Criterios de semejanza de triángulos

Para demostrar la semejanza entre triángulos no es necesario volver a mostrar, una y otra vez, la relación entre los tres pares de lados y la equivalencia entre todos los ángulos correspondientes. Esto requeriría demasiado trabajo innecesario.

Hay tres criterios con los cuales podremos ver la semejanza entre los triángulos:

Definición: Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente iguales.

Dados los dos triángulos:

$Δ ABC$
$Δ DEF$

Así mismo sabemos que 

$∢A=∢D$
$∢B=∢D$

Demuestra que los dos triángulos son semejantes.

La demostración es inmediata. Nos basaremos en el criterio que acabamos de aprender. Observemos que se nos han dado dos ángulos respectivamente iguales en los dos triángulos. Lo anotaremos del siguiente modo:

$∢A=∢D$ (ángulo)
$∢B=∢E$ (ángulo)

De esto se desprende que: 
$Δ ABC$ ~ $Δ DEF$ (Acorde al criterio de semejanza Ángulo - Ángulo). QED.

Observemos que, si en dos triángulos hay equivalencia entre dos pares de ángulos correspondientes, necesariamente habrá equivalencia entre el tercer par, ya que la suma de los ángulos internos de un triángulo siempre es$180°$. Ésta es la explicación del primer criterio de semejanza: Ángulo - Ángulo.

Definición: Lado - Ángulo - Lado (LAL): Dos triángulos son semejantes si la proporción entre dos pares de lados y también el ángulo que forman son iguales.

Dados los dos triángulos
$Δ ABC$
$Δ DEF$

Así mismo sabemos que:
$BC = 4$
$CA = 6$
$EF = 2$
$FD = 3$
$∢F=∢C$

Demuestra que los triángulos son semejantes y calcula la razón de semejanza.

Demostración:
Nos basaremos en el segundo criterio de semejanza que recién aprendimos: Lado - Ángulo - Lado.

Prestemos atención a la relación entre la longitud de los lados:
$\frac{FD}{CA}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

$\frac{EF}{BC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

Es decir, vemos que la relación entre dos pares de lados es igual.
También el dato
$∢F=∢C$

O sea, los ángulos conformados entre los dos pares de lados son iguales.
De lo anterior podremos deducir que

$Δ ABC$ ~ $Δ DEF$  (Acorde al criterio de semejanza Lado - Ángulo - Lado). 

La razón de semejanza es $1:2$

QED.

Lado - Lado - Lado (LLL): Dos triángulos son semejantes si la proporción entre todos sus lados (razón de semejanza) es igual en ambos triángulos.
Dados los dos triángulos:
$Δ ABC$
$Δ DEF$

Así mismo sabemos que:
$DE = 2$
$EF = 3$
$FD = 5$
$AB = 3$
$BC = 4.5$
$AC = 7.5$

Todos los datos aparecen en la ilustración:

Demuestra que los dos triángulos son semejantes.

Demostración: Nos basaremos en el criterio de semejanza que acabamos de aprender, Lado, Lado, Lado. 

Veremos que se cumple lo siguiente

$\frac{FD}{CA}=\frac{5}{7.5}=\frac{2}{3}$

$\frac{DE}{AB}=\frac{2}{3}$

$\frac{EF}{BC}=\frac{3}{4.5}=\frac{2}{3}$

Es decir que la proporción entre los tres lados de un triángulo y los tres lados del otro es igual.

Por consiguiente, podremos deducir que  $Δ ABC$ ~ $Δ DEF$  (Acorde al criterio de semejanza Lado - Lado - Lado). 

La razón de semejanza es la relación que vimos, o sea, $2:3$

QED

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