Ángulos alternos

Previo a la explicación específica sobre los ángulos alternos, es menester entender las circunstancias en las que se pueden formar estos ángulos. La forma más simple de describirlo es con un esquema de dos rectas paralelas con una transversal que las corta (para más detalles dirígete al artículo específico que trata el tema de las "Rectas paralelas "), tal como se puede observar en esta ilustración:

Tal como lo mencionamos, aquí vemos dos rectas paralelas $A$ y $B$ con una transversal $C$ que las corta. 

Hay otros tipos de ángulos que se forman en el tipo de situación que acabamos de describir. Los mencionaremos simplificadamente:

Son los que se encuentran en el mismo lado de la transversal que corta dos rectas paralelas y están en el mismo nivel respecto a la recta paralela. Los ángulos correspondientes son de idéntico tamaño. Para más detalles dirígete al artículo específico que trata el tema de los «ángulos correspondientes».

Se forman por dos rectas que se cortan, tienen un vértice en común y se encuentran uno frente al otro. Los ángulos opuestos por el vértice son de idéntico tamaño. Para más detalles dirígete al artículo específico que trata el tema de los «ángulos opuestos por el vértice».

Son los que se encuentran en el mismo lado de la transversal que corta dos rectas paralelas y no están en el mismo nivel respecto a la recta paralela. Juntos completan $180°$grados, es decir, la suma de dos ángulos colaterales es igual a ciento ochenta grados. Para más detalles dirígete al artículo específico que trata el tema de los «ángulos colaterales».

En cada una de las siguientes ilustraciones indica si se trata de ángulos alternos o no. En ambos casos explica el porqué. 

Solución: 

Esquema No 1: En este caso realmente se trata de ángulos alternos ya que responden a los criterios de su definición, es decir, se trata de dos ángulos que se encuentran en los lados opuestos de la transversal que corta las dos rectas paralelas y los ángulos no están en el mismo nivel respecto a la recta paralela.

Esquema No 2: En este caso no se trata de ángulos alternos ya que no responden a los criterios de su definición, es decir, se trata de dos ángulos que se encuentran sobre el mismo lado de la transversal que corta las dos rectas paralelas y también están en el mismo nivel respecto a la recta paralela.

Esquema No 3: En este caso no se trata de ángulos alternos ya que no responden a los criterios de su definición, es decir, se trata de dos ángulos que se encuentran sobre el mismo lado de la transversal que corta las dos rectas paralelas y los dos ángulos no están en el mismo nivel respecto a la recta paralela.

Respuesta:

Esquema No 1: ángulos alternos

Esquema No 2: no son ángulos alternos

Esquema No 3: no son ángulos alternos

Dado el triángulo $ABC$ tal como se ve ilustrado en el esquema. 

El ángulo $B$ del triángulo equivale a $35°$ grados.

Además, sabemos que la recta $AK$ y la arista (el lado) $BC$ son paralelas. 

Encuentra los demás ángulos del triángulo $ABC$.

Solución: 

Observaremos la ilustración y veremos que, de hecho, tenemos dos rectas paralelas ($AK$ y $BC$) que las corta una transversal (la arista $AC$). El ángulo $C$ del triángulo es igual al ángulo $CAK$ ya que se trata de ángulos alternos, es decir, se trata de dos ángulos ubicados en los lados opuestos de la transversal ($AC$) que corta las dos rectas paralelas ($AK$ y $BC$) y estos ángulos no están en el mismo nivel respecto a la recta paralela.

De lo anterior se deriva que el ángulo $C$ del triángulo equivale a $60°$ grados. 

La suma de los tres ángulos de cualquier triángulo equivale a $180°$ grados.

Por consiguiente, el ángulo $A$ equivale a $180°-35°-60°=85°$grados. 

Respuesta: 

El ángulo $A$ mide $85°$ grados.

El ángulo $C$ mide $60°$ grados.

En el siguiente esquema dado:

En esta ilustración se describen dos rectas paralelas y una transversal que las corta.

Se debe descubrir el ángulo $K$ en base a los datos dados en el esquema.

Solución: 

Según la información dada podemos ver que los dos ángulos indicados en el esquema son ángulos alternos. Es decir, se trata de dos ángulos ubicados en los lados opuestos de la transversal ($C$) que corta las dos rectas paralelas ($A$ y $B$) y estos ángulos no están en el mismo nivel respecto a la recta paralela.

Los ángulos alternos son iguales, por lo tanto, el ángulo $K$ también mide $75°$ grados.

Respuesta: 

El ángulo K mide $75°$ grados. 

a y b son paralelas

Encontrar los ángulos marcados

Solución:

$∡a=∡104°$ Ángulos alternos

$∡β=∡81°\text{ }$ Ángulos correspondientes

Ejercicio 5: 

$a,b$ y $c$ son paralelas

Encontrar el valor de $X$.

Solución:

Ilustración

$∡a_1∡b_3=38°$ Ángulos suplementarios, por lo tanto iguales.

Complementarias por lo tanto iguales a: $∡c_1=∡b_1=25°$

$∡b_1+∡b_2+b_3=180°$ (Ángulos adyacentes)

$25°+3X+38°=180°$

$3X=117°$ /:3

$X=39°$

Respuesta: 

$X=39°$

Dado el rectángulo, encontrar el valor de $X$.

Solución:

Ilustración

El cuadrilátero es un rectángulo, es decir.

$AB$ es paralelo a $CD$

$AD$ es paralelo a $BC$

$∡4,∡3$

Ángulos suplementarios por lo tanto iguales a

$∡3=∡4=84°$

$∡2,∡5$ Opuestos por el vértice, por lo tanto iguales

$∡2=∡5=26°$

$∡6=∡4-∡5=84°-26°=58°$

$∡7=∡1=X$ Ángulos opuestos por el vértice y por lo tanto iguales $∡7, ∡1$

$∡B=90°$ Rectángulo

$∡B=90°+∡7+∡6=180°$ Suma de los ángulos en el triángulo

$90°+X+58°=180°$

$X=190-58-90=32$

Respuesta:

$X=32°$

Dado el paralelogramo

Los ángulos marcados son ángulos agudos

¿Para qué valores de $X$ hay una solución?

Solución:

El polígono es un paralelogramo a cualquier línea recta y cualquier par de lados opuestos paralelos.

Los ángulos en la figura son suplementarios por lo tanto iguales

• Ángulos agudos

$0<4X²+3X<90°$

$0<5X-42°<90°$

$5X-42°=4X²+3X$

$0=4X²-2X+42$

$0=2X²-X+21$

$0=2X²-X+21$

$X_{1,2}=\frac{-b±\sqrt{b²-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$

$a=2$

$b=-1$

$c=21$

$X_{1,2}=\frac{1±\sqrt{1-4\cdot2\cdot21}}{2\cdot2}=\frac{1±\sqrt{-167}}{4}=$

El discriminante es negativo, por lo tanto no tiene solución.

Si está interesado en aprender más sobre otros temas de ángulos, puede ingresar a uno de los siguientes artículos:

• Notación de ángulos
• Lados, vértices, y ángulos
• Ángulo recto
• Ángulo agudo
• Ángulo obtuso
• Ángulo plano
• Ángulos adyacentes
• Ángulos opuestos por el vértice
• Ángulos correspondientes
• Suma de los ángulos de un triángulo
• Suma de los ángulos de un polígono
• Suma y diferencia de ángulos

En la pagina web de Tutorela encontrarás una variedad de artículos sobre matemáticas.

¿Qué son ángulos alternos externos?

Son aquellos ángulos que como su nombre lo dice están alternados en la parte exterior de las dos rectas paralelas y miden lo mismo, como se ilustra en la imagen:

$\sphericalangle a=\sphericalangle h$ (ángulos alternos externos)

$\sphericalangle b=\sphericalangle g$ (ángulos alternos externos)

¿Qué es un ángulo alterno interno?

Son los ángulos que se encuentran en la parte interna de dos rectas paralelas cortadas por una secante, pero de forma alternada, Estos ángulos miden lo mismo. Veamos en la siguiente imagen

$\sphericalangle c=\sphericalangle f$ (ángulos alternos internos)

$\sphericalangle d=\sphericalangle e$ (ángulos alternos internos)

¿Cómo sacar la medida de los ángulos alternos internos?

Los ángulos alternos internos tienen la misma medida, veamos un ejemplo de cómo calcular estos ángulos

Ejemplo.

Sean las rectas $A$ y $B$, paralelas. Calcular el valor del ángulo $\sphericalangle5$ en el siguiente dibujo:

Sabemos que el $\sphericalangle3=120^o$, por lo tanto el $\sphericalangle6$ también mide lo mismo por ser ángulos alternos internos, entonces

$\sphericalangle6=120^o$

Y podemos observar que el $\sphericalangle5$ y $\sphericalangle6$ son ángulos suplementarios, por lo tanto sumados nos deben de dar $180^o$

Por lo tanto $\sphericalangle5=180^o-\sphericalangle6$

$\sphericalangle5=180^o-120^o$

$\sphericalangle5=60^o$

Respuesta:

$\sphericalangle5=60^o$

¿Cómo sacar la medida de un ángulo alterno externo?

Recordemos que los ángulos alternos externos miden lo mismo, veamos un ejemplo.

Sean las rectas $A\parallel B$, Calcular el valor del ángulo $\sphericalangle8$, dado el $\sphericalangle1=75^o$

Dado que los ángulos $\sphericalangle1$ y $\sphericalangle8$, son ángulos alternos externos, entonces por definición sabemos que miden lo mismo, por lo tanto:

$\sphericalangle1=\sphericalangle8$

$\sphericalangle8=75^o$

Respuesta:

$\sphericalangle8=75^o$