🏆Ejercicios de la propiedad distributiva: ampliación
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Técnica algebraica
La propiedad distributiva: ampliación
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La propiedad distributiva extendida nos ayuda a resolver ejercicios con términos entre paréntesis que se multiplican por otros términos entre paréntesis.
Por ejemplo: (a+1)×(b+2)
La solución de este tipo de ejercicios requiere que avancemos según los siguientes pasos:
Paso 1: Multiplicar el primer término de los primeros paréntesis por cada uno de los términos de los segundos paréntesis.
Paso 2: Multiplicar el segundo término de los primeros paréntesis por cada uno de los términos de los segundos paréntesis.
¡Pruébate en la propiedad distributiva: ampliación!
(x+4)(x+3)=
Incorrecto
Respuesta correcta:
x2+7x+12
Quiz y otros ejercicios
Ejercicios para practicar la propiedad distributiva
(x−4)×(x−2)=x2−2x−4x+8=x2−6x+8
(x+3)×(x+6)=x2+6x+3x+18=x2+9x+18
La propiedad distributiva nos permite abrir paréntesis, incluso cuando estos incluyen más de un miembro. Según la propiedad distributiva, para abrir unos paréntesis debe multiplicarse cada miembro del primer paréntesis con cada uno de los miembros del segundo paréntesis, prestando especial atención a los signos.
Ejemplo de un ejercicio en el que se aplica la propiedad distributiva:
(5+8)×(7+2)
Gracias a la propiedad distributiva, podremos simplificar el ejercicio.
En primer lugar, multiplicamos cada uno de los miembros del primer paréntesis por cada uno de los miembros del segundo paréntesis. Así,
(5+8)×(7+2)=
5×7+5×2+8×7+8×2=
35+10+56+16=
117
Propiedad distributiva
Recordemos a nuestra conocida propiedad distributiva que nos ayuda a eliminar los paréntesis.
Observemos este ejercicio ejemplar:
a×(b+c)=ab+ac
De hecho, hemos multiplicado a
por cada uno de los términos incluidos dentro de los paréntesis manteniendo el orden.
Propiedad distributiva extendida
Ahora aprenderemos a utilizar la propiedad distributiva extendida, ésta ayuda a resolver ejercicios en los que hay términos encerrados entre paréntesis que se multiplican por otros términos entre paréntesis.
Por ejemplo: (a+b)×(c+d)=ac+ad+bc+bd
¿Cómo actúa la propiedad distributiva extendida?
Paso 1: Multiplicar el primer término de los primeros paréntesis por cada uno de los términos de los segundos paréntesis.
Paso 2: Multiplicar el segundo término de los primeros paréntesis por cada uno de los términos de los segundos paréntesis.
Paso 3: Asociar términos semejantes.
Ejemplo 1 - Uso de la propiedad distributiva extendida:
Paso 1: Multiplicar A por cada uno de los términos incluidos dentro de los segundos paréntesis.
Paso 2: Multiplicar el 2 por cada uno de los términos incluidos dentro de los segundos paréntesis.
Paso 3: Ordenar los términos y combinar los semejantes, si los hay:
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Comprueba tu conocimiento
Ejercicio 1
\( (a+b)(c+d)= \)
Incorrecto
Respuesta correcta:
\( \text{ac+ad}+bc+bd \)
Ejercicio 2
\( (2x+y)(x+3)= \)
Incorrecto
Respuesta correcta:
\( 2x^2+xy+6x+3y \)
Ejercicio 3
\( (a+4)(c+3)= \)
Incorrecto
Respuesta correcta:
\( ac+3a+4c+12 \)
Ejemplo 2 - ¿Qué se hace cuando hay restas?
A veces hay un signo de restar en alguna expresión.
Seguiremos actuando del mismo modo, pero ¡hay que prestar atención a los signos de todos los términos!
Observemos el ejercicio:
Paso 1: Multiplicar A por cada uno de los términos incluidos dentro de los segundos paréntesis.
Paso 2: Multiplicar el 5 por cada uno de los términos incluidos dentro de los segundos paréntesis.
¡Presta atención a los signos de cada uno de los términos! Por ejemplo, veremos que, −5 por −3 equivale a +15.
En este caso, no hay términos que queramos combinar.
Ejemplo 3 - Ejercicio
Calcula el valor de X:
(X+2)2=(X+5)×(X−2)
Observemos el miembro izquierdo de la ecuación:
(X+2)2=(X+2)×(X+2)
Ahora podemos utilizar la propiedad distributiva extendida en cada lado de la ecuación.
Ahora la ecuación se ve así:
(X+2)×(X+2)=(X+5)×(X−2)
Luego de aplicar la propiedad distributiva:
X2+2X+2X+4=X2–2X+5X–10
Reduzcamos, combinemos términos semejantes y organicemos la ecuación, obtendremos:
X=−14
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¿Sabes cuál es la respuesta?
Ejercicio 1
\( (x+13)(y+4)= \)
Incorrecto
Respuesta correcta:
\( xy+4x+13y+52 \)
Ejercicio 2
\( (x-8)(x+y)= \)
Incorrecto
Respuesta correcta:
\( x^2+xy-8x-8y \)
Ejercicio 3
\( (12-x)(x-3)= \)
Incorrecto
Respuesta correcta:
\( 15x-36-x^2 \)
Ejercicios de la propiedad distributiva
Ejercicio 1
Consigna:
Un pintor necesita un lienzo con las dimensiones:
(23x+12)×(20x+7)
¿Cuánto es el área que el pintor debe pintar?
Solución:
Multiplicamos el largo del lienzo por el ancho para encontrar el área
(23x+12)×(20x+7)=
Multiplicamos cada elemento entre paréntesis por cada elemento del segundo paréntesis
23x×20x+23x×7+12×20x+12×7=
Resolvemos en consecuencia
460x2+161x+240x+84=
460x2+401x+84
Respuesta:
460x2+401x+84
Ejercicio 2
Consigna:
Calcular el área del rectángulo,
Dejar incógnitas en sus respuestas
Solución:
Para encontrar el área multiplicamos el ancho por el largo
3y×(y+3z)=
Multiplicamos a 3y por cada uno de los elementos entre paréntesis
3y×y+3y×3z=
Resolvemos en consecuencia
3y2+9yz
Respuesta:
3y2+9yz
Comprueba que lo has entendido
Ejercicio 1
\( (a+15)(5+a)= \)
Incorrecto
Respuesta correcta:
\( a^2+20a+75 \)
Ejercicio 2
\( (7+b)(a+9)= \)
Incorrecto
Respuesta correcta:
\( ab+7a+9b+63 \)
Ejercicio 3
Es posible utilizar la propiedad distributiva para simplificar la expresión
\( a(b+c) \)
Incorrecto
Respuesta correcta:
Sí, la respuesta \( ab+ac \)
Ejercicio 3
Consigna:
(3+20)×(12+4)=
Solución:
Multiplicamos cada uno de los elementos del paréntesis con los elementos del segundo paréntesis
3×12+3×4+20×12+20×4=
Resolvemos en consecuencia
36+12+240+80=
Sumamos todo junto
48+320=368
Respuesta:
368
Ejercicio 4
Consigna:
(12+2)×(3+5)=
Solución:
Multiplicamos cada uno de los elementos del paréntesis con los elementos del segundo paréntesis
12×3+12×5+2×3+2×5=
Resolvemos en consecuencia
36+60+6+10=
Sumamos todo junto
96+16=112
Respuesta:
112
¿Crees que podrás resolverlo?
Ejercicio 1
Es posible utilizar la propiedad distributiva para simplificar la expresión
\( (a+b)(c\cdot g) \)
Incorrecto
Respuesta correcta:
No, \( acg+\text{bcg} \)
Ejercicio 2
Simplifica la expresión dada:\( (x+c)(4+c) =\text{?} \)
Incorrecto
Respuesta correcta:
\( 4x+cx+4c+c^2 \)
Ejercicio 3
¿Es posible utilizar la propiedad distributiva para simplificar la expresión dada
\( (ab)(c d) \)?
\( \)
Incorrecto
Respuesta correcta:
No, \( abcd \)
Ejercicio 5
Consigna:
(7x+4)×(3x+4)=
Solución:
Multiplicamos cada uno de los elementos del paréntesis con los elementos del segundo paréntesis
7x×3x+7x×4+4×3x+4×4=
Resolvemos en consecuencia
21x2+28x+12x+16=
21x2+40x+16
Respuesta:
21x2+40x+16
Ejercicio 6
Consigna:
(2x−3)×(5x−7)
Multiplicamos cada uno de los elementos del paréntesis con los elementos del segundo paréntesis
2x×5x+2x×(−7)+(−3)×5x+(−3)×(−7)=
Resolvemos en consecuencia
10x2−14x−15x+21=
10x2−29x+21
Respuesta:
10x2−29x+21
Comprueba tu conocimiento
Ejercicio 1
Resuelva -
\( (x-3)(x-6)= \)
Incorrecto
Respuesta correcta:
\( x^2-9x+18 \)
Ejercicio 2
Resuelve el ejercicio:
\( (2y-3)(y-4)= \)
Incorrecto
Respuesta correcta:
\( 2y^2-11y+12 \)
Ejercicio 3
\( (x+4)(x+3)= \)
Incorrecto
Respuesta correcta:
\( x^2+7x+12 \)
Preguntas de repaso
¿Qué es la propiedad distributiva de la multiplicación?
La propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma o resta, es la propiedad que nos ayudara a simplificar y hacer de manera más sencilla una operación en donde está expresada con signos de agrupación y relacionada con la jerarquía de operaciones. La cual la podemos expresar como:
Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma.
a×(b+c)=a×b+a×c
Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la resta.
a×(b−c)=a×b−a×c
¿Qué es la propiedad distributiva de la división?
De igual manera que la propiedad distributiva de la multiplicación, la propiedad distributiva de la división, ya sea con respecto a la suma y a la resta, nos ayudara para hacer de manera simplificada una operación y lo podemos expresar como:
(a+b):c=a:c+b:c
¿Sabes cuál es la respuesta?
Ejercicio 1
\( (a+b)(c+d)= \)
Incorrecto
Respuesta correcta:
\( \text{ac+ad}+bc+bd \)
Ejercicio 2
\( (2x+y)(x+3)= \)
Incorrecto
Respuesta correcta:
\( 2x^2+xy+6x+3y \)
Ejercicio 3
\( (a+4)(c+3)= \)
Incorrecto
Respuesta correcta:
\( ac+3a+4c+12 \)
¿Qué es la propiedad distributiva extendida?
Esta propiedad nos permite desarrollar ejercicios con términos entre signos de agrupación como lo son los paréntesis que se multiplican por otros términos entre paréntesis.
¿Cuáles son algunos ejemplos donde se puede utilizar la propiedad distributiva extendida?
Ejemplo 1
Resuelve (x+3)(x−8)=
Procedemos a utilizar la propiedad distributiva, multiplicando cada uno de los términos como se muestra:
(x+3)(x−8)=x2−8x+3x−24
Reduciendo términos semejantes tenemos
(x+3)(x−8)=x2−5x−24
Respuesta
x2−5x−24
Ejemplo 2
(2x−1)(3x−5)=
Usando la propiedad distributiva obtenemos:
(2x−1)(3x−5)=6x2−10x−3x+5
Reduciendo términos semejantes:
(2x−1)(3x−5)=6x2−13x+5
Respuesta
6x2−13x+5
Comprueba que lo has entendido
Ejercicio 1
\( (x+13)(y+4)= \)
Incorrecto
Respuesta correcta:
\( xy+4x+13y+52 \)
Ejercicio 2
\( (x-8)(x+y)= \)
Incorrecto
Respuesta correcta:
\( x^2+xy-8x-8y \)
Ejercicio 3
\( (12-x)(x-3)= \)
Incorrecto
Respuesta correcta:
\( 15x-36-x^2 \)
ejemplos con soluciones para La propiedad distributiva: ampliación
Ejercicio #1
(3+20)×(12+4)=
Solución en video
Solución Paso a Paso
Simplifica esta expresión prestando atención al orden de las operaciones aritméticas que dice que la potenciación precede a la multiplicación y la división antes que la suma y la resta y que los paréntesis preceden a todas ellas.
Por lo tanto, primero comencemos simplificando las expresiones entre paréntesis, posteriormente realizamos la multiplicación entre ellas:
(3+20)⋅(12+4)=23⋅16=368
Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.
Respuesta
368
Ejercicio #2
(12+2)×(3+5)=
Solución en video
Solución Paso a Paso
Simplifica esta expresión prestando atención al orden de las operaciones aritméticas que dice que la potenciación precede a la multiplicación y la división antes que la suma y la resta y que los paréntesis preceden a todas ellas.
Por lo tanto, primero comencemos simplificando las expresiones entre paréntesis, posteriormente realizamos la multiplicación entre ellas:
(12+2)⋅(3+5)=14⋅8=112
Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción C.
Respuesta
112
Ejercicio #3
(35+4)×(10+5)=
Solución en video
Solución Paso a Paso
Abrimos los paréntesis usando la propiedad distributiva extendida y crearemos un ejercicio de suma largo:
Multiplicamos el primer término del paréntesis izquierdo por el primer término del paréntesis derecho.
Luego multiplicamos el primer término del paréntesis izquierdo por el segundo término del paréntesis derecho.
Ahora multiplicamos el segundo término del paréntesis izquierdo por el primer término del paréntesis izquierdo.
Por último, multiplicamos el segundo término del paréntesis izquierdo por el segundo término del paréntesis derecho.
De la siguiente manera:
(35×10)+(35×5)+(4×10)+(4×5)=
Resolvemos cada uno de los ejercicios entre paréntesis:
350+175+40+20=
Resolvemos el ejercicio de izquierda a derecha:
350+175=525
525+40=565
565+20=585
Respuesta
585
Ejercicio #4
¿Es posible utilizar la propiedad distributiva para simplificar la expresión dada
(ab)(cd)?
Solución en video
Solución Paso a Paso
Recordemos la propiedad distributiva extendida:
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bdTengamos en cuenta que la operación entre los términos de la expresión dentro del paréntesis entre los cuales se realiza la multiplicación es una operación de multiplicación:
(ab)(cd)Esto contrasta con la operación entre los términos en las expresiones entre paréntesis en la propiedad distributiva ampliada antes mencionada, que es la suma (o la resta, que en realidad es la suma del término con un signo menos),
Además, notaremos que como hay una multiplicación entre todos los términos, tanto en la expresión dentro del paréntesis como entre las expresiones dentro del paréntesis, existe una multiplicación donde los paréntesis en realidad son redundantes y se pueden omitir y obtenemos:
(ab)(cd)=abcdPor lo tanto, la apertura de los paréntesis en la expresión dada con el uso de la propiedad distributiva extendida es incorrecta y produce un resultado incorrecto.
Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción d.
Respuesta
No, abcd
Ejercicio #5
(a+4)(c+3)=
Solución en video
Solución Paso a Paso
Cuando nos encontramos con un ejercicio de multiplicación de este tipo, podemos reconocer que se debe seguir la propiedad distributiva.
Paso 1: multiplica el primer factor del primer paréntesis por cada uno de los factores del segundo paréntesis.
Paso 2: multiplica el segundo factor del primer paréntesis por cada uno de los factores del segundo paréntesis.
Paso 3: agrupamos términos semejantes.
a * (c+3) =
a*c + a*3
4 * (c+3) =
4*c + 4*3
ac+3a+4c+12
No hay términos semejantes para simplificar aquí, ¡así que esta es la solución!