Todas las respuestas son correctas

Solución por extracción de raíz

Resolviendo una ecuación cuadrática con una variable $X^2-c=0$ (donde $b=0$ ) calculando la raíz cuadrada:

Primer paso

Moviendo términos y aislando $X^2$ .

Segunda etapa

Toma la raíz cuadrada de ambos lados. No olvides insertar $\pm$ antes de la raíz cuadrada del término independiente.

Tercera etapa

Escribir soluciones de manera organizada o escribir "sin solución" en caso de una raíz de un número negativo.

Explicación completa

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¡Pruébate en extracción de la raíz cuadrada!

Resuelve el siguiente ejercicio:

$$ 2x^2-8=x^2+4 $$

Quiz y otros ejercicios

Solución por extracción de raíz

Presta atención -
Este método de solución es adecuado para ecuaciones cuadráticas donde no hay $b$ , y $Y=0$ , es decir, ecuaciones cuadráticas que se ven así:
$Y=x^2+c$
Por ejemplo:
$X^2+4=0$
En ecuaciones de este tipo, no necesitaremos usar la fórmula cuadrática u otros métodos largos. En su lugar, podemos usar un método mucho más eficiente y rápido: ¡calculando la raíz cuadrada!

¿Cómo lo resolvemos?

Aprendamos a través de un ejemplo.
Resolvamos la siguiente ecuación:
$x^2-16=0$

Primer paso:

Mueve los términos y aísla $x^2$ para que esté solo en un lado (incluso sin coeficiente).
Realiza el siguiente cálculo:
$x^2=16$

Segunda etapa:

Tomemos la raíz cuadrada de ambos lados y recordemos insertar $±$ debido al hecho de que cuando tomamos la raíz cuadrada de un número libre hay $2$ soluciones opuestas (una negativa y una positiva)
Resolvamos lo siguiente:
$x=±4$

Tercera etapa:

Escribamos las respuestas que obtuvimos de manera organizada.
Procedamos así:
$X_1=4$
$X_2=-4$

¡Excelente! Ahora continuaremos practicando la resolución de ecuaciones con una variable $1$ , aumentaremos el nivel de dificultad y encontraremos diferentes casos.

Ejercicio con coeficiente mayor que $1$ para $x^2$ :
$3x^2-9=0$

Solución:
Empecemos aislando completamente $x^2$ . Realizaremos lo siguiente:
$3x^2=9$
$x^2=3$

Ahora, después de haber aislado completamente $x^2$ , podemos sacar la raíz cuadrada de ambos lados. No olvidemos colocar el signo $\pm$
Continuemos resolviendo:
$x=±\sqrt3$
Procedamos a escribir las respuestas de manera organizada:
$X_1=\sqrt3$
$X_2= -\sqrt3$

Ejercicio que requiere encontrar la raíz cuadrada de un número negativo:
$X^2+4=0$

Solución:
Para empezar, moveremos términos para aislar $X^2$
Realizaremos lo siguiente:
$x^2=-4$
Ahora necesitamos encontrar la raíz cuadrada como siempre. ¡Pero! ¡No podemos encontrar la raíz cuadrada de un número negativo!
Esto significa que no hay ningún número que al elevarlo al cuadrado nos dé un resultado negativo.
Por lo tanto, cuando tratamos de encontrar la raíz cuadrada:
$X=\sqrt{(-4)}$
¡La respuesta será - sin solución!
¡Nota! Si dejas la respuesta así
$X=\sqrt{(-4)}$
sería un error. Debes escribir - sin solución. La raíz cuadrada de un número negativo no se puede encontrar.

Otro ejercicio:
$12x^2-240=0$

Solución:
A primera vista, este ejercicio puede parecer un poco intimidante dado que sus números son relativamente grandes. Sin embargo, podemos resolver ejercicios como estos fácilmente usando el método que hemos aprendido hasta ahora.
Para empezar, aislamos completamente $x^2$ .
Realizamos lo siguiente:
$12X^2=240$
Dividimos ambos lados por $12$ de la siguiente manera:
$x^2=20$
Ahora sacaremos la raíz cuadrada sin olvidar insertar el signo $\pm$
Realizaremos lo siguiente:
$X=±\sqrt{20}$
Escribimos ambas respuestas de manera concisa:
$X_1=-\sqrt{20}$

$X_2=\sqrt{20}$

Otro ejercicio:
$3x^2+150=0$

Solución:
Para empezar, movamos los términos para obtener lo siguiente:
$3x^2=-150$
Procedamos a dividir ambos lados por $3$ para aislar completamente el $X^2$ .
Obtenemos lo siguiente:
$X^2=-50$
En este punto, podemos observar que la ecuación no tiene solución debido a que es imposible que cualquier número al cuadrado (ya sea positivo o negativo) nos dé un número negativo como $-50$ .
Sin embargo, continuemos para probar que no hay solución e intentemos sacar la raíz cuadrada.
Obtenemos lo siguiente:
$x=±\sqrt{(-50)}$
La respuesta será - sin solución ya que no podemos sacar la raíz cuadrada de un número negativo.

Nota importante –
A veces los estudiantes se confunden y tienden a pensar que solo hay $1$ solución a la ecuación, la solución del $+$ .
Este es un error grave ya que todavía necesitamos encontrar la raíz cuadrada de $50-$ y no de $50$ , por lo tanto no obtendremos ninguna solución cuando necesitemos encontrar la raíz cuadrada de un número negativo.

Ejercicio con resultado fraccionario:
$3X^2-4=0$

Solución:
Para empezar, moveremos términos para obtener lo siguiente:
$3x^2=4$
Ahora dividiremos ambos lados por $3$ :
$x^2=\frac43$
Nota, no te alarmes por obtener una fracción, continuaremos como de costumbre. El siguiente paso es sacar la raíz cuadrada. Obtenemos lo siguiente:
$x=±\sqrt{\frac43}$
Procederemos a escribir los resultados de manera organizada:
$X_1=\sqrt{\frac43}$
$X_2=-\sqrt{\frac43}$

Nota importante - cuando una raíz cuadrada puede simplificarse fácilmente, como por ejemplo el número $\sqrt{16}$ , no debes dejar la respuesta así y debes escribir $4$ .
Sin embargo, si no puedes obtener una raíz cuadrada que sea un número entero, generalmente está bien dejar la respuesta con la raíz cuadrada.

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Ejercicio 1

Resuelve el siguiente ejercicio:

$$ x^2-20=5 $$

Ejercicio 2

Resuelva el siguiente ejercicio:

$x\cdot x=49$

Ejercicio 3

Resuelve el siguiente ejercicio:

$$ x^2+x^2-3=x^2+6 $$

ejemplos con soluciones para Extracción de la raíz cuadrada

Ejercicio #1

Resuelve el siguiente ejercicio:

$x^2-16=x+4$

Solución en video

Solución Paso a Paso

Tenga en cuenta que la ecuación se puede organizar de manera diferente:

x²-16 = x +4

x² - 4² = x +4

Haremos un trinomio para la sección izquierda

(x-4)(x+4) = x+4

Dividimos todo por x+4

(x-4)(x+4) / x+4 = x+4 / x+4

x-4 = 1

x = 5

Respuesta

Ejercicio #2

Resuelva el siguiente ejercicio:

$x\cdot x=49$

Solución en video

Solución Paso a Paso

Movemos las secciones e igualamos a 0

$x^2-49=0$

$x^2-7^2=0$

Utilizamos la fórmula de multiplicación abreviada:

$(x-7)(x+7)=0$

$x=\pm7$

Respuesta

±7

Ejercicio #3

Resuelve el siguiente ejercicio:

$2x^2-8=x^2+4$

Solución en video

Solución Paso a Paso

Primero movemos las secciones y comparamos todo a 0.

$2x^2-x^2-8-4=0$

Simplificamos :

$x^2-12=0$

Utilizamos la fórmula de multiplicación abreviada para resolver:

$x^2-(\sqrt{12})^2=0$

$(x-\sqrt{12})(x+\sqrt{12})=0$

$x=\pm\sqrt{12}$

Respuesta

$±\sqrt{12}$

Ejercicio #4

$2x^{90}-4x^{89}=0$

Solución en video

Solución Paso a Paso

La ecuación en el problema es:

$2x^{90}-4x^{89}=0$ Prestemos atención al lado izquierdo:

La expresión se puede descomponer en factores sacando un factor común, El factor común mayor para los números y letras en este caso es $2x^{89}$ ya que la potencia de 89 es la potencia más baja en la ecuación y por lo tanto está incluida tanto en el término donde la potencia es 90 como en el término donde la potencia es 89.

Cualquier potencia mayor que esa no está incluida en el término donde la potencia de 89 es la más baja, y por lo tanto es el término con la potencia más alta que se puede sacar de todos los términos en la expresión como un factor común para las variables.

Para los números, observa que el número 4 es múltiplo del número 2, por lo que el número 2 es el factor común mayor para los números de los dos términos en la expresión.

Continuando y realizando la factorización:

$2x^{90}-4x^{89}=0 \\ \downarrow\\ 2x^{89}(x-2)=0$ Continuemos y recordemos que en el lado izquierdo de la ecuación que se obtuvo en el último paso hay una expresión algebraica y en el lado derecho el número es 0.

Ya que la única manera de obtener el resultado 0 de un producto es que al menos uno de los factores en el producto del lado izquierdo sea igual a cero,

Es decir:

$2x^{89}=0 \hspace{8pt}\text{/}:2\\ x^{89}=0 \hspace{8pt}\text{/}\sqrt[89]{\hspace{6pt}}\\ \boxed{x=0}$

$x-2=0 \\ \boxed{x=2}$

En resumen:

$2x^{90}-4x^{89}=0 \\ \downarrow\\ 2x^{89}(x-2)=0 \\ \downarrow\\ 2x^{89}=0 \rightarrow\boxed{ x=0}\\ x-2=0\rightarrow \boxed{x=2}\\ \downarrow\\ \boxed{x=0,2}$ Y por lo tanto la respuesta correcta es la respuesta a.

Respuesta

$x=0,2$

Ejercicio #5

$\frac{x^2}{10}-10=0$

Solución en video

Solución Paso a Paso

Resolveremos la ecuación dada: $\frac{x^2}{10}-10=0$ Se deduce del hecho de que nos desharemos de la fracción en el lado izquierdo de la ecuación dada, lo haremos multiplicando ambos lados de la ecuación por el denominador común, que es el número 10, luego transferimos el número libre a un lado, recordando que cuando transferimos un término a la otra sección, el signo del coeficiente cambia:

$\frac{x^2}{10}-\frac{10}{1}=0\hspace{8pt}\text{/}\cdot 10\\ \\ 1\cdot x^2-10\cdot10=0 \\ x^2-100=0\\ x^2=100$

A partir de aquí resolveremos de forma sencilla, realizaremos en ambos lados la operación contraria a la operación de la potencia cuadrática aplicada a la incógnita que en la ecuación, es la operación de la raíz de segundo orden, con la ayuda de un número de las leyes de potencia:

A. Definición de la raíz como potencia:

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$ y en las dos leyes de potenciación:

B. Ley de potencias para exponente elevado a otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$

Continuamos resolviendo la ecuación:
$x^2=100\hspace{8pt}\text{/}\sqrt{\hspace{6pt}}\\ \sqrt{ x^2}=\pm\sqrt{ 100}\\ (x^2)^{\frac{1}{2}}=\pm10\\ x^{2\cdot\frac{1}{2}}=\pm10\\ \boxed{x=10,-10}$

En el primer paso aplicamos la raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación, posteriormente recordamos la definición de la raíz como potencia (a) en el lado izquierdo, en el siguiente paso aplicamos la ley de las potenciación de un exponente elevado a otro exponente (b) del lado izquierdo, y recordamos que elevar un número a la 1ª potencia no cambia el número.

Además, recordemos que dado que una potencia de orden par no conserva el signo del número al que se aplica la potencia (siempre dará un resultado positivo), extraer una raíz de orden par para los lados de la ecuación requiere referencia a dos casos posibles: positivo y negativo (esto contrasta con la extracción de una raíz de orden impar, que requiere referencia a un solo caso en el signo de número en el que se aplica la raíz),

Resumamos la solución de la ecuación:

$\frac{x^2}{10}-10=0 \hspace{8pt}\text{/}\cdot 10\\ x^2=100 \hspace{8pt}\text{/}\sqrt{\hspace{6pt}}\\ \boxed{x=10,-10}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción a.

Respuesta

$x=\pm10$

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