / $\sqrt{}$

$DB=2$

Respuesta:

$DB=2$

Tarea:

Dado el dibujo del triángulo

Dado el dibujo del triángulo: $\triangle ABC$

Dado que la relación de $BC$ con la hipotenusa $AC$ es una relación de $1:4$

$AB=3\sqrt{15}$

Solución:

Pitágoras en $ABC$:

$AB²+BC²=AC²$

A la hipotenusa $AC$ dada de la razón con $BC$ podemos escribir:

$\frac{BC}{AC}=\frac{1}{4}$

Por lo tanto:

$BC=\frac{1}{4}AC$

Colocamos en la fórmula:

$(3\sqrt{15})²+(\frac{1}{4})²AC²=AC²$

$3²\sqrt{15}²+\frac{1}{16})²AC²=AC²$

Realizamos la operación en la fórmula

$-\frac{1}{16}AC²$

$9\times15=AC²-\frac{1}{6}AC²=\frac{15}{16}AC²$ / Multiplicaremos por $\frac{16}{15}$

$9\times15\times\frac{16}{15}=AC²$ / Le aplicaremos la raíz.

$\sqrt{}$

$\sqrt{9\times16}=\sqrt{9}\times\sqrt{16}=3\times4=12=AC$

Respuesta:

$AC=12cm$

Yoel asciende por una rampa para bicicletas a una altura máxima de $3$ metros sobre el suelo.

El resto de medidas aparecen en el dibujo.

En la subida Yoel monta a una velocidad de $2$ metros por segundo.

En la bajada: $6$ metros por segundo.

Consigna:

Tarea:

¿Cuánto tardará Yoel en cruzar la rampa

Solución:

Paso de la subida.

Encontrar la hipotenusa del triángulo rectángulo en el cual sus catetos son de $3$ y $7$ metros.

$3²+7²=(hipotenusa)²$

$9+49=(hipotenusa)²$

$hipotenusa=\sqrt{58}=7.62$

$tiempo=\frac{distancia}{velocidad}=\frac{7.62}{2}=3.81\text{ }$

Bajada:

Encontrar la hipotenusa del triángulo rectángulo en el cual sus catetos son de $3$ y $4$ metros.

$(hipotenusa)²=3²+4²$

$\sqrt{}$ / $(hipotenusa)²=9+16$

$5=\sqrt{25}$

Hipotenusa: $5$ metros.

$\text{tiempo}=\frac{distancia}{velocidad}=\frac{5}{6}=0.83$

$\text{tiempo}=3.81+0.83=4.64$

Respuesta:

Yoel cruzará la rampa en $4.64$ segundos.