Triángulos congruentes

Cuando hablamos de triángulos, podemos encontrar diferentes tipos de coincidencias. Hay triángulos que son iguales sólo en sus ángulos y se llaman triángulos semejantes, y hay triángulos que son iguales tanto en sus ángulos como en sus lados, siendo idénticos entre sí. A estos últimos los llamaremos triángulos congruentes, y aprenderemos sobre ellos en este artículo.

En primer lugar, comencemos con un ejemplo de triángulos congruentes:

Sabemos que los lados

• $AB=DE$
• $AC=DF$
• $BC=EF$

También sabemos que los siguiente ángulos son iguales:

• $∢A=∢D$
• $∢B=∢E$
• $∢C=∢F$

Por lo cual podemos deducir lo siguiente: 

$ΔABC\congΔDEF$ Según el orden de los vértices

Mira el siguiente símbolo: $≅$ En matemáticas significa congruencia, y si miras con atención, verás que está compuesto por dos símbolos

• el signo de igualdad $\left(=\right)$ ya que los lados son respectivamente iguales.
• Y sobre él, una ola ($\sim$) que en sí mismo representa la semejanza tanto en matemáticas, como entre diferentes triángulos cuyos ángulos serán iguales.

• Triángulo -figura geométrica que está determinada por tres segmentos de recta (tres lados), o por tres puntos no alineados llamados vértices.
• Vértices de un triángulo, Estos son los puntos de intersección entre segmentos de recta. Los vértices son representados con letras mayúsculas. Por ejemplo $A,B,C$.
• Lado del triángulo segmento de recta que une 2 vértices de un triángulo, y los anotamos como $AB,CB$, etc.
• Triángulos semejantes, Son triángulos cuyos ángulos correspondientes son iguales, pero sus lados tienen diferente longitud.
• Símbolo de semejanza, $\sim$
• Símbolo de dos líneas paralelas, $\parallel$
• En todo triángulo la suma de sus ángulos interiores es igual a $180°$

La escritura de una congruencia se hará según el orden de los vértices que representen a los ángulos que sean iguales entre sí, de modo que la primera letra del primer triángulo, corresponderá a la primera letra del segundo triángulo en la que ambos ángulos sean iguales. La segunda letra del primer triángulo, corresponderá con la segunda letra del segundo triángulo en la que ambos ángulos sean iguales y por último la tercer letra en ambos triángulos indicará que los ángulos sean iguales.

Es importante recordar que cuando tenemos triángulos congruentes, tendremos frente a los ángulos iguales, siempre lados iguales.

Dado que $ΔABC\congΔDEF$ y la congruencia se anotó según el orden de los vértices.

Por lo tanto podemos deducir:
Que los ángulos iguales son:

$∢A=∢D$

$∢B=∢E$

$∢C=∢F$
Por lo tanto, los lados iguales son:
$BC=EF$

$AC=DF$

$AB=DE$

Antes de continuar, y para corroborar que hemos entendido, veamos el siguiente ejemplo de una pregunta sobre triángulos congruentes, e intentemos resolverla.

Dado que los triángulos $ΔABC$ y $ΔDEF$, son congruentes, en el orden de los vértices, es decir que $ΔABC\congΔDEF$

También sabemos que los ángulos

$∢E=60°$

$∢A=51°$

Además tenemos los siguientes datos sobre los lados:

$AB=5\operatorname{cm}$

$AC=4\operatorname{cm}$

$EF=3.9\operatorname{cm}$

Encuentra los ángulos $∢B,∢C,∢Dy∢F$
Y luego encuentra la longitud de los lados $BC$, $DE$ y $DF$

Ya que los triángulos son congruentes, sabemos que:

$∢E=∢B=60°$

$∢A=∢D=51°$

Por lo tanto, la respuesta con respecto a los ángulos restantes es $∢F=∢C=69°$. Ya que la suma total de los ángulos de un triángulo es $180°$.

Lo mismo se aplicará también a los lados, ya que estos son triángulos congruentes.

Así es que:

$AB=DE=5\operatorname{cm}$

$AC=DF=4\operatorname{cm}$

$EF=BC=3.9\operatorname{cm}$

Para los triángulos cuyos lados son iguales, sus ángulos también serán iguales. Ya que frente a lados iguales, tendremos ángulos iguales, y por lo tanto cada ángulo de un triángulo equilátero mide $60°$. Pues como ya hemos dicho, en todo triángulo hay tres ángulos cuya suma nos da $180°$. Por lo tanto, $2$ triángulos equiláteros que tienen un lado de igual longitud, serán congruentes entre sí.

Si sabemos que en un triángulo $\triangle ABC$

$AB=AC=BC$

Y en un triángulo $\triangle EFD$

$DF=DE=EF$

Y también sabemos que $AB=EF$

Podemos concluir que todos los lados son iguales, y que cada uno de los ángulos de estos triángulos mide $60°$

Por lo tanto podemos establecer que dos triángulos equiláteros que tienen un lado de igual longitud y sin importar cuál sea el orden en el que se anoten los vértices, serán congruentes entre sí.

Por ejemplo:

$ΔABC\congΔEFD$

$ΔABC\congΔFDE$

$ΔABC\congΔDEF$

Un triángulo isósceles tiene dos lados de igual longitud y los dos ángulos opuestos a los lados iguales, tienen la misma medida.

En el siguiente ejemplo, disponemos de estos datos:

• $ΔABC\congΔDEF$
• $AB=AC$
• $DE=DF$
• $D=30°$

A partir de estos datos, podemos concluir que el ángulo $∢A=30°$

Y por lo tanto los ángulos $∢C=∢B=∢F=∢E=75°$

Y también podemos concluir que$FE=4\operatorname{cm}$

En principio, cinco datos podrán ser suficientes para demostrar que dos triángulos son congruentes:

• 3 lados iguales
• 2 ángulos iguales (porque el ángulo adicional siempre completará $180°$, ya que como hemos dicho, en todo triángulo la suma de los ángulos interiores es siempre igual a $180°$.

Pero a veces podemos saber que los triángulos son congruentes, tan solo con tres datos. Para ello, es necesario conocer los criterios de congruencia , que describen diferentes posibilidades de congruencia de triángulos con solo $3$ datos.

Definición: Dos triángulos son congruentes si dos de sus lados tienen la misma longitud que dos lados del otro triángulo, y los ángulos comprendidos entre dichos lados también son iguales.

Datos:

• $AB=DEL$
• $∢B=∢EA$
• $CB=FEL$

Por lo tanto:

$ΔDEF\congΔABC$ Por el criterio de congruencia: $LAL$

Por lo que podemos deducir:

$BC=FE$ son lados iguales en triángulos congruentes, así como los lados $AC=DF$ son iguales por el mismo motivo.

También se puede concluir que los ángulos $∢C=∢F$ son ángulos iguales en triángulos congruentes.

Demuestra que cuando dos rectas se cruzan, se forman $2$ triángulos congruentes, y el lado $AC=BD$

Para ello, debemos plantear los datos en el siguiente orden:

• Los datos de los que disponemos
• Qué es lo que queremos demostrar

Así podrás desarrollar el proceso de razonamiento, y la explicación de lo que quieres demostrar.

He aquí los siguientes datos:

$DE=CE=4\operatorname{cm}$

$AE=BE=5\operatorname{cm}$

Demuestra que $ΔBED\congΔAEC$ y que $AC=BD$

Definición:

2 Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y el lado comprendido entre ellos, son iguales (de igual longitud y grados) a dos ángulos y al lado comprendido del otro triángulo.

Disponemos de los siguientes datos:

Por lo tanto:

• $∢D=∢A$ (ángulo)
• $DE=AB$ (lado)
• $∢E=∢B$ (ángulo)

$\triangle DEF\cong\triangle ABC$ De acuerdo al criterio de congruencia: ángulo, lado, ángulo (ALA)

Por lo cual podemos deducir:

$BC=FE$ son lados iguales en los triángulos congruentes, y también lo son los lados $AC=DF$ (exactamente por la misma razón).

Y también podemos sacar la siguiente conclusión $∢C=∢F$ son ángulos iguales en triángulos congruentes.

En el siguiente dibujo, sabemos que:

• $AB\parallel DC$ (son paralelas)
• $AB=DC$

Demuestra que $AO=CO$, y también que $BO=DO$

Definición: En estos triángulos, los tres lados son respectivamente iguales.

Datos:

• $DE=AB$ (lado)
• $DF=AC$ (lado)
• $EF=BC$ (lado)

Por lo tanto:

$ΔDEF\congΔABC$ Según el criterio de congruencia: lado, lado, lado (LLL)

En un cuadrilátero $ABCD$:

• $AB=AD$
• $CB=CD$

Demuestra que los ángulos $∢D=∢B$

Definición: Dos triángulos que tienen 2 lados iguales, como también el ángulo opuesto al lado más grande de ellos, serán congruentes.

De esto se deriva el siguiente criterio: Dos triángulos rectángulos que tengan la hipotenusa y un cateto de la misma longitud, serán congruentes.

Datos:

• $BA=ED$ (lado)
• $BC=EF$ (lado)
• $∢BAC=∢EDF$ (ángulo) 
• se da la siguiente relación $BC>AB$(lado)

Por lo tanto:

$\triangle DEF\cong\triangle ABC$ Se da gracias al criterio: lado, lado, ángulo (L.L.A)

En el triángulo $\triangle ABC$, dos de sus alturas son iguales.

• $AE=CD(L)$
• $∢AEC=∢CDA=90°$

Demuestra que $AB=BC$

¿Cómo demostrar que un triángulo es congruente?

Utilizando alguno de los criterios de congruencia de triangulos, por ejemplo LAL (lado, ángulo, lado).

¿Qué pareja de triángulos son congruentes?

Aquellos que cumplan con algun criterio de congurncia de triángulos.

¿Cómo resolver los problemas de congruencia de triángulos?

Identificando que con respecto al criterio utilizado, los lados o ángulos correspondientes sean iguales.