La raíz de un producto

Comencemos recordando cómo definir una raíz como una potencia:

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$

A continuación, recordaremos que elevar 1 a cualquier potencia siempre dará como resultado 1, incluso la potencia de un medio de la raíz cuadrada.

En otras palabras:

$$$\sqrt{16}\cdot\sqrt{1}= \\ \downarrow\\ \sqrt{16}\cdot\sqrt[2]{1}=\\ \sqrt{16}\cdot 1^{\frac{1}{2}}=\\ \sqrt{16} \cdot1=\\ \sqrt{16} =\\ \boxed{4}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción D.

Comencemos recordando cómo definir una raíz cuadrada como una potencia:

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$

Luego, recordemos que elevar 1 a cualquier potencia siempre nos da 1, incluso la potencia de un medio que obtuvimos al convertir la raíz cuadrada.

En otras palabras:

$$$\sqrt{1} \cdot \sqrt{2}= \\ \downarrow\\ \sqrt[2]{1}\cdot \sqrt{2}=\\ 1^{\frac{1}{2}} \cdot\sqrt{2} =\\ 1\cdot\sqrt{2}=\\ \boxed{\sqrt{2}}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción a.

Para simplificar la expresión dada, usamos dos leyes de exponentes:

A. Definir la raíz como un exponente:

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$B. La ley de exponentes para dividir potencias con la misma base (en la dirección opuesta):

$x^n\cdot y^n =(x\cdot y)^n$

Empecemos usando la ley de exponentes mostrada en A:

$\sqrt{10}\cdot\sqrt{3}= \\ \downarrow\\ 10^{\frac{1}{2}}\cdot3^{\frac{1}{2}}=$Continuamos, ya que tenemos una multiplicación entre dos términos con exponentes iguales, podemos usar la ley de exponentes mostrada en B y combinarlos bajo la misma base que está elevada al mismo exponente:

$10^{\frac{1}{2}}\cdot3^{\frac{1}{2}}= \\ (10\cdot3)^{\frac{1}{2}}=\\ 30^{\frac{1}{2}}=\\ \boxed{\sqrt{30}}$En los últimos pasos, realizamos la multiplicación de las bases y usamos la definición de la raíz como exponente mostrada anteriormente en A (en la dirección opuesta) para volver a la notación de raíz.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Para simplificar la expresión dada usamos dos leyes de exponentes:

A. Definir la raíz como un exponente:

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$B. La ley de exponentes para dividir potencias con las mismas bases (en la dirección opuesta):

$x^n\cdot y^n =(x\cdot y)^n$

Empecemos cambiando las raíces cuadradas a exponentes usando la ley de exponentes mostrada en A:

$\sqrt{2}\cdot\sqrt{5}= \\ \downarrow\\ 2^{\frac{1}{2}}\cdot5^{\frac{1}{2}}=$Continuamos: como estamos multiplicando dos términos con exponentes iguales podemos usar la ley de exponentes mostrada en B y combinarlos juntos como la misma base elevada a la misma potencia:

$2^{\frac{1}{2}}\cdot5^{\frac{1}{2}}= \\ (2\cdot5)^{\frac{1}{2}}=\\ 10^{\frac{1}{2}}=\\ \boxed{\sqrt{10}}$En los últimos pasos multiplicamos las bases y luego usamos la definición de la raíz como un exponente mostrada anteriormente en A (en la dirección opuesta) para volver a la notación de raíz.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B.

Para simplificar la expresión dada, usamos dos leyes de exponentes:

A. Definir la raíz como un exponente:

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$B. La ley de multiplicación de exponentes para bases idénticas:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$

Comencemos desde la raíz cuadrada de los exponentes usando la ley mostrada en A:

$\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}= \\ \downarrow\\ 2^{\frac{1}{2}}\cdot2^{\frac{1}{2}}=$Continuamos: nota que obtuvimos un número multiplicado por sí mismo. De acuerdo con la definición del exponente, podemos escribir la expresión como un exponente de ese número. Luego, usamos la ley de exponentes mostrada en B y aplicamos todo el exponente al término entre paréntesis:

$2^{\frac{1}{2}}\cdot2^{\frac{1}{2}}= \\ (2^{\frac{1}{2}})^2=\\ 2^{\frac{1}{2}\cdot2}=\\ 2^1=\\ \boxed{2}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B.