a = coeficiente de x² b = coeficiente de x c = coeficiente del número independiente $$ x^2+4x-5=0 $$ ¿Cuáles son los componentes de la ecuación?

$$ a=x^2 $$ $$ b=4 $$ $$ c=-5 $$

a = coeficiente de x² b = coeficiente de x c = coeficiente del número independiente $$ x^2+7x=0 $$ ¿Cuáles son los componentes de la ecuación?

$$ a=x^2 $$ $$ b=7x $$ $$ c=0 $$

$$ a=x^2 $$ $$ b=7 $$ $$ c=0 $$

Principales soluciones de una función cuadrática

Tipos de solución de la función cuadrática

En este artículo aprenderás las tres formas más comunes para resolver funciones cuadráticas de un modo simple y rápido.

Trinomio
Fórmula cuadrática
Completando el cuadrado

Recuerda:

La ecuación de la función cuadrática básica es:
$Y=ax^2+bx+c$

Cuando:
$a$ - el coeficiente de $X^2$
$b$ - el coeficiente de $X$
$c$ - la variable independiente

$a$ debe ser diferente de $0$
$b$ o $c$ pueden ser $0$
$a,b,c$ pueden ser negativos / positivos
La función cuadrática también podría verse así:
- $Y=ax^2$
- $Y=ax^2+bx$
- $Y=ax^2+c$

Explicación completa

Ir a prácticas

¡Pruébate en solución de ecuación cuadrática!

a = coeficiente de x²

b= coeficiente de x

c = coeficiente del número independiente

cuál es el valor de $$ c $$ en la ecuación

$$ y=-5x^2+4x-3 $$

Quiz y otros ejercicios

¿Cómo se resuelve la función cuadrática mediante un trinomio?

$Y=ax^2+bx+c$
Se hallan $2$ números que cumplan con las dos siguientes condiciones:

$número~primero \cdot número~segundo = c \cdot a$
$número~ primero + número~ segundo = b$

¿Qué haremos?
Primeramente anotaremos todo a un costado:

A1 - Cómo se resuelve la función cuadrática mediante un trinomio

Luego

Hallaremos todos los números cuyo producto sea $a\cdot c$ y los anotaremos.
Veamos qué par de números entre los que hemos encontrado dará la suma de $b$ .
Anotemos el par de números que cumple con las $2$ condiciones, de este modo:

$0= (x+solución~uno)(x+solución~dos)$
o con restas.
Las $2$ soluciones de la ecuación cuadrática serán las que puedan resolver la ecuación de arriba (invertiremos el signo del par de números que hallamos).

Sugerencia – Conviene utilizar el método del trinomio cuando $a=1$

Para leer y ejercitar más con el trinomio haz clic aquí

¡Ahora practiquemos!
Resuelve la siguiente función cuadrática mediante un trinomio:

Solución:
Primeramente anotaremos todo a un costado:

Hallemos todos los números cuyo producto sea $14$ (y recordemos también a los negativos)
Obtendremos:
$14,1$
$7,2$
$-14, -1$
$-7 ,-2$

Ahora veamos qué par de números dentro de los que hallamos nos dará el total de $-9$

El par de números que cumple con ambas condiciones es $-7 ,-2$

Escribamos la factorización:
$(x-7)(x-2)=0$
Las soluciones:
$X=7$
$X=2$
$x^2-9x+14$

¿Cómo se resuelve la función cuadrática mediante la fórmula cuadrática?

$Y=ax^2+bx+c$

Te presentamos a la fórmula cuadrática:
$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}$

Todo lo que hay que hacer es ordenar los parámetros de la función cuadrática, colocarlos en la ecuación, una vez con signo de sumar y otra vez con signo de restar, y descubrir las soluciones.

Para más información sobre la fórmula cuadrática haz clic aquí

¡Practiquemos!
Dada la función cuadrática:
$2x^2-3x+1$

Resolvámosla mediante la fórmula cuadrática:
Primero ordenemos los parámetros:
$a=2$
$b=-3$
$c=1$

Ahora, coloquemos en la fórmula cuadrática:
La primera vez con el signo más

$\frac{-(-3)+\sqrt{(-3)^2-4 \times 2 \times 1}}{2 \times 2}=$

$=\frac{3+\sqrt1}4=\frac{4}4=1$

La segunda vez con el signo menos:

$\frac{-(-3)-\sqrt{(-3)^2-4 \times 2 \times 1}}{2 \times 2}=$

$=\frac{3-\sqrt1}4=\frac{2}4=\frac{1}2$

Hemos obtenido $2$ soluciones –>
$X=\frac{1}2,1$

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Ejercicio 1

a = coeficiente de x²

b = coeficiente de x

c = coeficiente del número independiente

Identifica los parámetros a,b,c

$$ 5x^2+6x-8=0 $$

Ejercicio 2

a = Coeficiente de x²

b = Coeficiente de x

c = Coeficiente del número independiente

cuál es el valor de $$ a $$ en la ecuación

$$ y=3x-10+5x^2 $$

Ejercicio 3

a = coeficiente de x²

b = coeficiente de x

c = coeficiente del número independiente

$$ 10x^2+5+20x=0 $$

¿Cuáles son los componentes de la ecuación?

¿Cómo se resuelve la función cuadrática completando el cuadrado?

Para utilizar el método que pide completar el cuadrado, conviene que primero recordemos algunas de las fórmulas de multiplicación abreviada:

$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$

$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$

Veamos este tipo de solución en un ejemplo:
Dada la función $4x^2+8x-5$

Observemos la función cuadrática y enfoquémonos sólo y únicamente en - $ax^2+bx$ .
Ahora, ignoremos $c$ . En el ejemplo, enfoquémonos en -> $4x^2+8x$
Recordemos las fórmulas de multiplicación abreviada y preguntémonos qué expresión podríamos colocar dentro de los paréntesis al cuadrado, es decir, qué $(a-b)^2$ o $(a+b)^2$ según corresponda, que también nos dé lo mismo que se ve en el par enfocado $ax^2+bx$

En el ejemplo
La fórmula de multiplicación abreviada correspondiente es:
$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$

Nos preguntaremos, ¿qué podemos poner en lugar de $a$ y $b$ para obtener $4x^2+8x$ ?
La respuesta es -> $(2x+2)^2$
Desarrollemos esta expresión acorde a la fórmula de multiplicación abreviada y obtendremos:
$4x^2+8x+4$

Veamos que, la expresión entre paréntesis también trae consigo algún número y no sólo el par en el cual nos enfocamos, por lo tanto, deberemos neutralizarlo.
Si el número agregado es negativo, lo añadiremos a la ecuación para anularlo. Si el número es positivo, lo restaremos de la ecuación y, de esta manera, lo anularemos.
Además, volvamos a $C$ en la función original y también lo escribiremos en la ecuación.

En el ejemplo:
$4x^2+8x+4$
Se añadió el número $4$ . Para anularlo restaremos $4$ y no nos olvidemos del $C$ original
$4x^2+8x-4-5=$
Coloquemos en lugar del par $ax^2+bx$ la expresión correspondiente entre paréntesis al cuadrado que hemos hallado y ordenemos la ecuación - así llegaremos a completar el cuadrado.

En el ejemplo:
$(2X+2)^2-4-5=$
$(2x+2)^2-9$

Ahora igualemos la ecuación a cero y solucionemos:
$(2x+2)^2-9=0$

$(2x+2)^2=9$

$(2x+2)^2=3^2$
y también
$(2x+2)^2=(-3)^2$

Solución 1:
$2x+2=3$
$2x=1$
$x=\frac{1}2$

Solución 2:
$2x+2=-3$
$2x=-5$
$x=-2\frac{1}2$

Para leer más acerca del método que se aplica completando el cuadrado, haz clic aquí

Ejemplos y ejercicios con soluciones de tipos de solución de la función cuadrática

Ejercicio #1

Resuelva la siguiente ecuación

$x^2+5x+4=0$

Solución en video

Solución Paso a Paso

Los parámetros se expresan en la ecuación cuadrática de la siguiente manera:

aX2+bX+c=0

Reemplazamos en la fórmula:

-5±√(5²-4*1*4)
2

-5±√(25-16)
2

-5±√9
2

-5±3
2

El signo ± significa que tenemos que resolver esta parte dos veces, una vez con un más y una segunda vez con un menos,

Así es como más tarde obtenemos dos resultados.

-5-3 = -8
-8/2 = -4

-5+3 = -2
-2/2 = -1

Y así descubrimos que X = -1, -4

Respuesta

$x_1=-1$ $x_2=-4$

Ejercicio #2

$x^2+9=0$

Resuelva la ecuación

Solución en video

Solución Paso a Paso

Los parámetros se expresan en la ecuación cuadrática de la siguiente manera:

aX2+bX+c=0

Identificamos que tenemos:
a=1
b=0
c=9

Recordamos la fórmula de las raíces:

$נוסחת השורשים | הנוסחה$

Reemplazamos de acuerdo a la fórmula:

-0 ± √(0²-4*1*9)

Nos enfocaremos en la parte dentro de la raíz cuadrada (también llamada delta)

√(0-4*1*9)

√(0-36)

√-36

No es posible sacar la raíz cuadrada de un número negativo.

Y entonces la pregunta es de hecho irresoluble.

Respuesta

No hay solución

Ejercicio #3

$60-16y+y^2=-4$

Solución en video

Solución Paso a Paso

Resolvamos la ecuación dada:

$60-16y+y^2=-4$ Primero, organicemos la ecuación moviendo los términos:

$60-16y+y^2=-4 \\ 60-16y+y^2+4=0 \\ y^2-16y+64=0$ Ahora, notemos que podemos descomponer la expresión en el lado izquierdo usando la fórmula corta de factorización cuadrática:

$(\textcolor{red}{a}-\textcolor{blue}{b})^2=\textcolor{red}{a}^2-2\textcolor{red}{a}\textcolor{blue}{b}+\textcolor{blue}{b}^2$ Esto se hace usando el hecho de que:

$64=8^2$ Así que presentemos el término exterior en el lado derecho como un cuadrado:

$y^2-16y+64=0 \\ \downarrow\\ \textcolor{red}{y}^2-16y+\textcolor{blue}{8}^2=0$ Ahora examinemos de nuevo la fórmula corta de factorización que mencionamos anteriormente:

$(\textcolor{red}{a}-\textcolor{blue}{b})^2=\textcolor{red}{a}^2-\underline{2\textcolor{red}{a}\textcolor{blue}{b}}+\textcolor{blue}{b}^2$ Y la expresión en el lado izquierdo de la ecuación que obtuvimos en el último paso:

$\textcolor{red}{y}^2-\underline{16y}+\textcolor{blue}{8}^2=0$ Notemos que los términos $\textcolor{red}{y}^2,\hspace{6pt}\textcolor{blue}{8}^2$ efectivamente coinciden con la forma del primer y tercer término en la fórmula corta de multiplicación (que están resaltados en rojo y azul),

Pero para que podamos descomponer la expresión relevante (que está en el lado izquierdo de la ecuación) usando la fórmula corta que mencionamos, la coincidencia con la fórmula corta también debe aplicarse al término restante, es decir, el término medio en la expresión (subrayado):

$(\textcolor{red}{a}-\textcolor{blue}{b})^2=\textcolor{red}{a}^2-\underline{2\textcolor{red}{a}\textcolor{blue}{b}}+\textcolor{blue}{b}^2$ En otras palabras - nos preguntaremos si es posible presentar la expresión en el lado izquierdo de la ecuación como:

$\textcolor{red}{y}^2-\underline{16y}+\textcolor{blue}{8}^2 =0 \\ \updownarrow\text{?}\\ \textcolor{red}{y}^2-\underline{2\cdot\textcolor{red}{y}\cdot\textcolor{blue}{8}}+\textcolor{blue}{8}^2 =0$ Y efectivamente se cumple que:

$2\cdot y\cdot8=16y$ Así que podemos presentar la expresión en el lado izquierdo de la ecuación dada como una diferencia de dos cuadrados:

$\textcolor{red}{y}^2-2\cdot\textcolor{red}{y}\cdot\textcolor{blue}{8}+\textcolor{blue}{8}^2=0 \\ \downarrow\\ (\textcolor{red}{y}-\textcolor{blue}{8})^2=0$ A partir de aquí podemos sacar raíces cuadradas para los dos lados de la ecuación (recuerda que hay dos posibilidades - positiva y negativa al sacar raíces cuadradas), lo resolveremos fácilmente aislando la variable en un lado:

$(y-8)^2=0\hspace{8pt}\text{/}\sqrt{\hspace{6pt}}\\ y-8=\pm0\\ y-8=0\\ \boxed{y=8}$

Resumamos entonces la solución de la ecuación:

$60-16y+y^2=-4 \\ y^2-16y+64=0 \\ \downarrow\\ \textcolor{red}{y}^2-2\cdot\textcolor{red}{y}\cdot\textcolor{blue}{8}+\textcolor{blue}{8}^2=0 \\ \downarrow\\ (\textcolor{red}{y}-\textcolor{blue}{8})^2=0 \\ \downarrow\\ y-8=0\\ \downarrow\\ \boxed{y=8}$

Así que la respuesta correcta es la opción a.

Respuesta

$y=8$

Ejercicio #4

a = coeficiente de x²

b= coeficiente de x

c = coeficiente del número independiente

cuál es el valor de $c$ en la ecuación

$y=-5x^2+4x-3$

Solución en video

Respuesta

$c=-3$

Ejercicio #5

a = coeficiente de x²

b = coeficiente de x

c = coeficiente del número independiente

Identifica los parámetros a,b,c

$5x^2+6x-8=0$

Solución en video

Respuesta

$a=5$ $b=6$ $c=-8$

¿Sabes cuál es la respuesta?

Ejercicio 1

a = coeficiente de x²

b = coeficiente de x

c = coeficiente del número independiente

$$ 5-6x^2+12x=0 $$

¿Cuáles son los componentes de la ecuación?

Ejercicio 2

a = coeficiente de x²

b = coeficiente de x

c = coeficiente del número independiente

$$ -8x^2-5x+9=0 $$

¿Cuáles son los componentes de la ecuación?

Ejercicio 3

a = coeficiente de x²

b = coeficiente de x

c = coeficiente del número independiente

$$ -x^2-2=0 $$

¿Cuáles son los componentes de la ecuación?

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