Centro de un Triángulo - El Centroide - El Punto de Intersección de las Medianas

El punto central de un triángulo también se llama el punto de intersección de medianas o el punto de encuentro de medianas.
Recuerda - una mediana es un segmento de línea que se extiende desde un vértice hasta el lado opuesto y lo divide exactamente por la mitad.
Esto se puede observar en la siguiente ilustración:

En el triángulo $ABC$ mostrado aquí, podemos observar que el punto púrpura $M$ representa el punto de intersección de las tres medianas en el triángulo.
El punto $M$ es también el centroide del triángulo.
Teoremas importantes sobre el punto de intersección y las medianas en un triángulo:

El teorema establece que si $2$ medianas se intersectan en un cierto punto, entonces la tercera mediana en el triángulo también debe pasar por el mismo punto e intersectarse en ese punto, que se llama centroide.

Veamos un ejemplo:

En el triángulo $ABC$ hay dos medianas $AD$ y $BE$ que se intersectan en el punto $M$.
De esto se deduce que si el segmento $CW$ es una mediana, debe pasar por el punto $M$, y a la inversa, si $CE$ pasa por el punto $M$, podemos determinar que es una mediana del lado $AB$
Nota: Podemos determinar que si $2$ medianas en un triángulo se intersectan en un cierto punto, este será el baricentro.

Practiquemos el primer teorema sobre el centroide:
Aquí está el triángulo $ABC$

Dado que:
$CE$ es una mediana en el triángulo
$BW$ es una mediana en el triángulo
y - $AD$ pasa por el punto $M$.

También se sabe que:

$DB=5$
$BE=4$
$​​​​​​​AW=4$

1. Determina $CD$
2. Determina el perímetro del triángulo

Solución:

1. Sabemos que $AD$ pasa por el punto $M$ que es el mismo punto donde las dos medianas $CE$ y $BW$ se intersectan.
   Por lo tanto, según el teorema de que las tres medianas se intersectan en un punto, podemos determinar que $AD$ también es una mediana porque si $2$ medianas se encuentran en un punto determinado, la tercera mediana también debe pasar por él.
   Se nos da que $DB=5$ por lo tanto $CD=5$ dado que una mediana divide el lado en dos partes iguales.
   
2. Para determinar el perímetro del triángulo debemos identificar todos sus lados.

$AE = 4$ ya que $CE$ es una mediana
$CW = 4$ ya que $BW$ es una mediana

Y encontramos $CD$ en la parte a.
Por lo tanto:
$AB+BC+AC=$
$8+10+8=26$

El perímetro del triángulo $ABC$ es $26$ cm.

Veamos un ejemplo:

En el triángulo $ABC$ las tres medianas se intersectan en el punto $M$.
Según el teorema, el punto $M$ divide cada mediana en una razón de $2:1$ donde la parte más grande de la mediana está más cerca del vértice.
Por lo tanto, podemos determinar que:
$AM=2x$
$MD=x$

Y:
$CM=2Y$
$ME=Y$

Y:
$BM=2Z$
$MW=Z$

Ahora practicaremos el segundo teorema sobre el centroide:
Aquí está el triángulo $ABC$

Dado que:
$AD$ es una mediana
$BW$ es una mediana
y $CE$ pasa por el punto $M$

También se da que: $ME=2$
y $BM=5$

Determina $CM$ y $WM$
Solución:
Dado que: $AD$ es una mediana y $BW$ es una mediana y $CE$ pasa por el punto $M$, podemos concluir que $CE$ es una mediana porque si dos medianas se intersectan en un punto determinado, la tercera mediana debe pasar por él.
Según el segundo teorema que establece que el punto de intersección de las medianas divide a cada mediana en una razón de $2:1$ donde la parte mayor de la mediana está más cerca del vértice, y dado que: $ME=2$ (la parte menor), podemos concluir que:
$CM= 4$
Como $BM=5$ es la parte mayor más cercana al vértice, podemos concluir que $WM=2.5$