Extracción de la raíz cuadrada - Ejemplos, Ejercicios y Soluciones

Tenga en cuenta que la ecuación se puede organizar de manera diferente:

x²-16 = x +4

x² - 4² = x +4

Haremos un trinomio para la sección izquierda

(x-4)(x+4) = x+4

Dividimos todo por x+4

(x-4)(x+4) / x+4 = x+4 / x+4

x-4 = 1

x = 5

Movemos las secciones e igualamos a 0

$x^2-49=0$

$x^2-7^2=0$

Utilizamos la fórmula de multiplicación abreviada:

$(x-7)(x+7)=0$

$x=\pm7$

Primero movemos las secciones y comparamos todo a 0.

$2x^2-x^2-8-4=0$

Simplificamos :

$x^2-12=0$

Utilizamos la fórmula de multiplicación abreviada para resolver:

$x^2-(\sqrt{12})^2=0$

$(x-\sqrt{12})(x+\sqrt{12})=0$

$x=\pm\sqrt{12}$

La ecuación en el problema es:

$2x^{90}-4x^{89}=0$Prestemos atención al lado izquierdo:

La expresión se puede descomponer en factores sacando un factor común, El factor común mayor para los números y letras en este caso es $2x^{89}$ya que la potencia de 89 es la potencia más baja en la ecuación y por lo tanto está incluida tanto en el término donde la potencia es 90 como en el término donde la potencia es 89.

Cualquier potencia mayor que esa no está incluida en el término donde la potencia de 89 es la más baja, y por lo tanto es el término con la potencia más alta que se puede sacar de todos los términos en la expresión como un factor común para las variables.

Para los números, observa que el número 4 es múltiplo del número 2, por lo que el número 2 es el factor común mayor para los números de los dos términos en la expresión.

Continuando y realizando la factorización:

$2x^{90}-4x^{89}=0 \\ \downarrow\\ 2x^{89}(x-2)=0$Continuemos y recordemos que en el lado izquierdo de la ecuación que se obtuvo en el último paso hay una expresión algebraica y en el lado derecho el número es 0.

Ya que la única manera de obtener el resultado 0 de un producto es que al menos uno de los factores en el producto del lado izquierdo sea igual a cero,

Es decir:

$2x^{89}=0 \hspace{8pt}\text{/}:2\\ x^{89}=0 \hspace{8pt}\text{/}\sqrt[89]{\hspace{6pt}}\\ \boxed{x=0}$

O:

$x-2=0 \\ \boxed{x=2}$

En resumen:

$2x^{90}-4x^{89}=0 \\ \downarrow\\ 2x^{89}(x-2)=0 \\ \downarrow\\ 2x^{89}=0 \rightarrow\boxed{ x=0}\\ x-2=0\rightarrow \boxed{x=2}\\ \downarrow\\ \boxed{x=0,2}$Y por lo tanto la respuesta correcta es la respuesta a.

Resolveremos la ecuación dada:$\frac{x^2}{10}-10=0$Se deduce del hecho de que nos desharemos de la fracción en el lado izquierdo de la ecuación dada, lo haremos multiplicando ambos lados de la ecuación por el denominador común, que es el número 10, luego transferimos el número libre a un lado, recordando que cuando transferimos un término a la otra sección, el signo del coeficiente cambia:

$\frac{x^2}{10}-\frac{10}{1}=0\hspace{8pt}\text{/}\cdot 10\\ \\ 1\cdot x^2-10\cdot10=0 \\ x^2-100=0\\ x^2=100$

A partir de aquí resolveremos de forma sencilla, realizaremos en ambos lados la operación contraria a la operación de la potencia cuadrática aplicada a la incógnita que en la ecuación, es la operación de la raíz de segundo orden, con la ayuda de un número de las leyes de potencia:

A. Definición de la raíz como potencia:

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$y en las dos leyes de potenciación:

B. Ley de potencias para exponente elevado a otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$

Continuamos resolviendo la ecuación:
$x^2=100\hspace{8pt}\text{/}\sqrt{\hspace{6pt}}\\ \sqrt{ x^2}=\pm\sqrt{ 100}\\ (x^2)^{\frac{1}{2}}=\pm10\\ x^{2\cdot\frac{1}{2}}=\pm10\\ \boxed{x=10,-10}$

En el primer paso aplicamos la raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación, posteriormente recordamos la definición de la raíz como potencia (a) en el lado izquierdo, en el siguiente paso aplicamos la ley de las potenciación de un exponente elevado a otro exponente (b) del lado izquierdo, y recordamos que elevar un número a la 1ª potencia no cambia el número.

Además, recordemos que dado que una potencia de orden par no conserva el signo del número al que se aplica la potencia (siempre dará un resultado positivo), extraer una raíz de orden par para los lados de la ecuación requiere referencia a dos casos posibles: positivo y negativo (esto contrasta con la extracción de una raíz de orden impar, que requiere referencia a un solo caso en el signo de número en el que se aplica la raíz),

Resumamos la solución de la ecuación:

$\frac{x^2}{10}-10=0 \hspace{8pt}\text{/}\cdot 10\\ x^2=100 \hspace{8pt}\text{/}\sqrt{\hspace{6pt}}\\ \boxed{x=10,-10}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción a.