Completar el cuadrado en una ecuación cuadrática

Primero, recordemos los principios del método de "completar el cuadrado" y su idea general:

En este método, usamos las fórmulas del cuadrado de un binomio para dar a una expresión la forma de un binomio al cuadrado,

Este método se llama "completar el cuadrado" porque en este método "completamos" una parte faltante a cierta expresión para obtener de ella una forma de binomio al cuadrado,

Es decir, usamos las fórmulas para el cuadrado de un binomio:

$(c\pm d)^2=c^2\pm2cd+d^2$

Y llevamos la expresión a una forma cuadrada sumando y restando el término faltante,

En el problema dado primero nos referiremos a la ecuación dada:

$121x^2-44x-9=0$

Primero, intentaremos dar a la expresión en el lado izquierdo de la ecuación una forma que se asemeje a la forma del lado derecho en las fórmulas de multiplicación abreviada mencionadas, también identificaremos que nos interesa la forma de resta de la fórmula de multiplicación abreviada, esto es porque el término no cuadrado en la expresión dada, 44x es negativo, continuaremos,

Primero, trataremos con los dos términos con las potencias más altas en la expresión solicitada que está en el lado izquierdo de la ecuación,

Y trataremos de identificar el término faltante en comparación con la fórmula de multiplicación abreviada,

Para hacer esto- primero presentaremos estos términos en una forma similar a la forma de los dos primeros términos en la fórmula de multiplicación abreviada:

$\underline{ 121x^2-44x}-9\textcolor{blue}{\leftrightarrow} \underline{ c^2-2cd+d^2 }\\ \\ \hspace{4pt}\\ \\ \downarrow\\ \underline{(\textcolor{red}{11x})^2\stackrel{\downarrow}{-2 }\cdot \textcolor{red}{11x}\cdot \textcolor{green}{2}}-9 \textcolor{blue}{\leftrightarrow} \underline{ \textcolor{red}{c}^2\stackrel{\downarrow}{-2 }\textcolor{red}{c}\textcolor{green}{d}\hspace{2pt}\boxed{+\textcolor{green}{d}^2}} \\$

Se puede notar que en comparación con la fórmula de multiplicación abreviada (que está en el lado derecho de la flecha azul en el cálculo anterior) estamos haciendo la analogía:

$\begin{cases} 11x\textcolor{blue}{\leftrightarrow}c\\ 2\textcolor{blue}{\leftrightarrow}d \end{cases}$

Por lo tanto, identificaremos que si queremos obtener una forma de binomio al cuadrado de estos dos términos (subrayados abajo en el cálculo),

Necesitaremos agregar a estos dos términos el término

$2^2$

Sin embargo, no queremos cambiar el valor de la expresión en cuestión, y por lo tanto- también restaremos este término de la expresión,

Es decir, agregaremos y restaremos el término (o expresión) que necesitamos para "completar" la forma de un binomio al cuadrado,

En el siguiente cálculo, se demuestra el "truco" (dos líneas bajo el término que agregamos y restamos de la expresión),

Luego- pondremos en la forma de binomio al cuadrado la expresión apropiada (demostrada con colores) y en la última etapa simplificaremos más la expresión:

$(11x)^2-2\cdot 11x\cdot 2-9\\ (11x)^2-2\cdot11x\cdot 2\underline{\underline{+2^2-2^2}}-9\\ (\textcolor{red}{11x})^2-2\cdot \textcolor{red}{11x}\cdot \textcolor{green}{2}+\textcolor{green}{2}^2-4-9\\ \downarrow\\ (\textcolor{red}{11x}-\textcolor{green}{2})^2-4-9\\ \downarrow\\ \boxed{(11x-2)^2-13}$

Por lo tanto- obtuvimos la forma de completar el cuadrado para la expresión dada,

Resumamos las etapas de desarrollo, lo haremos ahora dentro de la ecuación dada:

$121x^2-44\sqrt{2}x-9=0 \\ (11x)^2-2\cdot 11x\cdot 2-9=0\\ (\textcolor{red}{11x})^2-2\cdot \textcolor{red}{11x}\cdot \textcolor{green}{2}\underline{\underline{+\textcolor{green}{2}^2-2^2}}-9=0\\ \downarrow\\ (\textcolor{red}{11x}-\textcolor{green}{2})^2-4-9=0\\ \downarrow\\ \boxed{(11x-2)^2-13=0}$

Ahora, podemos aislar de esta expresión una expresión algebraica más simple,

Lo haremos moviendo términos y extrayendo una raíz cuadrada:

$(11x-2)^2-13=0\\ (11x-2)^2=13\hspace{6pt}\text{/}\sqrt{\hspace{6pt}}\\ \downarrow\\ \boxed{11x-2=\pm\sqrt{13}}$

(Debemos recordar por supuesto que extraer una raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación implica considerar dos posibilidades - con signo positivo y con signo negativo)

Notemos ahora que nos interesa el valor de la expresión:

$11x+9=\text{?}$

Que extraeremos fácilmente de las ecuaciones que obtuvimos,

En esta etapa enfatizaremos dos cosas importantes:

A. Obtuvimos dos ecuaciones que requieren dos valores con signos opuestos para la misma expresión:

$11x-2=\pm\sqrt{13}$

Sin embargo, es fácil entender que estas dos ecuaciones no pueden cumplirse juntas a menos que la expresión sea igual a 0, lo cual no es el caso aquí.

B. Debido a este hecho, necesitamos separar y resolver individualmente para obtener todas las posibilidades para el valor de la expresión solicitada,

Continuaremos, y nos referiremos a cada ecuación por separado, primero trataremos de identificar la expresión solicitada, y luego aislarla, en cada ecuación por separado:

$11x-2=\pm\sqrt{13} \\ \underline{\textcolor{blue}{11x+9}}-11=\pm\sqrt{13} \\ \downarrow\\ 11x+9-11=\sqrt{13} \rightarrow\boxed{11x+9=11+\sqrt{13}} \\ 11x+9-11=-\sqrt{13}\rightarrow\boxed{11x+9=11-\sqrt{13}} \\ \downarrow\\ \boxed{11x+9=11+\sqrt{13},\hspace{4pt}11-\sqrt{13}}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es la respuesta A.

Primero, recordemos los principios del método de "completar el cuadrado" y su idea general:

En este método, usamos las fórmulas del cuadrado de un binomio para dar a una expresión la forma de un binomio al cuadrado,

Este método se llama "completar el cuadrado" debido al hecho de que en este método "completamos" una parte faltante de cierta expresión para obtener de ella una forma de binomio al cuadrado,

Es decir, usamos las fórmulas para el cuadrado de un binomio:

$(c\pm d)^2=c^2\pm2cd+d^2$

Y llevamos la expresión a una forma cuadrada sumando y restando el término faltante,

En el problema dado primero nos referiremos a la ecuación dada

$2x^2+14\sqrt{2}x-15=0$

Primero, intentaremos dar a la expresión en el lado izquierdo de la ecuación una forma que se asemeje a la forma del lado derecho en las fórmulas de multiplicación abreviada mencionadas, también identificaremos que nos interesa la forma de adición de la fórmula de multiplicación abreviada, esto es porque el término que no está al cuadrado en la expresión dada,:

$14\sqrt{2}x$

tiene un signo positivo,continuaremos,

Primero, trataremos con los dos términos con las potencias más altas en la expresión solicitada en el lado izquierdo de la ecuación,

E intentaremos identificar el término faltante en comparación con la fórmula de multiplicación abreviada,

Para hacer esto, primero presentaremos estos términos en una forma similar a la forma de los dos primeros términos en la fórmula de multiplicación abreviada:

$\underline{ 2x^2+14\sqrt{2}x}-15\textcolor{blue}{\leftrightarrow} \underline{ c^2+2cd+d^2 }\\ \\ \hspace{4pt}\\ \\ \underline{ (\sqrt{2})^2x^2+14\sqrt{2}x}-15\textcolor{blue}{\leftrightarrow} \underline{ c^2+2cd+d^2 }\\ \\ \downarrow\\ \underline{(\textcolor{red}{\sqrt{2}x})^2\stackrel{\downarrow}{+2 }\cdot \textcolor{red}{\sqrt{2}x}\cdot \textcolor{green}{7}}-15 \textcolor{blue}{\leftrightarrow} \underline{ \textcolor{red}{c}^2\stackrel{\downarrow}{+2 }\textcolor{red}{c}\textcolor{green}{d}\hspace{2pt}\boxed{+\textcolor{green}{d}^2}} \\$

Se puede notar que en comparación con la fórmula de multiplicación abreviada (que está en el lado derecho de la flecha azul en el cálculo anterior) estamos haciendo la analogía:

$\begin{cases} \sqrt{2}x\textcolor{blue}{\leftrightarrow}c\\ 7\textcolor{blue}{\leftrightarrow}d \end{cases}$

Por lo tanto, identificamos que si queremos obtener una forma de binomio al cuadrado de estos dos términos (subrayados abajo en el cálculo),

necesitaremos agregar a estos dos términos el término $7^2$

Sin embargo, no queremos cambiar el valor de la expresión en cuestión, y por lo tanto, también restaremos este término de la expresión,

Es decir, agregaremos y restaremos el término (o expresión) que necesitamos para "completar" la forma de un binomio al cuadrado,

En el siguiente cálculo, se demuestra el "truco" (dos líneas bajo el término que agregamos y restamos de la expresión),

Luego, pondremos en la forma de binomio al cuadrado la expresión apropiada (demostrada con colores) y en la última etapa simplificaremos más la expresión:

$(\sqrt{2}x)^2+2\cdot \sqrt{2}x\cdot 7-15\\ (\sqrt{2}x)^2+2\cdot\sqrt{2}x\cdot 7\underline{\underline{+7^2-7^2}}-15\\ (\textcolor{red}{\sqrt{2}x})^2+2\cdot \textcolor{red}{\sqrt{2}x}\cdot \textcolor{green}{7}+\textcolor{green}{7}^2-49-15\\ \downarrow\\ (\textcolor{red}{\sqrt{2}x}+\textcolor{green}{7})^2-49-15\\ \downarrow\\ \boxed{(\sqrt{2}x+7)^2-64}$

Así, obtuvimos la forma completada del cuadrado para la expresión dada,

Resumamos las etapas de desarrollo, lo haremos ahora dentro de la ecuación dada:

$2x^2+14\sqrt{2}x-15=0 \\ (\sqrt{2}x)^2+2\cdot \sqrt{2}x\cdot 7-15=0\\ (\textcolor{red}{\sqrt{2}x})^2+2\cdot \textcolor{red}{\sqrt{2}x}\cdot \textcolor{green}{7}\underline{\underline{+\textcolor{green}{7}^2-7^2}}-15=0\\ \downarrow\\ (\textcolor{red}{\sqrt{2}x}+\textcolor{green}{7})^2-49-15=0\\ \downarrow\\ \boxed{(\sqrt{2}x+7)^2-64=0}$

Ahora, podemos aislar de esta expresión una expresión algebraica más simple,

Lo haremos transfiriendo lados y extrayendo una raíz cuadrada:

$(\sqrt{2}x+7)^2-64=0\\ (\sqrt{2}x+7)^2=64\hspace{6pt}\text{/}\sqrt{\hspace{6pt}}\\ \downarrow\\ \boxed{\sqrt{2}x+7=\pm8}$

(Recordaremos por supuesto que extraer una raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación implica considerar dos posibilidades - con signo positivo y con signo negativo)

Notemos ahora que nos interesa el valor de la expresión:

$\sqrt {2}x+5=\text{?}$

Que podemos extraer fácilmente de las ecuaciones que obtuvimos,

En esta etapa enfatizaremos dos cosas importantes:

A. Obtuvimos dos ecuaciones que requieren dos valores con signos opuestos para la misma expresión

$\sqrt{2}x+7=\pm8$

Pero es fácil entender que estas dos ecuaciones no pueden mantenerse juntas a menos que la expresión sea igual a 0, lo cual no es el caso aquí.

B. Debido a esto, necesitamos separar y resolver cada una independientemente para obtener todas las posibilidades para el valor de la expresión solicitada,

Continuaremos, y nos referiremos a cada ecuación por separado, primero intentaremos identificar la expresión solicitada, y luego aislarla, en cada ecuación por separado:

$\sqrt{2}x+7=\pm8 \\ \underline{\textcolor{blue}{\sqrt{2}x+5}}+2=\pm8 \\ \downarrow\\ \sqrt{2}x+5+2=8 \rightarrow\boxed{\sqrt{2}x+5=6} \\ \sqrt{2}x+5+2=-8 \rightarrow\boxed{\sqrt{2}x+5=-10} \\ \downarrow\\ \boxed{\sqrt{2}x+5=6,\hspace{4pt}-10}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es la respuesta D.

 Recordemos que la ecuación de un círculo con su centro en $O(x_o,y_o)$ y su radio $R$ es:

$(x-x_o)^2+(y-y_o)^2=R^2$Ahora, veamos la ecuación del círculo dado:

$x^2-8ax+y^2+10ay=-5a^2$
Intentaremos reorganizar esta ecuación para que coincida con la ecuación del círculo, o en otras palabras, nos aseguraremos de que en el lado izquierdo esté la suma de dos expresiones binomiales al cuadrado, una para x y otra para y.

Haremos esto utilizando el método de "completar el cuadrado":

Recordemos la fórmula corta para elevar un binomio al cuadrado:

$(c\pm d)^2=c^2\pm2cd+d^2$Trataremos por separado la parte de la ecuación relacionada con x en la ecuación (subrayada):

$\underline{ x^2-8ax}+y^2+10ay=-5a^2$

Aislaremos estos dos términos de la ecuación y los trataremos por separado.

Presentaremos estos términos en una forma similar a la forma de los dos primeros términos en la fórmula abreviada (elegiremos la forma de resta de la fórmula del binomio al cuadrado ya que el término en la primera potencia con el que estamos tratando es$8ax$$$, que tiene un signo negativo):

$\underline{ x^2-8ax} \textcolor{blue}{\leftrightarrow} \underline{ c^2-2cd+d^2 }\\ \downarrow\\ \underline{\textcolor{red}{x}^2\stackrel{\downarrow}{-2 }\cdot \textcolor{red}{x}\cdot \textcolor{green}{4a}} \textcolor{blue}{\leftrightarrow} \underline{ \textcolor{red}{c}^2\stackrel{\downarrow}{-2 }\textcolor{red}{c}\textcolor{green}{d}\hspace{2pt}\boxed{+\textcolor{green}{d}^2}} \\$Observa que en comparación con la fórmula corta (que está en el lado derecho de la flecha azul en el cálculo anterior), en realidad estamos haciendo la comparación:

$\begin{cases} x\textcolor{blue}{\leftrightarrow}c\\ 4a\textcolor{blue}{\leftrightarrow}d \end{cases}$ Por lo tanto, si queremos obtener una forma de binomio al cuadrado de estos dos términos (subrayados en el cálculo), necesitaremos agregar el término$(4</span><span class="katex">a)^2$, pero no queremos cambiar el valor de la expresión, y por lo tanto también restaremos este término de la expresión.

Es decir, agregaremos y restaremos el término (o expresión) que necesitamos para "completar" la forma del binomio al cuadrado,

En el siguiente cálculo, el "truco" está resaltado (dos líneas bajo el término que agregamos y restamos de la expresión),

A continuación, pondremos la expresión en la forma de binomio al cuadrado la expresión apropiada (resaltada con colores) y en la última etapa simplificaremos la expresión:

$x^2-2\cdot x\cdot 4a\\ x^2-2\cdot x\cdot4a\underline{\underline{+(4a)^2-(4a)^2}}\\ \textcolor{red}{x}^2-2\cdot \textcolor{red}{x}\cdot \textcolor{green}{4a}+(\textcolor{green}{4a})^2-16a^2\\ \downarrow\\ \boxed{ (\textcolor{red}{x}-\textcolor{green}{4a})^2-16a^2}\\$Resumamos los pasos que hemos dado hasta ahora para la expresión con x.

Haremos esto dentro de la ecuación dada:

$x^2-8ax+y^2+10ay=-5a^2 \\ \textcolor{red}{x}^2-2\cdot \textcolor{red}{x}\cdot\textcolor{green}{4a}\underline{\underline{+\textcolor{green}{(4a)}^2-(4a)^2}}+y^2+10ay=-5a^2\\ \downarrow\\ (\textcolor{red}{x}-\textcolor{green}{4a})^2-16a^2+y^2+10ay=-5a^2\\$Continuaremos y haremos lo mismo para las expresiones con y en la ecuación resultante:

(Ahora elegiremos la forma de adición de la fórmula del binomio al cuadrado ya que el término en la primera potencia con el que estamos tratando $10ay$$$ tiene un signo positivo)

$(x-4a)^2-16a^2+\underline{y^2+10ay}=-5a^2\\ \downarrow\\ (x-4a)^2-16a^2+\underline{y^2+2\cdot y \cdot 5a}=-5a^2\\ (x-4a)^2-16a^2+\underline{y^2+2\cdot y \cdot 5a\underline{\underline{+(5a)^2-(5a)^2}}}=-5a^2\\ \downarrow\\ (x-4a)^2-16a^2+\underline{\textcolor{red}{y}^2+2\cdot\textcolor{red}{ y}\cdot \textcolor{green}{5a}+\textcolor{green}{(5a)}^2-25a^2}=-5a^2\\ \downarrow\\ (x-4a)^2-16a^2+(\textcolor{red}{y}+\textcolor{green}{5a})^2-25a^2=-5a^2\\ \boxed{(x-4a)^2+(y+5a)^2=36a^2}$En el último paso, movemos los números libres al segundo lado y combinamos términos semejantes.

Ahora que la ecuación del círculo dado está en la forma de la ecuación general del círculo mencionada anteriormente, podemos extraer fácilmente tanto el centro del círculo dado como su radio:

$(x-\textcolor{purple}{x_o})^2+(y-\textcolor{orange}{y_o})^2=\underline{\underline{R^2}} \\ \updownarrow \\ (x-\textcolor{purple}{4a})^2+(y+\textcolor{orange}{5a})^2=\underline{\underline{36a^2}}\\ \downarrow\\ (x-\textcolor{purple}{4a})^2+(y\stackrel{\downarrow}{- }(-\textcolor{orange}{5a}))^2=\underline{\underline{36a^2}}\\$

En el último paso, nos aseguramos de obtener la forma exacta de la ecuación general del círculo, es decir, donde solo se realiza resta dentro de las expresiones al cuadrado (enfatizado con una flecha)

Por lo tanto, podemos concluir que el centro del círculo está en:$\boxed{O(x_o,y_o)\leftrightarrow O(4a,-5a)}$ y extraer el radio del círculo resolviendo una ecuación simple:

$R^2=36a^2\hspace{6pt}\text{/}\sqrt{\hspace{4pt}}\\ \rightarrow \boxed{R=\pm6a}$

Recuerda que el radio del círculo, por su definición, es la distancia entre cualquier punto del diámetro y el centro del círculo. Como es positivo, debemos descalificar una de las opciones que obtuvimos para el radio.

Para hacer esto, utilizaremos la información restante que no hemos usado aún, que es que el centro del círculo dado O está en el segundo cuadrante.

Es decir:

O(x_o,y_o)\leftrightarrow x_o<0,\hspace{4pt}y_o>0 (O en palabras: el valor de x del centro del círculo es negativo y el valor de y del centro del círculo es positivo)

Por lo tanto, debe ser cierto que:

\begin{cases} x_o<0\rightarrow (x_o=4a)\rightarrow 4a<0\rightarrow\boxed{a<0}\\ y_o>0\rightarrow (y_o=-5a)\rightarrow -5a>0\rightarrow\boxed{a<0} \end{cases}

Concluimos que a<0 y como el radio del círculo es positivo, concluimos que necesariamente:

$\rightarrow \boxed{R=-6a}$Resumamos:

$\boxed{O(4a,-5a), \hspace{4pt}R=-6a}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción d. 

En el problema dado, se nos pide determinar dónde está ubicado el centro de un cierto círculo en relación con el otro círculo,

Para hacer esto, necesitamos encontrar primero las características de los círculos dados, es decir - sus coordenadas del centro y su radio, recordemos primero que la ecuación de un círculo con centro en el punto

$O(x_o,y_o)$

y radio R es:

$(x-x_o)^2+(y-y_o)^2=R^2$

Además, recordemos que podemos determinar fácilmente si un cierto punto está dentro/fuera o sobre un círculo dado calculando la distancia del punto desde el centro del círculo en cuestión y comparando el resultado con el radio del círculo dado,

Volvamos ahora al problema y las ecuaciones de los círculos dados y examinémoslas:

$C_O: x^2-4x+y^2+6y=12\\ C_M: x^2+2x+y^2-2y=7\\$

Comencemos con el primer círculo:

$C_O: x^2-4x+y^2+6y=12$

y encontremos su centro y radio, lo haremos usando el método de "completar el cuadrado",

Intentaremos dar a esta ecuación una forma idéntica a la forma de la ecuación del círculo, es decir - nos aseguraremos de que en el lado izquierdo haya la suma de dos expresiones binomiales al cuadrado, una para x y otra para y, lo haremos usando el método de "completar el cuadrado":

Para hacer esto, primero recordemos de nuevo las fórmulas de multiplicación abreviada para el binomio al cuadrado:

$(c\pm d)^2=c^2\pm2cd+d^2$

y trataremos por separado la parte de la ecuación relacionada con x en la ecuación (subrayada):

$\underline{ x^2-4x}+y^2+6y=12$

Continuaremos, por conveniencia y claridad de la discusión - separaremos estos dos términos de la ecuación y los trataremos por separado,

Presentaremos estos términos en una forma similar a la forma de los dos primeros términos en la fórmula de multiplicación abreviada (elegiremos la forma de sustracción de la fórmula del binomio al cuadrado ya que el término con la primera potencia 4x en la expresión que estamos tratando es negativo):

$\underline{ x^2-4x}+y^2+6y=12 \\ \underline{ x^2-4x}\textcolor{blue}{\leftrightarrow} \underline{ c^2-2cd+d^2 }\\ \downarrow\\ \underline{\textcolor{red}{x}^2\stackrel{\downarrow}{-2 }\cdot \textcolor{red}{x}\cdot \textcolor{green}{2}} \textcolor{blue}{\leftrightarrow} \underline{ \textcolor{red}{c}^2\stackrel{\downarrow}{-2 }\textcolor{red}{c}\textcolor{green}{d}\hspace{2pt}\boxed{+\textcolor{green}{d}^2}} \\$

Se puede notar que en comparación con la fórmula de multiplicación abreviada (en el lado derecho de la flecha azul en el cálculo anterior) estamos haciendo en realidad la analogía:

$\begin{cases} x\textcolor{blue}{\leftrightarrow}c\\ 2\textcolor{blue}{\leftrightarrow}d \end{cases}$

Por lo tanto, identificaremos que si queremos obtener de estos dos términos (subrayados en el cálculo) una forma de binomio al cuadrado,

necesitaremos agregar a estos dos términos el término

$2^2$

Sin embargo, no queremos cambiar el valor de la expresión en cuestión, y por lo tanto - también restaremos este término de la expresión,

es decir - agregaremos y restaremos el término (o expresión) que necesitamos para "completar" la forma del binomio al cuadrado,

En el siguiente cálculo, el "truco" está resaltado (dos líneas bajo el término que agregamos y restamos de la expresión),

A continuación - insertaremos en la forma del binomio al cuadrado la expresión apropiada (resaltada usando colores) y en la última etapa simplificaremos aún más la expresión:

$x^2-2\cdot x\cdot 2\\ x^2-2\cdot x\cdot2\underline{\underline{+2^2-2^2}}\\ \textcolor{red}{x}^2-2\cdot \textcolor{red}{x}\cdot \textcolor{green}{2}+\textcolor{green}{2}^2-4\\ \downarrow\\ \boxed{ (\textcolor{red}{x}-\textcolor{green}{2})^2-4}\\$

Resumamos las etapas de desarrollo hasta ahora para la expresión relacionada con x, lo haremos ahora dentro de la ecuación del círculo dado:

$C_O: x^2-4x+y^2+6y=12 \\ C_O: \textcolor{red}{x}^2-2\cdot \textcolor{red}{x}\cdot\textcolor{green}{2}\underline{\underline{+\textcolor{green}{2}^2-2^2}}+y^2+6y=12 \\ \downarrow\\ C_O:(\textcolor{red}{x}-\textcolor{green}{2})^2-4+y^2+6y=12$

Continuaremos y realizaremos un proceso idéntico para las expresiones relacionadas con y en la ecuación resultante:

(Ahora elegiremos la forma de adición de la fórmula del binomio al cuadrado ya que el término con la primera potencia 6y en la expresión que estamos tratando es positivo)

$(x-2)^2-4+\underline{y^2+6y}=12\\ \downarrow\\ (x-2)^2-4+\underline{y^2+2\cdot y \cdot 3}=12\\ (x-2)^2-4+\underline{y^2+2\cdot y \cdot 3\underline{\underline{+3^2-3^2}}}=12\\ \downarrow\\ (x-2)^2-4+\underline{\textcolor{red}{y}^2+2\cdot\textcolor{red}{ y}\cdot \textcolor{green}{3}+\textcolor{green}{3}^2-9}=12\\ \downarrow\\ ( (x-2)^2-4+(\textcolor{red}{y}+\textcolor{green}{3})^2-9=12\\ C_O:\boxed{ (x-2)^2+(y+5a)^2=25}$

En la última etapa, movimos los números libres al otro lado y combinamos términos similares,

Ahora que hemos cambiado la ecuación del círculo dado a la forma de la ecuación general del círculo mencionada anteriormente, podemos extraer fácilmente tanto el centro del círculo dado como su radio:

$(x-\textcolor{purple}{x_o})^2+(y-\textcolor{orange}{y_o})^2=\underline{\underline{R^2}} \\ \updownarrow \\ C_O:(x-\textcolor{purple}{2})^2+(y+\textcolor{orange}{3})^2=\underline{\underline{25}}\\ \downarrow\\ C_O:(x-\textcolor{purple}{2})^2+(y\stackrel{\downarrow}{- }(-\textcolor{orange}{3}))^2=\underline{\underline{25}}\\$

En la última etapa, nos aseguramos de obtener la forma exacta de la ecuación general del círculo - es decir, donde solo se realiza sustracción dentro de las expresiones al cuadrado (resaltado por la flecha)

Por lo tanto, podemos concluir que el centro del círculo está en el punto:

$\boxed{O(x_o,y_o)\leftrightarrow O(2,-3)}$

y extraer el radio del círculo resolviendo una ecuación simple:

$R^2=25\hspace{6pt}\text{/}\sqrt{\hspace{4pt}}\\ \rightarrow \boxed{R=5}$

Resumamos la información hasta ahora:

$C_O:\begin{cases} O(2,-3)\\ R=5 \end{cases}$

Ahora abordemos la ecuación del segundo círculo dado y encontremos su centro y radio a través de un proceso idéntico, aquí lo haremos en paralelo para ambas variables:

$C_M: x^2+2x+y^2-2y=7 \\ \downarrow\\ C_M: x^2+2\cdot x\cdot 1+y^2-2\cdot y\cdot 1=7 \\\\ \downarrow\\ C_M: (x+1)^2-1^2+(y-1)^2-1^2=7 \\ C_M:\boxed{ (x+1)^2+(y-1)^2=9} \\ \downarrow\\ C_M:\boxed{ (x-(1))^2+(y-1)^2=3^2} \\\\$

Por lo tanto, concluiremos que el centro y el radio del círculo son:

$C_M:\begin{cases} M(-1,1)\\ R=3 \end{cases}$

Ahora para determinar cuál de las opciones es la más correcta, es decir - para entender dónde están los centros de los círculos en relación con los círculos mismos, todo lo que necesitamos hacer es calcular la distancia entre los centros de los círculos (usando la fórmula de distancia entre dos puntos) y verificar el resultado en relación con los radios de los círculos, presentemos primero los datos de los dos círculos:

$C_O:\begin{cases} O(2,-3)\\ R=5 \end{cases},\hspace{6pt} C_M:\begin{cases} M(-1,1)\\ R=3 \end{cases}$

Recordemos que la distancia entre dos puntos en un plano con coordenadas:

$A(x_A,y_A),\hspace{6pt}B(x_B,y_B)$

es:

$d_{AB}=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}$

Y por lo tanto, la distancia entre los centros de los círculos es:

$d_{OM}=\sqrt{(2-(-1))^2+(-3-1)^2} \\ d_{OM}=\sqrt{9+16} =\sqrt{25} \\ \boxed{d_{OM}=5}$

Es decir, obtuvimos que la distancia entre los centros de los círculos es 5,

Notemos que la distancia entre los centros de los círculos

$d_{OM}$

es igual exactamente al radio del círculo

$C_O$

Es decir - el punto M está sobre el círculo

$C_O$

(Y esto se deduce de la definición de un círculo como el conjunto de todos los puntos en un plano que están a una distancia igual al radio del círculo desde el centro del círculo, por lo tanto, necesariamente un punto a una distancia del centro del círculo igual al radio del círculo - está sobre el círculo)

Además, notemos que la distancia entre los centros de los círculos

$d_{OM}$

es mayor que el radio del círculo

$C_M$

Es decir - el punto O está fuera del círculo

$C_M$

Por lo tanto, la respuesta más correcta es la respuesta B.

En el problema dado, se nos pide determinar dónde se encuentra ubicado un cierto punto en relación con un círculo dado,

Para hacer esto, necesitamos primero encontrar las características del círculo dado, es decir, su centro y radio,

Recordemos primero que la ecuación de un círculo con centro en el punto

$O(x_o,y_o)$

y radio R es:

$(x-x_o)^2+(y-y_o)^2=R^2$

Además, recordemos que podemos determinar fácilmente si un cierto punto está dentro/fuera del círculo o sobre él, calculando la distancia del punto al centro del círculo en cuestión y comparando el resultado con el radio del círculo dado,

Volvamos ahora al problema y a la ecuación del círculo dado y examinémoslos:

$x^2+8x+y^2-4y=-4$

Encontremos su centro y radio, lo haremos usando el método de "completar el cuadrado",

Intentaremos dar a esta ecuación una forma idéntica a la ecuación general del círculo, es decir, nos aseguraremos de que en el lado izquierdo haya una suma de dos expresiones binomiales al cuadrado, una para x y otra para y, lo haremos usando el método de "completar el cuadrado":

Para esto, recordemos primero las fórmulas de multiplicación abreviada para binomios al cuadrado:

$(c\pm d)^2=c^2\pm2cd+d^2$

y trataremos por separado la parte de la ecuación relacionada con x en la ecuación (subrayada):

$\underline{x^2+8x}+y^2-4y=-4$

Continuaremos, por conveniencia y claridad de la discusión, separaremos estos dos términos de la ecuación y los trataremos por separado,

Presentaremos estos términos en una forma similar a la forma de los dos primeros términos en la fórmula de multiplicación abreviada (elegiremos la forma de adición de la fórmula del binomio al cuadrado ya que el término con la primera potencia con el que estamos tratando 8x tiene un signo positivo):

$\underline{ x^2+8x}+y^2+6y=12 \\ \underline{ x^2+8x}\textcolor{blue}{\leftrightarrow} \underline{ c^2+2cd+d^2 }\\ \downarrow\\ \underline{\textcolor{red}{x}^2\stackrel{\downarrow}{+2 }\cdot \textcolor{red}{x}\cdot \textcolor{green}{4}} \textcolor{blue}{\leftrightarrow} \underline{ \textcolor{red}{c}^2\stackrel{\downarrow}{+2 }\textcolor{red}{c}\textcolor{green}{d}\hspace{2pt}\boxed{+\textcolor{green}{d}^2}} \\$

Podemos notar que en comparación con la fórmula de multiplicación abreviada (en el lado derecho de la flecha azul en el cálculo anterior) estamos haciendo en realidad la analogía:

$\begin{cases} x\textcolor{blue}{\leftrightarrow}c\\ 4\textcolor{blue}{\leftrightarrow}d \end{cases}$

Por lo tanto, identificaremos que si queremos obtener de estos dos términos (subrayados en el cálculo) una forma de binomio al cuadrado,

necesitaremos agregar a estos dos términos el término

$4^2$

Sin embargo, no queremos cambiar el valor de la expresión en cuestión, y por lo tanto, también restaremos este término de la expresión,

es decir, agregaremos y restaremos el término (o expresión) necesario para "completar" la forma del binomio al cuadrado,

En el siguiente cálculo, el "truco" está resaltado (dos líneas bajo el término que agregamos y restamos de la expresión) ,

A continuación, insertaremos en la forma del binomio al cuadrado la expresión apropiada (resaltada con colores) y en la última etapa simplificaremos aún más la expresión:

$x^2+2\cdot x\cdot 4\\ x^2+2\cdot x\cdot4\underline{\underline{+4^2-4^2}}\\ \textcolor{red}{x}^2+2\cdot \textcolor{red}{x}\cdot \textcolor{green}{4}+\textcolor{green}{4}^2-16\\ \downarrow\\ \boxed{ (\textcolor{red}{x}+\textcolor{green}{4})^2-16}\\$

Resumamos las etapas de desarrollo hasta ahora para la expresión relacionada con x, lo haremos ahora dentro de la ecuación del círculo dado:

$x^2+8x+y^2-4y=-4\\ \textcolor{red}{x}^2+2\cdot \textcolor{red}{x}\cdot\textcolor{green}{4}\underline{\underline{+\textcolor{green}{4}^2-4^2}}+y^2-4y=-4 \\ \downarrow\\ (\textcolor{red}{x}+\textcolor{green}{4})^2-16+y^2-4y=-4\\$

Continuaremos y realizaremos un proceso idéntico para las expresiones relacionadas con y en la ecuación resultante:

(Ahora elegiremos la forma de sustracción de la fórmula del binomio al cuadrado ya que el término con la primera potencia con el que estamos tratando 4y tiene un signo negativo)

$(x+4)^2-16+\underline{y^2-4y}=-4\\ \downarrow\\ (x+4)^2-16+\underline{y^2-2\cdot y \cdot 2}=-4\\ (x+4)^2-16+\underline{y^2-2\cdot y \cdot 2\underline{\underline{+2^2-2^2}}}=-4\\ \downarrow\\ (x+4)^2-16+\underline{\textcolor{red}{y}^2-2\cdot\textcolor{red}{ y}\cdot \textcolor{green}{2}+\textcolor{green}{2}^2-4}=-4\\ \downarrow\\ (x+4)^2-16+(\textcolor{red}{y}-\textcolor{green}{2})^2-4=-4\\ \boxed{ (x+4)^2+(y-2)^2=16}$

En la última etapa, movimos los números libres al otro lado y combinamos términos similares,

Ahora que hemos cambiado la ecuación del círculo dado a la forma de la ecuación general del círculo mencionada anteriormente, podemos extraer de la ecuación dada tanto el centro del círculo dado como su radio simplemente:

$(x-\textcolor{purple}{x_o})^2+(y-\textcolor{orange}{y_o})^2=\underline{\underline{R^2}} \\ \updownarrow \\ C_O:(x+\textcolor{purple}{4})^2+(y-\textcolor{orange}{2})^2=\underline{\underline{16}}\\ \downarrow\\ C_O:(x-(-\textcolor{purple}{4}))^2+(y\stackrel{\downarrow}{- }\textcolor{orange}{2})^2=\underline{\underline{16}}\\$

En la última etapa, nos aseguramos de obtener la forma exacta de la ecuación general del círculo - es decir, donde solo se realiza la sustracción dentro de las expresiones al cuadrado (resaltado por la flecha)

Por lo tanto, podemos concluir que el centro del círculo está en el punto :

$\boxed{O(x_o,y_o)\leftrightarrow O(-4,2)}$

Y extraer el radio del círculo resolviendo una ecuación simple:

$R^2=16\hspace{6pt}\text{/}\sqrt{\hspace{4pt}}\\ \rightarrow \boxed{R=4}$

Es decir, las características del círculo (su centro y radio) son:

$\begin{cases} O(-4,2)\\ R=4 \end{cases}$

Ahora para determinar cuál de las opciones es la más correcta, es decir, para entender dónde está ubicado el punto dado:

$A(0,2)$

En relación con el círculo dado, todo lo que necesitamos hacer es calcular la distancia entre el punto dado y el centro del círculo dado (usando la fórmula de distancia entre dos puntos) y verificar el resultado en relación con el radio del círculo , primero-

Recordemos que la distancia entre dos puntos en un plano con coordenadas :

$A(x_A,y_A),\hspace{6pt}B(x_B,y_B)$

es:

$d_{AB}=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}$

Y por lo tanto, la distancia entre el punto dado y el centro del círculo dado es:

$\begin{cases} O(-4,2)\\ A(0,2) \end{cases}\\ \downarrow\\ d_{OA}=\sqrt{(-4-0)^2+(2-2)^2} \\ d_{OA}=\sqrt{16+0} =\sqrt{16} \\ \boxed{d_{OA}=4}$

Es decir, obtuvimos que la distancia entre el punto dado y el centro del círculo dado es 4,

Notemos que la distancia entre el punto dado y el centro del círculo dado$d_{OA}$es igual exactamente al radio del círculo :

$d_{OA}=R=4$

Es decir, el punto A está ubicado sobre el círculo dado,

(Esto se deduce de la definición de un círculo como el conjunto de todos los puntos en un plano que están a una distancia igual al radio del círculo desde el centro del círculo, por lo tanto, necesariamente un punto ubicado a una distancia del centro del círculo igual al radio del círculo - está sobre el círculo)

Y por lo tanto, la respuesta más correcta es la respuesta c.