Trinomio al cuadrado

Trinomio es una palabra griega compuesta por dos componentes:

• Tri - es tres en griego
• Nom - es partición - con incógnita al cuadrado(es decir a la segunda potencia)

Por consiguiente: El trinomio al cuadrado es una expresión algebraica compuesta por tres términos, uno con incógnita al cuadrado (a la potencia $2$), el segundo con incógnita sin potenciación y, el tercero, números sin incógnitas o letras que son diferentes de las que lleva la incógnita.

Por ejemplo, la forma:

$X^2+6X+8$

Es un trinomio. Asimismo, la forma:

$-X^2-4X+8$

también lo es, a pesar de que parte de los coeficientes de las incógnitas sean negativos.

Y, en modo general:

$aX^2+bX+c$

Se trata de un trinomio al cuadrado cuando las letras $a,b,c$ : son correctas para cualquier número que coloquemos en su lugar, a excepción del $0$

• Observa que, colocar un $0$ en el lugar de la a anulará la estructura de la forma cuadrática
• en cambio, colocar un $0$ en lugar de los parámetros $b$ o $c$ convertiría la expresión de trinomio (tres monomios) a una con sólo $2$ monomios.

Una expresión algebraica con incógnita $X$ o $Y$ a la potencia $2$ es el máximo exponente

El coeficiente es un número que se escribe a la izquierda de la incógnita.

Un parámetro es una letra distinta de $X$ o $Y$ que se encuentra dentro de la expresión en lugar de un número

Expresión compuesta por el producto o el cociente de cierto número con incógnita como: $X5$

Expresión compuesta por la suma o resta de $2$ o más monomios en los que hay números e incógnitas como:

$X+3$

$4X-2$ y otros así

• En la solución de una ecuación cuadrática sin la fórmula
• En la simplificación de fracciones algebraicas que requieren convertir un trinomio a una multiplicación de factores para simplificar
• En 4 operaciones matemáticas con fracciones algebraicas para llevar a cabo la simplificación o el hallazgo del común denominador adecuado se descompone cada estructura de trinomio en dos factores

Con este fin aprenderemos a descomponer todo trinomio - expresión cuadrática de tres monomios a la multiplicación de dos factores de polinomio por polinomio.

Para multiplicar las siguientes expresiones entre paréntesis volvamos a la propiedad distributiva extendida

$(X+3)(X+2)=$

Obtendremos:

$X^2+3X+2X2 × 3=$

$X^2+(2+3)X+2 × 3=$

$X^2+5X+6$

Para realizar la operación opuesta de trinomio a la multiplicación original dada, buscaremos $2$ números cuyo producto de dicho número sin las $X$.

En nuestro caso es el $6$ y la suma de ambos números da por resultado el coeficiente $X$, que es el monomio del medio del trinomio -> en este caso el $5$.

$2×3=6$

$5=2+3$

Entonces factorizamos

$(X+2)(X+3)$

y buscaremos dos números que cumplan con

$aX^2+bX+c$

Así que, en el siguiente trinomio:

$X^2+8X+12$

Hallaremos los números cuyo producto sea $12$ y su suma $8$. Éstos son: $6$ y $2$, ya que:

$8=2+6$

$12=6×2$

Por lo tanto, la factorización es:

$(X+2)(X+6)$

También en la siguiente forma:

$X^2-12X+20$

Hallaremos los números cuyo producto sea $20$ y su suma $12$, sabemos que ambos deberán ser negativos ya que, el producto es positivo y la suma negativa.

Por consiguiente, obtendremos :

$20=(10-)×(2-)$

$12-=(10-)+(2-)$

Por lo tanto, la factorización es:

$(X+2)(X+6)$

Esto nos indica que dichos números tienen signos diferentes y, cuando la suma es positiva, también aduce a que el número con valor definido más grande es positivo.

Por ejemplo:

$X^2+5X-6$

Los números $6$ y $(-1)$, su suma es $5$ y su producto $(-6)$. Por consiguiente, factorizaremos:

$(X-1)(X+6)$

$X^2-7X-8$

Busquemos $2$ números cuyo producto sea $(-8)$ y cuya suma sea $(-7)$, y éstos son: $(-8)$ y $1$

Porque: $8-=(8-)(1)$

y también: $7-=(8-)+1$

Por lo tanto, la factorización es:

$(X+1)(X-8)$

$X^2+11X+24=0$

Buscaremos $2$ números cuyo producto sea $24$ y cuya suma sea $11$, y éstos son: $8, 3$ y obtendremos:

$(X+8)(X+3)=0$

Para conseguir el resultado $0$ podría ser que el valor de la expresión entre paréntesis sea $0=(8+X)$

Esto ocurrirá cuando $8 =X$

Cuando $0= 3+X$

Así que $x=-3$

Y, de este modo, simplificando fracciones algebraicas, factorizaremos todo trinomio y podremos considerar diversas posibilidades de simplificación:

$\frac{x^2+2x+1}{x^2-x-2}=\frac{\left(x+1\right)\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}$

y llegaremos a que: 

$\frac{x+1}{x-2}$

No se puede simplificar sus términos debido a las operaciones de suma y resta que hay entre ellos.

Asimismo, podremos simplificar en operaciones de multiplicación de fracciones descomponiendo el trinomio a una multiplicación de dos factores y simplificando en la medida posible.

$\frac{1}{x-1}\times\frac{x^2-4x+3}{x-3}=$

$\frac{1}{x-1}\times\frac{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}{x-3}=1$

También en operaciones de dividir: Luego de convertir el ejercicio a otro de inverso multiplicativo simplificaremos lo que más sea posible después de factorizar el trinomio.

$\frac{x^2+2x+1}{x^2-6+9}:\frac{x^2+3x+2}{x^2-x-6}$

$\frac{\left(x+1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-3\right)\left(x-3\right)}\times\frac{\left(x-3\right)\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x+1\right)}=\frac{x+1}{x-3}$

Igualmente, para hallar el común denominador:

$\frac{1}{x^2-2x-3}-\frac{1}{x-3}$
$\frac{1}{\left(x-3\right)\left(x+1\right)}-\frac{1}{x-3}$
$\frac{1-\left(x+1\right)}{\left(x-3\right)\left(x+1\right)}=\frac{-x}{\left(x-3\right)\left(x+1\right)}$

En modo general: $aX^2+bX+c$

Buscaremos dos términos cuya suma sea $b$ y dos factores cuyo producto sea $ac$

Término $A +$ Término $B = b$

Término $A×$ Término $B = ac$
Descompondremos $b$ a la suma de estos dos términos, lo que permitirá factorizar el trinomio sacando el factor común afuera de los paréntesis

Por ejemplo:

$2X^2+5X+3=$

$3+2=5 ,~ 3×2=6$

Por consiguiente, obtendremos:

$2X^2+2X+3X+3=$

$2X(X+1)+3(X+1)=$

$(2X+3)(X+1)$

Así, por ejemplo:

$2X^2+5X+3=$

Obtendremos:

$2(X^2+2.5X+1.5)=$

1. Con la fórmula cuadrática hallaremos los números de reinicio del trinomio dentro de los paréntesis:

$X^2+2.5X+1.5=0$

$a=1,~b=2.5,~ c=1.5$

Ahora coloquemos en la fórmula cuadrática

$\frac{-b\pm\sqrt{b^2}-4ac}{2a}=$

y llegaremos a que:

$X_1=-1$, $X_2=-1.5$

a. Construiremos aplicando $X_1$ y $X_2$ la factorización:

$a(X-X_1)(X-X_2)$

Por consiguiente, se obtendrá la siguiente factorización:

$2(X+1.5)(X+1)$

1. Multiplicamos el $2$ de los primeros paréntesis para conseguir números enteros y se factorizará:

$(2X+3)(X+1)$

Al sustituir los números de un trinomio por letras es fundamental que lo hagamos acorde a las normas básicas.

Si $1=a$, podremos llevar a cabo una factorización acortada

Buscaremos 2 términos cuyo producto sea $c$ y su suma $b$.

Por ejemplo:

$X^2+2ax-3a^2$

Descubriremos que el producto de las expresiones es:

$-a×3a$

es

$-3a2$

y su suma es $2a$, por lo tanto, obtendremos

$(X+3a)(X-a)$

También cuando a es un número que no es $1$, factorizaremos el coeficiente $X$ en dos términos cuyo producto equivalga a $ac$.

Así, por ejemplo:

$2X^2+(2-a)X-a$

y obtendremos:

$2X^2+2X-aX-a$

$2X(X+1)-a(X+1)$

Sacaremos el factor común $X+1$ y obtendremos:

$(X+1)(2X-a)$