Completación de un cuadrado como solución de una ecuación cuadrática - Ejemplos, Ejercicios y Soluciones

Primero, recordemos los principios del método de "completar el cuadrado" y su idea general:

En este método, usamos las fórmulas del cuadrado de un binomio para dar a una expresión la forma de un binomio al cuadrado,

Este método se llama "completar el cuadrado" porque en este método "completamos" una parte faltante a cierta expresión para obtener de ella una forma de binomio al cuadrado,

Es decir, usamos las fórmulas para el cuadrado de un binomio:

$(c\pm d)^2=c^2\pm2cd+d^2$

Y llevamos la expresión a una forma cuadrada sumando y restando el término faltante,

En el problema dado primero nos referiremos a la ecuación dada:

$121x^2-44x-9=0$

Primero, intentaremos dar a la expresión en el lado izquierdo de la ecuación una forma que se asemeje a la forma del lado derecho en las fórmulas de multiplicación abreviada mencionadas, también identificaremos que nos interesa la forma de resta de la fórmula de multiplicación abreviada, esto es porque el término no cuadrado en la expresión dada, 44x es negativo, continuaremos,

Primero, trataremos con los dos términos con las potencias más altas en la expresión solicitada que está en el lado izquierdo de la ecuación,

Y trataremos de identificar el término faltante en comparación con la fórmula de multiplicación abreviada,

Para hacer esto- primero presentaremos estos términos en una forma similar a la forma de los dos primeros términos en la fórmula de multiplicación abreviada:

$\underline{ 121x^2-44x}-9\textcolor{blue}{\leftrightarrow} \underline{ c^2-2cd+d^2 }\\ \\ \hspace{4pt}\\ \\ \downarrow\\ \underline{(\textcolor{red}{11x})^2\stackrel{\downarrow}{-2 }\cdot \textcolor{red}{11x}\cdot \textcolor{green}{2}}-9 \textcolor{blue}{\leftrightarrow} \underline{ \textcolor{red}{c}^2\stackrel{\downarrow}{-2 }\textcolor{red}{c}\textcolor{green}{d}\hspace{2pt}\boxed{+\textcolor{green}{d}^2}} \\$

Se puede notar que en comparación con la fórmula de multiplicación abreviada (que está en el lado derecho de la flecha azul en el cálculo anterior) estamos haciendo la analogía:

$\begin{cases} 11x\textcolor{blue}{\leftrightarrow}c\\ 2\textcolor{blue}{\leftrightarrow}d \end{cases}$

Por lo tanto, identificaremos que si queremos obtener una forma de binomio al cuadrado de estos dos términos (subrayados abajo en el cálculo),

Necesitaremos agregar a estos dos términos el término

$2^2$

Sin embargo, no queremos cambiar el valor de la expresión en cuestión, y por lo tanto- también restaremos este término de la expresión,

Es decir, agregaremos y restaremos el término (o expresión) que necesitamos para "completar" la forma de un binomio al cuadrado,

En el siguiente cálculo, se demuestra el "truco" (dos líneas bajo el término que agregamos y restamos de la expresión),

Luego- pondremos en la forma de binomio al cuadrado la expresión apropiada (demostrada con colores) y en la última etapa simplificaremos más la expresión:

$(11x)^2-2\cdot 11x\cdot 2-9\\ (11x)^2-2\cdot11x\cdot 2\underline{\underline{+2^2-2^2}}-9\\ (\textcolor{red}{11x})^2-2\cdot \textcolor{red}{11x}\cdot \textcolor{green}{2}+\textcolor{green}{2}^2-4-9\\ \downarrow\\ (\textcolor{red}{11x}-\textcolor{green}{2})^2-4-9\\ \downarrow\\ \boxed{(11x-2)^2-13}$

Por lo tanto- obtuvimos la forma de completar el cuadrado para la expresión dada,

Resumamos las etapas de desarrollo, lo haremos ahora dentro de la ecuación dada:

$121x^2-44\sqrt{2}x-9=0 \\ (11x)^2-2\cdot 11x\cdot 2-9=0\\ (\textcolor{red}{11x})^2-2\cdot \textcolor{red}{11x}\cdot \textcolor{green}{2}\underline{\underline{+\textcolor{green}{2}^2-2^2}}-9=0\\ \downarrow\\ (\textcolor{red}{11x}-\textcolor{green}{2})^2-4-9=0\\ \downarrow\\ \boxed{(11x-2)^2-13=0}$

Ahora, podemos aislar de esta expresión una expresión algebraica más simple,

Lo haremos moviendo términos y extrayendo una raíz cuadrada:

$(11x-2)^2-13=0\\ (11x-2)^2=13\hspace{6pt}\text{/}\sqrt{\hspace{6pt}}\\ \downarrow\\ \boxed{11x-2=\pm\sqrt{13}}$

(Debemos recordar por supuesto que extraer una raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación implica considerar dos posibilidades - con signo positivo y con signo negativo)

Notemos ahora que nos interesa el valor de la expresión:

$11x+9=\text{?}$

Que extraeremos fácilmente de las ecuaciones que obtuvimos,

En esta etapa enfatizaremos dos cosas importantes:

A. Obtuvimos dos ecuaciones que requieren dos valores con signos opuestos para la misma expresión:

$11x-2=\pm\sqrt{13}$

Sin embargo, es fácil entender que estas dos ecuaciones no pueden cumplirse juntas a menos que la expresión sea igual a 0, lo cual no es el caso aquí.

B. Debido a este hecho, necesitamos separar y resolver individualmente para obtener todas las posibilidades para el valor de la expresión solicitada,

Continuaremos, y nos referiremos a cada ecuación por separado, primero trataremos de identificar la expresión solicitada, y luego aislarla, en cada ecuación por separado:

$11x-2=\pm\sqrt{13} \\ \underline{\textcolor{blue}{11x+9}}-11=\pm\sqrt{13} \\ \downarrow\\ 11x+9-11=\sqrt{13} \rightarrow\boxed{11x+9=11+\sqrt{13}} \\ 11x+9-11=-\sqrt{13}\rightarrow\boxed{11x+9=11-\sqrt{13}} \\ \downarrow\\ \boxed{11x+9=11+\sqrt{13},\hspace{4pt}11-\sqrt{13}}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es la respuesta A.

Primero, recordemos los principios del método de "completar el cuadrado" y su idea general:

En este método, usamos las fórmulas del cuadrado de un binomio para dar a una expresión la forma de un binomio al cuadrado,

Este método se llama "completar el cuadrado" debido al hecho de que en este método "completamos" una parte faltante de cierta expresión para obtener de ella una forma de binomio al cuadrado,

Es decir, usamos las fórmulas para el cuadrado de un binomio:

$(c\pm d)^2=c^2\pm2cd+d^2$

Y llevamos la expresión a una forma cuadrada sumando y restando el término faltante,

En el problema dado primero nos referiremos a la ecuación dada

$2x^2+14\sqrt{2}x-15=0$

Primero, intentaremos dar a la expresión en el lado izquierdo de la ecuación una forma que se asemeje a la forma del lado derecho en las fórmulas de multiplicación abreviada mencionadas, también identificaremos que nos interesa la forma de adición de la fórmula de multiplicación abreviada, esto es porque el término que no está al cuadrado en la expresión dada,:

$14\sqrt{2}x$

tiene un signo positivo,continuaremos,

Primero, trataremos con los dos términos con las potencias más altas en la expresión solicitada en el lado izquierdo de la ecuación,

E intentaremos identificar el término faltante en comparación con la fórmula de multiplicación abreviada,

Para hacer esto, primero presentaremos estos términos en una forma similar a la forma de los dos primeros términos en la fórmula de multiplicación abreviada:

$\underline{ 2x^2+14\sqrt{2}x}-15\textcolor{blue}{\leftrightarrow} \underline{ c^2+2cd+d^2 }\\ \\ \hspace{4pt}\\ \\ \underline{ (\sqrt{2})^2x^2+14\sqrt{2}x}-15\textcolor{blue}{\leftrightarrow} \underline{ c^2+2cd+d^2 }\\ \\ \downarrow\\ \underline{(\textcolor{red}{\sqrt{2}x})^2\stackrel{\downarrow}{+2 }\cdot \textcolor{red}{\sqrt{2}x}\cdot \textcolor{green}{7}}-15 \textcolor{blue}{\leftrightarrow} \underline{ \textcolor{red}{c}^2\stackrel{\downarrow}{+2 }\textcolor{red}{c}\textcolor{green}{d}\hspace{2pt}\boxed{+\textcolor{green}{d}^2}} \\$

Se puede notar que en comparación con la fórmula de multiplicación abreviada (que está en el lado derecho de la flecha azul en el cálculo anterior) estamos haciendo la analogía:

$\begin{cases} \sqrt{2}x\textcolor{blue}{\leftrightarrow}c\\ 7\textcolor{blue}{\leftrightarrow}d \end{cases}$

Por lo tanto, identificamos que si queremos obtener una forma de binomio al cuadrado de estos dos términos (subrayados abajo en el cálculo),

necesitaremos agregar a estos dos términos el término $7^2$

Sin embargo, no queremos cambiar el valor de la expresión en cuestión, y por lo tanto, también restaremos este término de la expresión,

Es decir, agregaremos y restaremos el término (o expresión) que necesitamos para "completar" la forma de un binomio al cuadrado,

En el siguiente cálculo, se demuestra el "truco" (dos líneas bajo el término que agregamos y restamos de la expresión),

Luego, pondremos en la forma de binomio al cuadrado la expresión apropiada (demostrada con colores) y en la última etapa simplificaremos más la expresión:

$(\sqrt{2}x)^2+2\cdot \sqrt{2}x\cdot 7-15\\ (\sqrt{2}x)^2+2\cdot\sqrt{2}x\cdot 7\underline{\underline{+7^2-7^2}}-15\\ (\textcolor{red}{\sqrt{2}x})^2+2\cdot \textcolor{red}{\sqrt{2}x}\cdot \textcolor{green}{7}+\textcolor{green}{7}^2-49-15\\ \downarrow\\ (\textcolor{red}{\sqrt{2}x}+\textcolor{green}{7})^2-49-15\\ \downarrow\\ \boxed{(\sqrt{2}x+7)^2-64}$

Así, obtuvimos la forma completada del cuadrado para la expresión dada,

Resumamos las etapas de desarrollo, lo haremos ahora dentro de la ecuación dada:

$2x^2+14\sqrt{2}x-15=0 \\ (\sqrt{2}x)^2+2\cdot \sqrt{2}x\cdot 7-15=0\\ (\textcolor{red}{\sqrt{2}x})^2+2\cdot \textcolor{red}{\sqrt{2}x}\cdot \textcolor{green}{7}\underline{\underline{+\textcolor{green}{7}^2-7^2}}-15=0\\ \downarrow\\ (\textcolor{red}{\sqrt{2}x}+\textcolor{green}{7})^2-49-15=0\\ \downarrow\\ \boxed{(\sqrt{2}x+7)^2-64=0}$

Ahora, podemos aislar de esta expresión una expresión algebraica más simple,

Lo haremos transfiriendo lados y extrayendo una raíz cuadrada:

$(\sqrt{2}x+7)^2-64=0\\ (\sqrt{2}x+7)^2=64\hspace{6pt}\text{/}\sqrt{\hspace{6pt}}\\ \downarrow\\ \boxed{\sqrt{2}x+7=\pm8}$

(Recordaremos por supuesto que extraer una raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación implica considerar dos posibilidades - con signo positivo y con signo negativo)

Notemos ahora que nos interesa el valor de la expresión:

$\sqrt {2}x+5=\text{?}$

Que podemos extraer fácilmente de las ecuaciones que obtuvimos,

En esta etapa enfatizaremos dos cosas importantes:

A. Obtuvimos dos ecuaciones que requieren dos valores con signos opuestos para la misma expresión

$\sqrt{2}x+7=\pm8$

Pero es fácil entender que estas dos ecuaciones no pueden mantenerse juntas a menos que la expresión sea igual a 0, lo cual no es el caso aquí.

B. Debido a esto, necesitamos separar y resolver cada una independientemente para obtener todas las posibilidades para el valor de la expresión solicitada,

Continuaremos, y nos referiremos a cada ecuación por separado, primero intentaremos identificar la expresión solicitada, y luego aislarla, en cada ecuación por separado:

$\sqrt{2}x+7=\pm8 \\ \underline{\textcolor{blue}{\sqrt{2}x+5}}+2=\pm8 \\ \downarrow\\ \sqrt{2}x+5+2=8 \rightarrow\boxed{\sqrt{2}x+5=6} \\ \sqrt{2}x+5+2=-8 \rightarrow\boxed{\sqrt{2}x+5=-10} \\ \downarrow\\ \boxed{\sqrt{2}x+5=6,\hspace{4pt}-10}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es la respuesta D.