La propiedad conmutativa

La propiedad conmutativa es una de las primordiales propiedades que debemos saber ya que, de ahora en adelante, nos acompañará en todos los ejercicios o ecuaciones que tengamos que resolver.
No te preocupes, es una propiedad muy sencilla y fácil de entender que, de hecho, ya conocemos de la vida diaria.
¿A qué nos referimos?
Imagínate una situación, en la que mamá te manda al supermercado, con una lista de cosas, y te pide que compres exactamente lo que dice allí.

Ésta es la lista:
Leche -> $ 13.20
Pan -> $ 5.5
Huevos -> $ 6.80
Queso -> $ 9
Chicle -> $ 1

Cuando llegues al supermercado podrás dirigirte directamente a buscar la leche y colocarla en el carrito; seguramente, a su lado verás el queso y también lo pondrás en el carrito a pesar de que el siguiente producto de la lista es el pan.
Luego tomarás el próximo producto que capten tus ojos y seguirás de este modo hasta encontrar todos los productos de la lista.
¿Te das cuenta? no importa en qué orden coloques los productos en el carrito, el importe total a pagar será el mismo.
Incluso al llegar a la caja, el orden en que pasen los productos no alterará el resultado. Luego de pasar todos los productos, el importe será el mismo, tanto si la cajera fue pasando las cosas acorde al orden de la lista como si las pasó de un modo completamente diferente.
Exactamente igual actúa la propiedad conmutativa.
En matemática, si tienes operaciones de suma o de multiplicación puedes cambiar el orden de los términos sin modificar el resultado.
¿Para qué querríamos usar la propiedad conmutativa?
La propiedad conmutativa te ayudará a resolver ejercicios sencillamente ya que te permite sumar o multiplicar pares de números que son más fáciles de unir.
Si, por ejemplo, tenemos una serie de números, algunos decimales y otros enteros, podrás sumar los enteros primero y luego añadir los decimales, esto te ayudará a hacer un cálculo más rápido.
¿Quieres entender esta propiedad más a fondo?
Comencemos con la propiedad conmutativa de la suma.

En operaciones de sumar, el orden en que sumemos los sumandos no variará el resultado.
Como en el ejemplo de la lista de las compras, si preguntáramos cuál es el importe total que deberías llevar al supermercado para comprar aquellos productos, podremos calcular sus precios en cualquier orden y llegar a idéntico resultado.
Veamos un ejemplo.
Calculando acorde al orden de la lista nos da:
$13.20+5.5+6.80+9+1=35.5$

Es decir, para comprar todos los productos de la lista necesitamos llevar $ $35.5$ .

Calculando el total en un orden diferente, de un modo que tal vez nos facilite la cuenta permitiéndonos llegar, todo lo posible, a números enteros, obtendremos el mismo importe.
Veámoslo en un ejemplo:
$13.20+6.80+9+1+5.5=35.5$

También en este caso, el importe requerido es $ $35.5$ .

Siempre y cuando tengamos operación de sumar entre los términos podremos cambiar el orden.
De hecho, si lo formulamos como una regla, podemos decir que:
$a+b=b+a$
También en expresiones algebraicas, de ahora en adelante, podremos decir que:
$X+número=número+X$

Veámoslo en un ejemplo:
$X+5=5+X$
Coloquemos cualquier número en lugar de la $X$ para ver si la ecuación realmente se cumple, por ejemplo $2=X$, obtendremos:
$2+5=7$

$5+2=7$
$7$ realmente es igual a $7$.
¡La propiedad conmutativa funciona en operaciones de sumar!
Cambiamos el orden de dos sumandos y obtuvimos el mismo resultado.
Recuerda que, en operaciones de restar la propiedad conmutativa no funciona. Puedes ver que $3-2$, por ejemplo, no equivale a $2-3$.
Entonces ¿dónde más podemos aplicar la propiedad conmutativa?
En multiplicaciones.

La propiedad conmutativa de la multiplicación actúa igual que la propiedad conmutativa de la suma, sólo que en multiplicaciones.
En las multiplicaciones, si modificamos el orden de los factores no se altera el producto.
También a este principio conmutativo lo conocemos de la vida diaria.

Imagínate que conciertan encontrarse cinco amigos y que llevarán $2$ canicas para cada uno.
¿Cómo sabrás cuántas canicas llevar?
Haz una multiplicación entre la cantidad de amigos que serán y la cantidad de canicas que prometieron llevar a cada uno y obtendrás:
$5\times2=10$
¿Cambiaría algo si modificaras el orden y multiplicaras la cantidad de canicas que prometieron llevar a cada uno por la cantidad de amigos que serán?
Es decir:
$2\times5=10$
Obviamente no. Se ve que el resultado ha sido el mismo.
Sea como sea tendrás que llevar $10$ canicas.
De hecho, siempre que hay una multiplicación, no importa en que orden se multipliquen los factores, obtendremos el mismo resultado (producto), incluso si se tratara de un ejercicio con mucho más que dos términos.
Formulémoslo como una regla conmutativa:
$a\times b=b\times a$
También en expresiones algebraicas, de ahora en adelante, podremos decir que:
$X\times número=número\times X$
Por ejemplo:
$X\times4=4\times X$
Coloquemos cualquier número en lugar de la $X$ para ver si la ecuación realmente se cumple, por ejemplo $3=X$, obtendremos:
$3\times4=12$
$4\times3=12$

$12$ realmente es igual a $12$.
¡La propiedad conmutativa funciona en operaciones de multiplicar!
Cambiamos el orden de dos factores y obtuvimos el mismo producto.

Recuerda que, en operaciones de dividir la propiedad conmutativa no funciona. $10:5$ por ejemplo, no equivale a $5:10$.

Ahora puedes aplicar la propiedad conmutativa de la suma y de la multiplicación en casi toda ecuación que se te presente.
La propiedad conmutativa es una regla fundamental que muy rápido asimilarás y llevarás a cabo de manera intuitiva y automática.

Como hemos mencionado, la propiedad conmutativa aplica a la suma y a la multiplicación.

Veremos algunos ejemplos para ilustrar el principio de la propiedad conmutativa:

$13+6=$

$6+13=19$

$8\times5=$
$5\times8=40$

$21+5+4=$
$4+5+21=30$

$2\times9\times3=$
$3\times2\times9=54$

El ejercicio segundo y el cuarto exponen la propiedad conmutativa de la multiplicación.

Dos propiedades complementarias del álgebra
Como hemos afirmado en el preámbulo de nuestro artículo, mencionaremos dos propiedades más que podrían ayudarnos a resolver ejercicios algebraicos. Podemos decir que son complementarias ya que, podría ocurrir que, en cierto caso podamos aplicar en el mismo ejercicio ambas propiedades o incluso las tres. Las propiedades complementarias son la propiedad asociativa y la distributiva.

La propiedad asociativa es un principio matemático que nos permite «asociar», es decir, «juntar» varios valores acorde al orden que elijamos, sin alterar la integridad del ejercicio y sin afectar a su resultado. Tal como ocurre en la propiedad conmutativa, el objetivo de usar esta propiedad es facilitar el proceso de cálculo para la resolución del ejercicio.

Se puede aplicar la propiedad asociativa en ejercicios de suma y de multiplicación ya que, en dichos casos, el orden de las operaciones no afecta, de ninguna manera, al total. Nos referimos a ejercicios puros de multiplicación y de suma (sólo suma o sólo multiplicación) y no a ejercicios compuestos.

$13+6=$

$6+13=19$

$5\times8=$

$8\times5=40$

$21+5+4=$

$4+5+21=30$

$2\times9\times3=$

$3\times2\times9=54$

Los ejercicios $2$ y $4$ ejemplifican la propiedad conmutativa en multiplicaciones.

Como te prometimos al comienzo del artículo, recordaremos ahora otras dos propiedades que nos pueden ayudar a resolver problemas matemáticos. Podemos decir que se trata de propiedades adicionales, es decir, podemos aplicar más de una propiedad en el mismo ejercicio para resolverlo. Tal y como adelantábamos, estas propiedades son la asociativa y la distributiva. 

La propiedad asociativa es un principio matemático que nos permite «asociar» varios valores conforme a un orden escogido sin que el ejercicio o el resultado se vean afectados por ello. Asimismo, al igual que ocurre con la propiedad conmutativa, el objetivo es facilitar la resolución del ejercicio. 

La propiedad asociativa puede aplicarse en el caso de multiplicaciones y sumas, dado que en estos casos el orden de las operaciones matemáticas no afecta al resultado final. Nos referimos, claro está, a ejercicios de multiplicación y suma (solo sumas o solo multiplicaciones), y no a ejercicios que combinan ambas operaciones. 

$\left(17+3\right)+11=$

$17+(3+11)=$

$17+3+11=31$

$\left(16+8\right)+9=$

$16+(8+9)=$

$16+8+9=33$

$5\times(2\times9)=$

$(5\times2)\times9=$

$5\times2\times9=90$

$10\times(1\times4)=$

$(10\times1)\times4=$

$10\times1\times4=40$

$11+(12+13)+14=$

$11+12+(13+14)=$

$(11+12)+13+14=$

$7\times(8\times3)\times4=$

$(7\times8)\times3\times4=$

$7\times8\times(3\times4)=$

Si necesitas una explicación en detalle sobre la propiedad asociativa, puedes echarle un vistazo al artículo específico dedicado a ella. 

La propiedad distributiva nos permite simplificar ejercicios de multiplicación y división mediante la «separación» de uno de los elementos en dos números o más. De esta manera, uno de los elementos se representa mediante las operaciones de suma o resta, algo que nos ayuda a trabajar con números más pequeños y cómodos. 

A continuación se muestran 4 temas diferentes de propiedad distributiva, puede hacer clic en cada artículo para obtener más información.

• La propiedad distributiva para alumnos
• La propiedad distributiva en el caso de las divisiones
• La propiedad distributiva en el caso de la multiplicación
• La propiedad distributiva: ampliación

$5\times26=$

$5\times(20+6)=$

$100+30=130$

$7\times87=$

$7\times(80+7)=$

$560+49=609$

$208:4=$

$(200+8):4=$

$200:4+8:4=$

$50+2=52$

$312:4=$

$\left(320-8\right):4=$

$320:4-8:4=$

$80-2=78$

La propiedad distributiva se puede expresar más preciso del siguiente modo: 

$A\times(D+E)=AD+AE$

$A\times(D-E)=AD-AE$

El artículo específico sobre la propiedad distributiva te aportará más detalles al respecto en caso de que lo necesites.  

Emplea la propiedad conmutativa (o asociativa) para resolver los siguientes diez problemas sin recurrir a una calculadora:

$15\times2\times8=$

$17\times5\times2=$

$26\times4\times25=$

$14+5+5=$

$8 + 2 + 9 =$

$18\times2\times5=$

$37+2+8=$

$103\times10\times10=$

$13+7+101=$

$18\times2\times10=$

Soluciones:

$15\times2\times8=$

$(15\times2)\times8=240$

$17\times5\times2=$

$17\times(5\times2)=170$

$26\times4\times25=$

$26\times(4\times25)=2600$

$14+5+5=$

$14+(5+5)=24$

$8+2+9=$

$(8+2)+9=19$

$18\times2\times5=$

$18\times(2\times5)=180$

$37+2+8=$

$37+(2+8)=47$

$103\times10\times10=$

$103\times(10\times10)=10300$

$13+7+101=$

$\left(13+7\right)+101=121$

$18\times2\times10=$

$18\times(2\times10)=360$

Como consecuencia del coronavirus, una tienda decidió comprar 1024 mascarillas para repartirlas entre sus clientes en caso de necesidad. Cuando el pedido de mascarillas llegó, estas estaban divididas en cuatro paquetes, todos ellos con la misma cantidad de mascarillas. 

¿Cuántas mascarillas hay en cada paquete?

Resuelve este problema aplicando la propiedad distributiva. 

Solución:

En primer lugar, traduzcamos el problema en un ejercicio algebraico: 

$1024:4=$

$\left(1000+24\right):4=$

$1000:4+24:4=$

$250+6=256$

Respuesta:

En cada paquete hay $256$ mascarillas.

Con motivo del día de la familia, el consejo estudiantil adquirió $31$ packs de regalos para los padres porque ese es el número de estudiantes que había en la clase. En cada pack había $9$ productos.

¿Cuántos productos en total compró el consejo estudiantil?

Resuelve el problema empleando la propiedad distributiva.

Solución:

Si traducimos los datos del problema a un ejercicio algebraico, obtendremos:

$31\times9=$

$(30+1)\times9=$

$30\times9+1\times9=$

$270+9=279$

Respuesta:

El consejo estudiantil compró un total de $279$ productos con motivo del día de la familia.