Congruencia de triángulos rectángulos (en el contexto del Teorema de Pitágoras)

La congruencia de triángulos rectángulos tiene en cuenta las propiedades únicas de estos triángulos y las utiliza para demostrar la congruencia. 

Ya estamos familiarizados con los teoremas de congruencia habituales:

Congruencia según Lado-Ángulo-Lado
Congruencia según Ángulo-Lado-Ángulo
Congruencia según Lado-Lado-Lado

Ilustraremos esto con un ejemplo. 

La gráfica muestra dos triángulos rectángulos: $\triangle ABC$ y $\triangle DEF$.

Los dos triángulos tienen un ángulo recto (igual a $90^o$ grados).

Además, en ambos triángulos hay una perpendicular igual a $3$ (es decir, $AB = DE$), mientras que el restante es igual a $5 (AC = DF)$.

Si ahora utilizáramos el teorema de Pitágoras, alcanzaríamos el tamaño de la segunda perpendicular en cada uno de los triángulos y esta perpendicular saldría igual $4$, ya que es el mismo cálculo.  

Por lo tanto, siempre podemos hacer uso de la conclusión a la que ya hemos llegado, según la cual cuando nos dan dos triángulos rectángulos, en los que uno de ellos es perpendicular y el resto son iguales entre sí, respectivamente, podemos concluir que estos son triángulos congruentes.  

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Consigna

Los segmentos $AC$ y $BD$ se cortan en el punto$K$.

Dado: el punto $K$ intersecta $BD$.

$AK=CK$

$AB⊥AC$

$DC⊥AC$

¿A cuál teorema de congruencia pertenece $\triangle ABK\cong\triangle CDK$?

Solución

Dado que $AK=CK$

$AB$ es perpendicular a: $AC$

$\sphericalangle A=90°$

Una recta perpendicular forma un ángulo recto de $90°$ grados

$DC$ es perpendicular a: $AC$

$\sphericalangle C=90°$

Una recta perpendicular forma un ángulo recto de $90°$ grados

$\sphericalangle C=\sphericalangle A=90°$

$BK=KD$

Dado que el punto $K$ intersecta $BD$

Los triángulos superpuestos según el teorema $L.A.L$

Respuesta

Superpuestos: $L.A.L$

Consigna

Dado: cuadrilátero $ABCD$ cuadrado.

Y en su interior contiene el deltoide $KBPD$.

¿Según qué teorema de congruencia se superponen los triángulos $ΔBAK≅ΔBCP$?

Solución

$ABCD$ Cuadrado

$AB=BC$ En un cuadrado todos los lados son iguales.

$KBPD$

Dado que es un deltoide

$BK=BP$

En el deltoide dos pares de lados adyacentes son iguales

$\sphericalangle C=\sphericalangle A$

Los ángulos son iguales en un cuadrado.

$\sphericalangle BPC=\sphericalangle BKA$

Los ángulos del deltoide $P$ y $K$ son iguales.

Por lo tanto $180-\sphericalangle K=180-\sphericalangle P$

$\sphericalangle ABK=\sphericalangle PBC$

Si dos ángulos son iguales, también el tercero lo es.

Los triángulos son iguales según $L.A.L$

Respuesta

$L.A.L$

Consigna

En el dibujo dado hay un triángulo isósceles $\triangle ACB$

$AD$ es la mediana en el triángulo $\triangle ACB$.

$∢\text{ADC}=∢\text{ADB}$

¿Según qué teorema de congruencia coinciden los triángulos $ΔADC≅ΔADB$?

Solución

Dado que $AD$ es la mediana

$CD=DB$

La mediana del triángulo va desde el vértice hasta el centro del lado opuesto y divide a $CB$ en dos en el punto $D$

$\sphericalangle ADC=\sphericalangle ADB$

Dado

$\sphericalangle ABD=\sphericalangle ACD$

Dado que el triángulo $ACB$ es isósceles, en un triángulo isósceles los ángulos de la base son iguales

Los triángulos congruentes según el teorema de $A.L.A$

Respuesta

$A.L.A$

Consigna

En la figura dada:

$AB=DC$

¿Según qué teorema de congruencia coinciden los triángulos $ΔADC≅ΔDAB$?

Solución

Dado que $AB=DC$

$\sphericalangle BAD=\sphericalangle CDA$

Dado que $\sphericalangle A_1=\sphericalangle D_1$

Dado que $\sphericalangle A_2=\sphericalangle D_2$

Por lo tanto:

$\sphericalangle A_1+\sphericalangle A_2=\sphericalangle D_1+\sphericalangle D_2$

$AD=AD$

Lado común

Los triángulos superpuestos según el teorema $L.A.L$

Respuesta

Superpuestos según $L.A.L$

Consigna

Los segmentos $AE$ y $BD$ son iguales.

Dado:

$∢\text{AFD}=∢\text{BFE}$

¿Según qué teorema de congruencia coinciden los triángulos $ΔAEF≅ΔBDF$?

Solución

$\sphericalangle BDF=\sphericalangle AEF=90°$

Dado un ángulo recto de $90°$ grados

$AE=BD$

Dado

$\sphericalangle AFE+\sphericalangle AFB=\sphericalangle BFA+\sphericalangle BFD$

Dado que $\sphericalangle AFD=\sphericalangle BFE$

Por lo tanto $\sphericalangle AFE=\sphericalangle BFD$

$\sphericalangle FAE=\sphericalangle FBD$

si en un triángulo dos ángulos son iguales entonces el tercer ángulo también es igual

Los triángulos congruentes según $A.L.A$

Respuesta

Congruentes según $A.L.A$

¿Qué es un triángulo rectángulo?

Un triángulo rectángulo es aquella figura que tiene tres lados y consta de un ángulo recto, es decir, un ángulo de $90\degree$ , como el que se muestra en la figura

El $\triangle ABC$ es un triángulo rectángulo.

¿Qué es congruencia de triángulos rectángulos?

Recordemos que la congruencia de figuras se refiere cuando dos figuras tienen la misma forma y sus lados y ángulos correspondientes miden lo mismo, en el caso de los triángulos rectángulos, debe de pasar exactamente lo mismo, la diferencia es que ellos ya cumplen con algo establecido y es esa característica que los identifica, si tenemos dos triángulos rectángulos entonces damos por hecho que uno de sus ángulos mide $90\degree$ y solo es cuestión de ver qué criterio de congruencia se cumple para verificar que sean triángulos congruentes.

¿Cuáles son los criterios de congruencia para determinar si dos triángulos rectángulos son congruentes?

Existen cuatro criterios para poder determinar si dos triángulos son o no congruentes, los cuales son los siguientes:

LAL- Lado, Ángulo, Lado: Dos triángulos son congruentes cuando dos de sus lados y en ángulo que está entre ellos miden lo mismo.

ALA- ángulo, Lado, Ángulo: Dos triángulos son congruentes cuando dos de sus ángulos correspondientes y el lado que está entre ellos miden lo mismo.

LLL- Lado, Lado, Lado: Dos triángulos son congruentes si sus tres lados correspondientes miden lo mismo.

LLA- Lado, Lado, Ángulo: Dos triángulos son congruentes si dos de sus lados correspondientes y un ángulo opuesto a uno de ellos tienen la misma medida.

¿Cuándo dos triángulos rectángulos no son congruentes?

Dos triángulos rectangulares no son congruentes cuando no cumplen con ningún criterio de congruencia antes mencionados, es decir, sus lados y ángulos correspondientes tienen medidas diferentes (Tienen diferente forma)