Más de una vez hemos escuchado a la maestra preguntar en clase: «¿Quién sabe resolver una ecuación cuadrática sin la fórmula?» Mirábamos a nuestro alrededor para ver quién sabía responder, «¿Saben qué es un trinomio?» Seguía preguntando la maestra Dudábamos y pensábamos de qué palabra podría derivar este término y qué cosa es un trinomio ¿qué hace realmente? ¿Cómo beneficia a nuestro conocimiento matemático entender acerca del trinomio? ¿Nos amplia la posibilidad de tener una mayor eficiencia matemática? O, de hecho, ¿tal vez esté de más incluirlo en el programa de estudios del noveno grado?
En este artículo intentaré responder a estas preguntas e incluso nos divertiremos con las propiedades del trinomio que nos ayudarán a resolver rápidamente ecuaciones cuadráticas, a simplificar fracciones, a multiplicar y dividir, a tratar con fracciones, incluso con el común denominador en fracciones con variables en el numerador y en el denominador.
ejemplos con soluciones para Solución mediante trinomio
Ejercicio #1
60−16y+y2=−4
Solución en video
Solución Paso a Paso
Resolvamos la ecuación dada:
60−16y+y2=−4Primero, organicemos la ecuación moviendo los términos:
60−16y+y2=−460−16y+y2+4=0y2−16y+64=0Ahora, notemos que podemos descomponer la expresión en el lado izquierdo usando la fórmula corta de factorización cuadrática:
(a−b)2=a2−2ab+b2Esto se hace usando el hecho de que:
64=82Así que presentemos el término exterior en el lado derecho como un cuadrado:
y2−16y+64=0↓y2−16y+82=0Ahora examinemos de nuevo la fórmula corta de factorización que mencionamos anteriormente:
(a−b)2=a2−2ab+b2Y la expresión en el lado izquierdo de la ecuación que obtuvimos en el último paso:
y2−16y+82=0Notemos que los términos y2,82efectivamente coinciden con la forma del primer y tercer término en la fórmula corta de multiplicación (que están resaltados en rojo y azul),
Pero para que podamos descomponer la expresión relevante (que está en el lado izquierdo de la ecuación) usando la fórmula corta que mencionamos, la coincidencia con la fórmula corta también debe aplicarse al término restante, es decir, el término medio en la expresión (subrayado):
(a−b)2=a2−2ab+b2En otras palabras - nos preguntaremos si es posible presentar la expresión en el lado izquierdo de la ecuación como:
y2−16y+82=0↕?y2−2⋅y⋅8+82=0Y efectivamente se cumple que:
2⋅y⋅8=16yAsí que podemos presentar la expresión en el lado izquierdo de la ecuación dada como una diferencia de dos cuadrados:
y2−2⋅y⋅8+82=0↓(y−8)2=0A partir de aquí podemos sacar raíces cuadradas para los dos lados de la ecuación (recuerda que hay dos posibilidades - positiva y negativa al sacar raíces cuadradas), lo resolveremos fácilmente aislando la variable en un lado: