Deltoide

Diagonal principal: La diagonal que pasa entre los lados idénticos en el deltoide.

Diagonal secundaria: La base común de $2$ triángulos isósceles en el deltoide se llama diagonal secundaria.

Ángulos en el vértice: Los ángulos entre los lados iguales en el deltoide.

Ángulos base: Los ángulos por los que pasa la base común. 

Deltoide convexo: Un deltoide con diagonales en el interior (como en las imágenes de los deltoides de arriba)

Deltoide cóncavo: Deltoide con una de sus diagonales afuera (como una especie de cuenco).    

En muchas ocasiones, al sentarnos en la playa frente al mar observamos una buena cantidad de cometas. ¿Han examinado su forma? Esta es una forma de deltoide. El deltoide tiene una forma un poco complicada. Es un cuadrilátero pero no un cuadrado y tiene una forma similar a un rombo y un paralelogramo, pero sus definiciones son diferentes. En este artículo aprenderemos qué es un deltoide y cómo lo identificamos.

Rombo: Todos los lados son diagonales verticales iguales, diagonales que se cruzan entre sí y que cruzan los ángulos, desde cada lado miramos el cuadrilátero del deltoide. El rombo es en realidad un deltoide equilátero.

Cuadrado: El más elaborado del grupo: sus diagonales son perpendiculares y se cruzan; atraviesan los ángulos como en un rombo pero en un cuadrado las longitudes de las diagonales son iguales como en un rectángulo. También desde cada lado que lo miremos notaremos 2 triángulos isósceles con una base común por lo que las características del deltoide también estarán presentes en él. El cuadrado es un deltoide de lados y ángulos iguales (todos los ángulos son rectos).

Y, por supuesto, el propio deltoide:

2 pares de lados adyacentes iguales.

Usaremos la definición de Deltoide: 2 triángulos equiláteros con una base común

Por lo tanto: $AD=AB$, y también $CD=CB$.

De acuerdo con esto: $∢ABD=∢ADB$ Debido a que los ángulos de la base en un triángulo equilátero son iguales

También: $∢BDC=∢DBC$ Ángulos base en un triángulo isósceles son iguales

Por lo tanto: $∢ABC=∢ADC$ Combinamos ángulos iguales con ángulos iguales para que la suma de los ángulos sea igual (la cantidad total)

Incluso si superpusiéramos los triángulos: $\triangle ABC$ con $\triangle ADC$

Obtendremos:  

$AB=AD$ (dado)

$BC=DC$ (dado)

$AC=AC$ (lado común)

Por tanto, podemos concluir :

$\triangle ABC≅\triangle ADC$ (según el teorema de superposición: lado, lado,lado)

$∢ABC=∢ADC$ (Ángulos correspondientes en triángulos superpuestos iguales)

Como resultado de la superposición, se puede deducir el principio del deltoide:

• La diagonal principal en el deltoide cruza los ángulos, cruza una diagonal secundaria y es perpendicular a ella.

$\triangle ABC≅\triangle ADC$ (según el teorema de superposición: lado, lado, lado) Demostramos

Por lo tanto: $∢DAC=∢BAC$

También: $∢BCA=∢DCA$, Ángulos correspondientes en triángulos superpuestos iguales 

• La diagonal principal en el deltoide cruza una diagonal secundaria y es perpendicular a ella.

Según los datos: $AD=AB$ Después de todo, el triángulo $ADB$ es un triángulo isósceles.

En un triángulo isósceles el ángulo superior es perpendicular a la base y la cruza.

Por lo tanto: $AC\perp DB$ y también: $DM=BM$

A partir de esto, podemos calcular los lados que faltan y los ángulos que faltan en el deltoide dado:

$ABCD$ es un deltoide,

Encuentre $X,Y,α,β$ en el deltoide dado

$X=AB=AD$

$X=5\operatorname{cm}$

Según la definición de deltoide.

$∢BAC=α=40°$ La diagonal principal del deltoide cruza los ángulos.

$∢ACD=β=50°$ La diagonal principal del deltoide cruza los ángulos.

$Y=3\operatorname{cm}$, la diagonal principal en el deltoide cruza la diagonal secundaria.

$5+5+4+4=18\operatorname{cm}$

Y el cálculo del área del deltoide se realiza utilizando el producto de las diagonales dividido por dos:

Cálculo de la diagonal secundaria: $6cm=3+3=BD$

Y para calcular la longitud de la diagonal principal $AC$ usamos el teorema de Pitágoras en triángulos rectángulos formados por las diagonales (según sus propiedades se nos ha demostrado que son perpendiculares entre sí)

Y por lo tanto, en el triángulo $\triangle ABO$ obtenemos:

$AO^2+3^2=5^2$

$AO^2+9=25$

$AO^2=16$ y aplicamos el $\sqrt{}$

$AO=4\operatorname{cm}$

Y en el triángulo $\triangle CBO$ obtenemos:

$CO^2+3^2=4^2$

$9+CO^2=16$

$CO^2=7$

$2.645cm=CO$

Por lo tanto, la longitud de la diagonal principal es igual a:

$4+2.645=6.645\operatorname{cm}$

Podemos calcular el área del deltoide:

$\frac{6.645\times6}{2}=19.935\operatorname{cm}^2$

¿Cada cuadrilátero cuyas diagonales son perpendiculares crea un deltoide?

La respuesta es: no necesariamente

Ver ejemplo:

Vamos a comprobar, aquí hay un cuadrilátero donde una diagonal se cruza con la otra y es perpendicular a ella, ¿se aceptará necesariamente qué es un deltoide?

Dado:

$DO=BO$

$AC\perp DB$

¿Es aceptado como un deltoide?

Dado que $DO=BO$ y también $AC\perp DB$

Por tanto, se puede concluir que $AD=AB$ y también $DC=BC$ (en un triángulo donde la altura es alta es un triángulo isósceles)

De acuerdo a esto, $ABCD$ es un deltoide según la definición: 2 triángulos isósceles sobre una base común forman un deltoide.

Dado:

$∢A_1=∢A_2,∢C_1=∢C_2$

Demuestre: $ABCD$ es deltoide

Prueba :

$∢A_1=∢A_2$ (Dado)

$∢C_1=∢C_2$(Dado)

$AC=AC$ (lado común)

Por lo tanto:

$\triangle ABC≅\triangle ADC$ (según el principio de superposición de ángulo, lado, ángulo)

Por lo tanto:  

$AB=AD$

$BC=DC$ (lados correspondientes en triángulos congruentes iguales)

Si estás interesado en aprender a calcular áreas de otras formas geométricas puedes ingresar a uno de los siguientes artículos:

• ¿Cómo se calcula el área de un trapecio?
• Cómo calcular el área de un triángulo
• El área del paralelogramo: ¿qué es y cómo se calcula?
• Área circular
• Área de superficie de prismas triangulares
• ¿Cómo se calcula el área de un rombo?
• ¿Cómo calcular el área de un hexágono regular?
• Cómo calcular el área de un ortoedro
• Prueba por contradicción

En la página web de Tutorela encontrarás una variedad de artículos sobre matemáticas.

En el siguiente ejercicio es necesario conocer el Teorema de Pitágoras

Dado: El deltoide $ABCD$ $\left(AB=AD, DC=BC\right)$

La diagonal del deltoide

Cruza el punto o.

Tarea

Calcular el lado del $CD$

Solución:

Dato: Deltoide $ABCD$

Dato: Área de $ABCD=48\operatorname{cm}²$

Dato: $OC=4$

Dato: $AO=12$

Suma de las partes $AC=AO+OC$

Despeje de variables: $AC=12+4$

Cálculo: $AC=16$

Fórmula para calcular el área del deltoide abcd= $\left(AC\times BD\right):2$

Despeje de variables: $\frac{16\times BD}{2}=48$

Cálculo: $96=16\times BD$

$BD=6\operatorname{cm}$

En el deltoide, la diagonal principal $\left(AC\right)$ cruza la diagonal secundaria $\left(BD\right)$ $OB=DO$

Suma de las partes $BD=DO+OB$

Despeje de las variables $DO+OB=6$

$DO²=6$

$DO=3$

$AC\perp BD$ En el deltoide las diagonales son perpendiculares entre sí.

Entre las rectas perpendiculares existen ángulos rectos ($90°$ grados)

Observemos al triángulo rectángulo $COD$:

$DO²+CO²=CD²$ Teorema de Pitágoras

$DO=3,CO=4$ Demostración

$3²+4²=CD²$ Despeje de variable

$9+16=CD²$

$CD²=25$

$CD=5\operatorname{cm}$ L.Q.Q.D

Respuesta:

$CD=5\operatorname{cm}$

Dado: El deltoide $ABCD$

El área del deltoide es igual a $6a$

La diagonal principal es igual a $2a+2$

La diagonal secundaria es igual $a:a$

Tarea

Calcular el valor de: $a$

Solución:

Dado el área del deltoide:

$A=\frac{AC\times DB}{2}=\frac{6a}{1}$

$AC=2a+2$ (Diagonal principal)

$DB=a$ (Diagonal secundaria)

$12a=(2a+2)a$ (Apertura del paréntesis)

$2a^2+2a=12a$

$2a^2=10a$ /: (Dividimos a en )

$2a=10$ /: (Dividimos en 2)

$a=5\operatorname{cm}$

Respuesta:

$a=5\operatorname{cm}$

Dado un cometa $ABCD$

La diagonal $DB$ es igual a $5\operatorname{cm}$.

El lado $AD$ es igual a $4\operatorname{cm}$

Tarea

¿Es posible calcular el área del deltoide? En ese caso calcular su área.

Solución

Fórmula de cálculo del área del deltoide

$A=\frac{AC\times DB}{2}$

Dado que $DB=5\operatorname{cm}$

$AD=4\operatorname{cm}$

La fórmula no se puede aplicar porque no se da la diagonal $AC$ y además no hay ningún dato que nos ayude a encontrarlo.

Respuesta

No es posible calcular el área del deltoide

Dado el deltoide $ABCD$

Dado que Área $ABCD=42\operatorname{cm}²$

Dado que $BD=14$

Tarea:

Calcular el valor de $AO$

Solución:

Dado que $ABCD$ es un deltoide

El área del deltoide $ABCD$ es igual a $42\operatorname{cm}$

$BD=14$

La fórmula para calcular el área del deltoide es:

$\frac{AC\times BD}{2}=\text{ A}$

$\frac{AC\times 14}{2}=\text{ 42}$

$84=14\times AC$

$AC=6$

En el deltoide la diagonal principal cruza a la diagonal secundaria. $AO=OC$

$OC+AO=AC$ (Suma de las partes)

$OC+AO=AC$ despeje de variables $\left(AC=6,OC=AO\right)$

$2AO=6$ L.Q.Q.D

$AO=3\operatorname{cm}$

Respuesta:

$AO=3\operatorname{cm}$

Dado que el deltoide $ABCD$ encarcelado dentro de un rectángulo $KMNH$

Lado $AC=8$

Altura $DO$ del triángulo $ADC$ es igual a $3\operatorname{cm}$

Tarea:

Calcular cuánto vale el área blanca

Solución:

Dado que $AC=8\operatorname{cm}$

Dado que $DO=3\operatorname{cm}$

Para calcular el área punteada calculamos el área del rectángulo y restamos el área del deltoide.

Empezamos el área del rectángulo:

$A=\text{ MN}\times KM$

$MN=AC=8$ (en un rectángulo paralelo equilátero)

$DO=OB=3$

(La diagonal principal en un rombo es perpendicular con la diagonal secundaria y la cruza)

Por lo tanto: $DO+OB=DB=6$

DB=KM (Lados paralelos en rectángulo iguales)

Área del rectángulo: $A\text{ }=6\times 8=48cm²$

Área del deltoide:

$A=\text{ABCD=}\frac{AC\times DB}{2}=\frac{8\times 6}{2}=24cm$

A área de rectángulo - A área del deltoide = A área punteada

$48-24=24\operatorname{cm}²$

Respuesta:

La respuesta es. $24\operatorname{cm}²$

Dado el deltoide cóncavo $ABCD$

Dada que la diagonal $AC$ es igual al $75\%$ de la diagonal $DB$

El área del deltoide es igual a $108X \operatorname{cm}$.

Tarea:

Calcular el lado $DB$

$DB=X$

Solución:

Dado el área del deltoide $=108X$

Dado: que $DB=X$

Dado:

$AC=\frac{75\%}{X}=\frac{3}{4}X$

Esto se debe a que $AC$ es igual al $75\%$ de $DB$ que es igual a $\frac{3}{4}deDB$

Fórmula para calcular el área del deltoide =

$A=\frac{AC\times DB}{2}=108X$

$AC\times DB=216X$

$X\times\frac{3}{4}X=216X$

$\frac{3}{4}X^2=216X$ : dividimos entre $\frac{3}{4}$

$X^2=288X$ : (dividido por X)

$X=288$

Respuesta:

$288\operatorname{cm}$

Un breve resumen visual sobre el artículo del deltoide