La fórmula cuadrática

Si bien este método no cubre todos los casos, puede ser de gran utilidad, ya que puede proporcionarnos una solución rápida a la ecuación que debemos resolver. Y sin la necesidad de utilizar una calculadora de ecuaciones cuadráticas.  

Es importante tener en cuenta, que a diferencia de la fórmula cuadrática, resolver una ecuación con un trinomio, solamente es posible en ecuaciones que contienen tres miembros, por ejemplo:

$X^2+5X=0$
En este caso no será posible convertir la ecuación en un trinomio cuadrado perfecto. De todos modos, se recomienda conocer este método, aunque en la mayoría de los casos utilizaremos la fórmula cuadrática.

En primer lugar, las ecuaciones son la base de todos los temas de matemáticas, y existen muchos tipos de ellas. Hay ecuaciones con una variable (una incógnita que generalmente se representa con la letra $X$), y hay ecuaciones de primer grado con varias variables. Así también existen ecuaciones de segundo grado donde la variable está elevada al cuadrado. Así es que hay muchos tipos de ecuaciones.

Cuando tenemos ecuaciones de primer grado, la forma más simple de resolverlas, y que se aplica en la mayoría de los casos: quitar paréntesis, pasar las incógnitas a un miembro y los números al otro miembro, reducir a términos semejantes, despejar la incógnita, y comprobar la solución. El cálculo puede ser más o menos complejo, pero la lógica para resolverlas es siempre la misma.

Antes de explicar qué es lo que debemos hacer cuando tenemos una incógnita de segundo grado, conviene que repasemos la terminología a ser usada:

• Expresión: una expresión es en realidad otra manera de nombrar una ecuación, una fórmula, o básicamente cualquier ejercicio matemático.
• Factores: un factor es cualquier tipo de número o variable en una expresión / ecuación.
• Coeficiente: un coeficiente es un factor no variable que multiplica el factor que aparece antes.
  Por ejemplo, en la expresión $4X+5Y+2$
  $4$ es el coeficiente de $X$
  y $5$ es el coeficiente de $Y$

Ten en cuenta que el coeficiente no siempre será un número. A veces, los coeficientes también aparecen como un parámetro que debe encontrarse. Por ejemplo $aX+bX$ . En este caso a y $b$, son los coeficientes de $X$.

• Variable: como mencionamos antes, una variable es una incógnita que generalmente se representa con la letra $X$, pero también se puede representar con cualquier otra letra, como en las ecuaciones con dos incógnitas. Por ejemplo: $X+Y=3$
• Parámetro: el parámetro es similar a una variable, o incógnita. Es un factor cuyo valor se desconoce pero se usa como un valor conocido para resolver la ecuación. Se representa con letras pero a diferencia de una variable o una incógnita, como ya se mencionó, su valor no cambia.
• Miembro (o lado) de la ecuación: es básicamente la expresión que se encuentra en ambos lados de la ecuación (signo de igualdad). Todo lo que está en el lado izquierdo de la ecuación se llama miembro izquierda y todo lo que está en el lado derecho, por supuesto, se llama miembro derecho de la ecuación. Por ejemplo, a veces queremos hacer la misma operación aritmética en ambos miembros.

Explicaremos qué es una ecuación de primer grado

Una ecuación de primer grado, es básicamente una forma de describir en lenguaje matemático una línea recta y su posición relativa a un sistema de ejes. Estos ejes constan de un plano horizontal y vertical que se cruzan entre ellos y forman cuatro cuadrados que dividen el sistema en un eje positivo ($+$) y un eje negativo ($-$). Por ejemplo, la ecuación $Y=X+2=0$ se describe directamente en el eje. Cuando $Y$ es igual a cero, $X=-2$. Lo cual en realidad, significa que en el punto $0$ del eje $Y$, la línea se cruza con el eje $X$ en el punto $-2$. 

Por ejemplo expliquemoslo con el siguiente caso. Si tenemos la expresión: $X-3=6$
$X-3$ es el miembro izquierdo

• y $6$ es el miembro derecho .
  
  Supongamos que se nos pide que encontremos el valor de la variable $X$ en la ecuación anterior. Para ello, podemos sumar $3$ en ambos miembros para saber cuál es nuestra variable. En este caso, la expresión sería así:
• $X-3+3=6+3$

Así es que la respuesta es

• $X=9$
   
• Términos: cuando queremos reducir la cantidad de nuestras variables, hacemos una acción llamada reducción de términos. Supongamos que tenemos la expresión $X+X+X$, podemos poner todas las variables juntas y plantearlas como $3X$

Otro ejemplo tenemos la ecuación $X+5Y+3X+2Y$

Después de unir los términos, se verá así: $4X+7Y$

• Potencia: la potencia es la multiplicación de un factor por sí mismo. Por ejemplo: 3 elevado a $2$ (también llamado $3$ al cuadrado) es en realidad $3$ veces $3$. De modo que 3 elevado al cuadrado es igual a $9$.
• Raíz cuadrada: la raíz cuadrada, es la acción opuesta a la multiplicación. Es decir, es la división por sí mismo. Por ejemplo, $√16$ es igual a $4$. Ya que $4$ por $4$ (o $4$ elevado a $2$) es igual a $16$. Ten en cuenta que los números obtenidos por una raíz cuadrada no siempre son números enteros. Por ejemplo, $√10$ nos dará $3,16227766017$
• Parábola: una parábola es la gráfica de una función de segundo grado

Ahora que hemos terminado de explicar los términos básicos a ser usados, sigamos avanzando y aprendamos que sucede cuando tenemos incógnitas de segundo grado en una ecuación.

Para entenderlo, veamos la siguiente ecuación e intentemos resolverla:

$X^2+10X-4=0$

Nuestra intuición nos dice que ubiquemos la ecuación debajo de la raíz cuadrada para despejar la potencia, por lo cual encontraríamos la mayoría de los miembros de la ecuación debajo de la raíz cuadrdada, y de esta manera tendríamos que lidiar con fracciones decimales, obteniendo una fórmulas que serían prácticamente imposibles de resolver. La fórmula cuadrática (y otras soluciones), nos permiten resolver ecuaciones cuadráticas, o de segundo grado, de una manera relativamente simple y eficaz. Aquí aprenderemos los dos métodos más usados para resolver este tipo de ecuaciones.  

La raíz cuadrada es básicamente lo contrario a la potencia. La raíz significa dividir un factor en sí mismo. Por ejemplo, la raíz cuadrada de $X^2$ Es simplemente $X$. 

Para resolver la fórmula en su totalidad, sin poner toda la ecuación debajo de la raíz cuadrada, y entrar en una serie de cálculos complicados que sería prácticamente imposible de resolver, usaremos la fórmula cuadrática. 

La ecuación contiene 3 elementos:

• Parámetro a : Representa la posición del vértice de la parábola en el eje $Y$. Una parábola puede tener un vértice máximo, o un vértice mínimo.
• Parámetro b : Representa la posición del vértice de la parábola en el eje $X$.
• Parámetro c : Representa el punto de intersección de la parábola con el eje $Y$.

Los parámetros se expresan en la ecuación cuadrática de la siguiente manera: $aX^2+bX+c=0$

Una ecuación cuadrática (o de segundo grado), expresa algo completamente diferente sobre el sistema de ejes. En vez de una línea recta como en las ecuaciones de primer grado, aquí se trata de una parábola. Una parábola es una función, dibujada como una línea curva o un arco, en diferentes ubicaciones e intersecciones con el sistema de ejes. Si la ecuación tiene una solución, los valores de $X$ encontrados son los puntos de intersección de la parábola con el eje $X$. Por ejemplo, si tenemos la siguiente ecuación cuadrática:

$3X²+8X+4=0$

$X²+2X+0=0$

Es decir, estos son los coeficientes de las ecuaciones. Así es que para aplicar la fórmula cuadrática a la ecuación que presentamos anteriormente, solo necesitaremos ubicar los parámetros dentro de la fórmula, de acuerdo con los coeficientes de la ecuación.

$X²+2X+0=0$
Los valores de los parámetros serán:
$a =1$
$b =2$
$c =0$

Ahora solo nos falta formularlo así:

Ahora será mucho más sencillo.

Por lo tanto $x_1=0$

Para encontrar la X_² , en nuestra fórmula hay que restar de la siguiente manera:

Por lo tanto $x_2=-2$

Si realizamos la operaciones paso a paso, trabajando con cuidado, y si es necesario aplicamos una fórmula de multiplicación abreviada para simplificar la ecuación, llegaremos a un resultado preciso.

¿No hay solución? ¿Llegamos a un número negativo en la raíz cuadrada? - Esta es probablemente una ecuación sin resolver. Es importante proceder con cuidado para obtener un resultado preciso. Por lo tanto, usar la calculadora de ecuaciones cuadráticas puede ser de gran utilidad, para corroborar que estamos en la dirección correcta.

Su solución sería: $X=0$ y $X=-2$
lo que significa que los puntos de intersección en el eje $X$ serán en $-2$ y $0$.

De ser así, una ecuación cuadrática nos puede dar:

• dos soluciones (dos intersecciones de la función con el eje $X$

Otros ejemplos de representación gráfica de fórmulas cuadráticas

Una solución
Parábola tangente al eje $X$, como en la ecuación:
$Y=X^2+2X+1$

Ninguna solución
La parábola "flota" sobre el eje $X$, como en la ecuación:
$2=X^2+2X+2$

¿Cómo resolver ecuaciones cuadráticas sin una calculadora?

En la mayoría de los casos, usaremos la llamada fórmula cuadrática.

Usar la fórmula cuadrática es la manera más rápida y eficaz de resolver ecuaciones de segundo grado.

¿Por qué llamamos así a estas fórmulas?
En una ecuación de segundo grado tenemos una nueva variable con la que todavía no hemos podido lidiar, la variable $X^2$ Requiere que coloquemos la fórmula debajo de la raíz cuadrada para que podamos resolver la ecuación. Para comprender qué es la raíz cuadrada y cómo la usamos, debemos comprender qué es un número de segundo grado. 

Como ya hemos indicado al principio del artículo, un número de segundo grado (o número en potencia), es en realidad el resultado de multiplicar un número por sí mismo, pero en lugar de escribir $X\times X$ , lo escribimos así: $X^2$ Donde el número pequeño sobre el factor, llamado exponente, significa cuántas veces se debe multiplicar el factor por sí mismo.

Si bien este método no cubre todos los casos, puede ser de gran utilidad, ya que puede proporcionarnos una solución rápida a la ecuación que debemos resolver. Y sin la necesidad de utilizar una calculadora de ecuaciones cuadráticas. 

Es importante tener en cuenta, que a diferencia de la fórmula cuadrática, resolver una ecuación con un trinomio, solamente es posible en ecuaciones que contienen tres miembros, por ejemplo: $X^2+5X=0$
En este caso no será posible es convertir la ecuación en un trinomio cuadrado perfecto. De todos modos, se recomienda conocer este método, aunque en la mayoría de los casos utilizaremos la fórmula cuadrática.

A veces no se nos pedirá saber cuáles son los puntos de intersección de la función con el eje $X$, sino sólo cuántos puntos de intersección tiene con dicho eje.

Calculando el valor de delta podremos saberlo fácilmente.

Delta representa el cambio. En la fórmula cuadrática la delta es lo que aparece justo debajo de la raíz, es decir,

Si $> 0$ positivo => la ecuación tendrá dos soluciones.

Si $= 0$ la ecuación tendrá una solución.

Si $< 0$ negativo => la ecuación no tendrá solución.

¿Quieres ponerte a prueba? ¿O tal vez eres demasiado vago para resolver este ejercicio?; Consigue una calculadora para resolver ecuaciones cuadráticas. Simplemente tienes que saber ubicar los datos que faltan en la ecuación, y obtendrás la solución.

Tarea:

Resolver la siguiente ecuación:

$X^2+5X+4=0$

Solución:

$a= 1$

$b= 5$

$c= 4$

Reemplazamos en la fórmula de raíces los parámetros a, b, c de la ecuación dada:

$X_{1,2\text{ }}=\frac{-b±\sqrt{b²-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$

$X_{1,2\text{ }}=\frac{-5±\sqrt{5²-4\cdot1\cdot4}}{2\cdot a}$

$X_{1,2\text{ }}=\frac{-5±\sqrt{25-16}}{2}$

$X_{1,2\text{ }}=\frac{-5±\sqrt{9}}{2}=\frac{-5±3}{2}$

Respuesta:

La respuesta correcta es:

$X_1=-1,\text{ X}_2=-4$

Tarea:

Resolver la siguiente ecuación:

$2X²-10X-12=0$

Solución:

Reemplazamos los parámetros $a,b,c$ en la ecuación de la fórmula de raíces

$a=2$

$b=-10$

$c=-12$

$X_{1,2}=\frac{-b±\sqrt{b²-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$

$X_{1,2}=\frac{-(-10)±\sqrt{(-10)²-4\cdot2\cdot(-12)}}{2\cdot2}$

$X_{1,2}=\frac{10±\sqrt{100+96}}{4}$

$X_{1,2}=\frac{10±\sqrt{196}}{4}=\frac{10±14}{4}$

$X_1=\frac{10+14}{4}=\frac{24}{4}=6$

$X_2=\frac{10-14}{4}=\frac{-4}{4}=-1$

Respuesta:

La respuesta correcta es:

$X_1=6,\text{ X}_2=-1$

Tarea:

Resolver la siguiente ecuación:

$-81X^2+54X-9=0$

Solución:

Primero determinamos los parámetros $a,b,c$ en la ecuación dada y luego los ubicamos en la fórmula de las raíces:

$a=-81$

$b=54$

$c=-9$

$X_{1,2}=\frac{-b±\sqrt{b²-4\times a\times c}}{2\times a}$

$X_{1,2}=\frac{-54±\sqrt{54²-4\times (-81)\times(-9)}}{2\times(-81)}$

$X_{1,2}=\frac{-54±\sqrt{2916-2916}}{-162}$

$X_{1,2}=\frac{-54±\sqrt{0}}{-162}=\frac{-54}{-162}=\frac{1}{3}$

Respuesta:

$X=\frac{1}{3}$

Tarea:

Resolver la ecuación:

$-6X²+12X-14X=0$

Solución:

Como tenemos debajo de la raíz un número negativo, y un número negativo no tiene raíz cuadrada, entonces esta ecuación no tiene solución.

Respuesta:

No hay solución.

Tarea:

Dada la figura del triángulo

Dado:

$a+b=7$

También se da que la relación entre $CB$ y $AC$ es de $5:3$

Consigna:

Encontrar el valor de $a$ y $b$.

Solución:

Pitágoras en $\triangle ABC$

$AB²+AC²=BC²$

Se sabe más de los datos sobre la relación de:

$\frac{CB}{AC}=\frac{5}{3}$

Es decir:

$\frac{CB}{a}=\frac{5}{3}$ Multiplicamos ambos términos $\times a$

Quiere decir que:

$CB=\frac{5}{3}a$

Reemplazamos todos los datos en la fórmula:

$b²+a²=(\frac{5}{3}a)²$

$a+b=7$,$b=7-a$

$(7-a)²+a²=(\frac{5}{3}a)²$

$7²+a²-2\times7\times a+a²=\frac{25}{9}a²$

$2a²-14a+49=\frac{25}{9}a²$

$0=\frac{7}{9}a²+14a-49$

Fórmula de las raíces

$X_{1,2}=\frac{-b±\sqrt{b²-4\times a\times c}}{2\times a}$

$X_{1,2}=\frac{-14±\sqrt{14²-4\times\frac{7}{9}\times(-49)}}{2a}$

$X_{1,2}=\frac{-14±\sqrt{\frac{3136}{9}}}{\frac{14}{9}}=-\frac{14±\frac{56}{3}}{\frac{14}{9}}$

$X_1=(-14+\frac{56}{3}):\frac{14}{9}=\frac{14}{3}\times\frac{9}{14}=\frac{9}{3}=3$

$a=3\operatorname{cm}$

$b=7-3=4\operatorname{cm}$

$X_2=(-14-\frac{56}{3}):\frac{14}{9}=\frac{98}{3}\times\frac{9}{14}=-21$

Prestar atención a que la respuesta no puede ser negativa ya que representa la longitud de un lado

Respuesta:

$a=3\operatorname{cm}$

$b=7-3=4\operatorname{cm}$

Tarea:

Resolver la siguiente ecuación:

$10x^2-65x+135=4x^2+13x-45$

Solución:

En principio ordenamos la ecuación de forma estándar:

$aX²+bX+C=0$

Mediante el paso de las partes al lado izquierdo

$10X²-65X+135=4X²+13X-45$ / Desplazamos

$-4X²-13X+45$

$10X²-4X²-65X-13X+135+45=0$

$6X²-78X+180=0$

Ahora los parámetros son:

$a=6$

$b=-78$

$c=180$

Colocamos los parámetros en la fórmula de raíces

$X_{1,2}=\frac{(-78)±\sqrt{ \left(-78\right)^2 -4\cdot6\cdot180}}{2\cdot6}$

Respuesta:

$X_1=-10$

$X_2=-3$