Potencias

De hecho, las potencias son una manera abreviada de escribir la multiplicación de un número por sí mismo. Dependiendo de la potencia, éste puede multiplicarse una o varias veces.

Por ejemplo:

• $4^2$ En palabras: cuatro a la segunda potencia, cuatro a la potencia 2 (o cuatro al cuadrado). se multiplicará dos veces.
  $4^2=4 \times 4=16$
• $4^3$ En palabras: cuatro a la tercera potencia, cuatro a la potencia 3 (o cuatro al cubo). se multiplicará tres veces.
  $4^3=4 \times 4 \times 4=64$

El número que se multiplica por sí mismo se denomina base.
La cantidad de veces que se repite el número se denomina exponente.

Por lo tanto, en la expresión $4^2$

4 es la base, 2 es el exponente.
En este caso el número 4 es multiplicado por sí mismo 2 veces, por lo tanto esta expresión se denominará 4 al cuadrado o 4 a la segunda potencia.

Y en la expresión $4^3$

4 es la base, 3 es el exponente.
En este caso el número 4 es multiplicado por sí mismo 3 veces, por lo tanto esta expresión se denominará 4 al cubo, 4 a la potencia 3 o 4 a la tercera potencia.

Aprendimos en el Orden de las operaciones que primero se evalúan los paréntesis y luego se continúa con el resto del ejercicio: multiplicación y división.

Las potencias están en segundo lugar y las resolveremos en seguida después de los paréntesis y antes de pasar a resolver las multiplicaciones y divisiones.

Entonces, el orden de las operaciones matemáticas, incluyendo las potencias , es así:

1. Paréntesis
2. Potencias
3. Multiplicación y división
4. Suma y resta

$a^n\times a^m=a^{n+m}$

Si multiplicamos potencias con las mismas bases, la potencia del resultado equivaldrá a la suma de los exponentes.
Por ejemplo:

• $4^5=4^{2+3}=4^2 \times 4^3$
• $X^4 \times X^5=X^{4+5}=X^9$

$\left(a\times b\times c\right)^n=a^n\times b^n\times c^n$

Por ejemplo:

• $(2 \times 3 \times 5)^2 = 2^2 \times 3^2 \times 5^2$
• $(x \times 2 \times x)^2 = x^2 \times 2^2 \times x^2$

• $a^0$
  Todo número elevado a la $0$ es igual a $1$
• $0^n$
  0 elevado a cualquier potencia (distinto de cero) es igual a $0$
• $0^0$ 
  Cero a la potencia de cero no está definido

• $1^n=1$
  Uno elevado a cualquier potencia es uno.
• $x^1=x$
  El número elevado a la potencia $1$ no cambia.

• $6^2=$
• $5^3=$
• $7^3=$
• $({1\over3})^2=$
• $({1\over3})^3=$
• $({2\over3})^3=$
• $({3\over2})^2=$

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Consigna:

¿Cuál es el valor que colocaremos para resolver la siguiente ecuación?

$7^{\square}=49$

Solución:

Para responder a esta pregunta es posible contestar de dos maneras:

Una forma es el reemplazo:

Colocamos potencia de $2$ y parece que hemos llegado al resultado correcto, es decir:

$7²=49$

Otra forma es mediante la raíz

$\sqrt{49}=7$

Es decir

$7²=49$

Respuesta:

$2$

Consigna:

$2^{10}\times2^7\times2^6=$

Solución:

También cuando existen un número de productos, todavía cuando se multiplican uno con el otro, la operación entre los coeficientes de la potencia será la suma.

$10+7+6=23$

Por lo tanto, la solución es:

$2^{23}$

Consigna:

$5^{10}\cdot5^7\cdot5^6=$

Según la propiedad de potencias cuando el denominador de las potencias es igual y la operación entre las potencias es una multiplicación se puede sumar el valor total de los exponentes:

$10+7+6=23$

$5^{10}\cdot5^7\cdot5^6=5^{23}$

Respuesta:

$5^{23}$

Consigna:

Resolver el ejercicio según un factor conjunto:

$6x^6-9x^4=0$

Solución:

Primero quitamos la potencia más pequeña y simplificamos los números mediante el denominador común si es posible

$6x^4\left(x^2-1.5\right)=0$

Igualamos las dos secciones a $0$

$6x^4=0$

Dividimos por $6x^2$

$x=0$

$x^2-1.5=0$

$x^2=1.5$

$x=\pm\sqrt{\frac{3}{2}}$

Respuesta:

$x=0,x=\pm\sqrt{\frac{3}{2}}$

Tarea:

Resolver la siguiente ecuación:

$(A^m)^n$

$(4^X)^2$

Solución:

$(4^X)^2=4^{X\times2}$

Respuesta:

$4^{x\cdot2}$

Consigna:

$\left(9ax\right)^4+\left(4^a\right)^x$

$(9\times a\times x)^4+(4^a)^x=$

Solución:

Multiplicamos cada uno de los elementos entre paréntesis por su potencia

$9^4\times a^4\times x^4+4^{a\times x}=$

$9^4a^4x^4+4^{\left\{ax\right\}}$

Respuesta:

$9^4a^4x^4+4^{\left\{ax\right\}}$

Una potencia es una manera más sencilla de hacer una multiplicación de un mismo número. Una potencia tiene dos elementos base y exponente, donde el exponente nos indica el número de veces que se va a multiplicar la base.

Veamos algunos ejemplos:

$3^4=$

Aquí la base es el número $3$ y el $4$ es el exponente, lo que significa que el número $3$ se debe de multiplicar $4$ veces. Entonces tenemos lo siguiente:

$3^4=3\times3\times3\times3=81$

Resultado

$3^4=81$

$5^3=$

El cinco se debe de multiplicar tres veces, entonces

$5^3=5\times5\times5=125$

Resultado

$5^3=125$

Una potencia nos puede ayudar a simplificar una multiplicación de un mismo número, es decir es una manera breve de indicar el número de veces que se debe de multiplicar dicho número.

Veamos algunas propiedades para las potencias:

1. Potencia cero. Todo número elevado a la potencia cero es $1$.

$A^0=1$

2. Potencia uno. Todo número elevado a la potencia uno será el mismo número

$A^1=A$

3. Multiplicación de potencias con misma base.

$A^m\times A^n=A^{m+n}$

4. División de potencias con la misma base.

$\frac{A^m}{A^n}=A^{m-n}$

5. Multiplicación de potencias con el mismo exponente.

$\left(A\times B\right)^n=A^n\times B^n$

6. División de potencias con el mismo exponente.

$\left(\frac{A}{B}\right)^n=\frac{A^n}{B^n}$

7. Potencia de una potencia.

$\left(A^m\right)^n=A^{m\times n}$

8. Potencia negativa.

$A^{-m}=\frac{1}{A^m}$

Para poder resolver leyes de potencias necesitaremos tener en cuenta las propiedades mencionadas en la pregunta anterior, hagamos algunos ejemplos:

$7^5\times7^3=$

Para resolver este problema utilizaremos la propiedad 3, multiplicación de potencias con la misma base, entonces;

$7^5\times7^3=7^{5+3}=7^8$

Si queremos resolver esta potencia tenemos:

$7^8=7\times7\times7\times7\times7\times7\times7\times7=5,764,801$

Resultado

$7^5\times7^3=7^8$

$\frac{8^6}{8^4}=$

Para resolverla ocuparemos la propiedad 4 divisiones de potencias con misma base

$\frac{8^6}{8^4}=8^{6-4}=8^2$

Si se desea desarrollar la potencia tenemos

$8^2=8\times8=64$

Resultado

$\frac{8^6}{8^4}=8^2$

Resuelve $\left(2^5\right)^3\times2^{-3}=$

En la primer parte podemos utilizar la propiedad 7, potencia de una potencia. Y en la otra parte ocupamos la propiedad 8 de potencias negativas

$\left(2^5\right)^3=2^{5\times3}=2^{15}$

$2^{-3}=\frac{1}{2^3}$

Quedando:

$\left(2^5\right)^3\times2^{-3}=2^{15}\times\frac{1}{2^3}$

Ahora realizamos la multiplicación de fracciones

$2^{15}\times\frac{1}{2^3}=\frac{2^{15}}{2^3}$

Por ultimo utilizamos la propiedad 4, división de potencias de la misma base:

$\frac{2^{15}}{2^3}=2^{15-3}=2^{12}$

Resultado

$\left(2^5\right)^3\times2^{-3}=2^{12}$