Mediana en un triángulo

En este artículo, ¡aprenderemos todo lo que necesitas saber sobre las medianas en un triángulo! No te preocupes, el material sobre las medianas en un triángulo es fácil y sencillo de entender.

Una mediana en un triángulo es un segmento de línea que se extiende desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto, dividiéndolo en dos partes iguales.
¡Recuerda que "mediana" en la vida real representa el punto medio, y de manera similar aquí divide el lado por la mitad!

Podemos observar esto en el siguiente dibujo:

En el triángulo $ABC$
$AD$ es una mediana - se extiende desde el vértice $A$ y divide el lado opuesto $CB$ en dos
partes iguales: $CD=BD$

Propiedades Adicionales de una Mediana en un Triángulo:

1. En cada triángulo, es posible dibujar 3 medianas.
2. Las 3 medianas se intersectan en un punto.
3. La mediana a un lado de un triángulo crea 2 triángulos de igual área.

Puedes observar esto a continuación:

Como hay 3 vértices en un triángulo, puede haber 3 medianas.
Cada mediana se extiende desde un vértice hasta el lado opuesto y lo biseca.
Todas las medianas se intersectan en un punto.

Recordatorio:
¿Cómo calculamos el área de un triángulo?

$altura*lado~correspondiente~a~la~altura \over 2$

Si tomamos por ejemplo el triángulo $ABC$ y queremos calcular su área cuando:
$AD$ altura = $6$
$BC = 8$

Podemos deducir que el área del triángulo $ABC$ es:
$\frac{6*8}{2}=24$
Ahora si trazamos la mediana $AD$ podemos observar que los dos triángulos que crea son iguales en área.
El lado está dividido en el medio por lo que es idéntico en ambos triángulos y la altura es idéntica.
Por lo tanto, el área de cada triángulo creado es idéntica y será igual a la mitad del área del triángulo $ABC$

$\frac{6*4}{2}=12$

1. En un triángulo equilátero - la mediana es también una altura y una bisectriz.
   Como se muestra en la figura:
   
   $AD$ es una altura al lado $CB$
   y también una mediana al lado $CB$ (lo divide en dos partes iguales)
   así como una bisectriz

$A$

1. En un triángulo isósceles - la mediana trazada desde el ángulo del vértice es también una altura y una bisectriz.
   Observemos esto en la figura siguiente:
   

$AD$ es una mediana trazada desde el ángulo del vértice $A$.
También es una altura al lado $CB$, así como una mediana a $CB$, además de bisecar el ángulo del vértice $A$.

3. En un triángulo rectángulo - la mediana a la hipotenusa es igual a la mitad de la hipotenusa.

Podemos observar esto en la figura siguiente:

El triángulo $ABC$ es un triángulo rectángulo.
$CD$ es la mediana a la hipotenusa y es igual a la mitad de la hipotenusa.
Es decir
$CD=AD=DB$

Dado:

$CD$ es una mediana en el triángulo $ABC$
$CE$ es una mediana en el triángulo $ACD$

$AB=14$

1. Calcule la longitud del segmento $AE$.
2. Determine el área del triángulo $ECD$ si se sabe que el área del triángulo $ACE$ es $6$.
3. Basándose en su respuesta en la parte b, determine el área del triángulo $DCB$

Solución:

1. Marquemos la información dada en el dibujo.
   

Dado que – $AB =14$
Como $CD$ es una mediana,
$AD=DB=7$
debido a que la mediana biseca el lado en su punto medio.
Dado que $CE$ también es una mediana.
Por lo tanto $AE=ED=3.5$.

2. Dado que el área del triángulo $ACE$ es $6$
El área del triángulo $ECD$
también debe ser $6$. Una mediana divide el triángulo en dos triángulos de igual área.

3. El área del triángulo $DCB$ debe ser igual al área del triángulo $ACD$.

El triángulo $ACD$ consiste en dos triángulos con áreas iguales que suman $12$.
Por lo tanto, el área del triángulo $DCB$ es $12$.