Combinando potencias y raíces

La raíz es la operación opuesta a las potenciación y las potencias son la operación opuesta a las raíces.
No en vano, nos encontraremos con un montón de ejercicios en una combinación perfecta y debemos saber muy bien cómo maniobrar entre los dos.
Es exactamente por eso que estamos aquí para enseñarte reglas que te ayudarán a combinar raíces y potencias.
¿Comenzamos?

Comencemos con la primera propiedad y lo fundamental.

Raíz cuadrada, significa una potencia de $0.5$ .
Formulemos de esta manera:
$\sqrt a=a^{ 1 \over 2}$
Por ejemplo:
$√5=5^{0.5 }$

Cada raíz tiene su propio orden. Un orden que aparece en la raíz, se traducirá en un denominador cuando el numerador tenga una participación en el denominador del número, si lo hubiere.

$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$

$\sqrt[3]{9}=9^{\frac{1}{3}}$

Raíz de un producto
Si nos dan dos números, donde se incluye una operación de multiplicación con una raíz con el mismo orden, podemos escribir una raíz que estará sobre el producto total de los elementos con el orden que aparece.
Esta regla también puede ayudarnos a hacer un producto de dos factores con una raíz para dos factores separados que tienen una raíz y una operación de multiplicación entre ellos.

Formulémoslo de esta manera:
$\sqrt{(a\times b)}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$

$√3\times √5=√15$

Traduzcamos esto en potencias:
$\sqrt{3}\times \sqrt{5}=3^{\frac{1}{2}}\times 5^{\frac{1}{2}}$
De la misma forma podemos decir que:
$3^{\frac{1}{2}}\times 5^{\frac{1}{2}}=(3\times 5)^{\frac{1}{2}}=15^{\frac{1}{2}}=\sqrt{15}$

Raíz de un cociente
Si nos dan dos números, que incluyen una operación de división (línea de fracción) y una raíz con el mismo orden, podemos escribir una raíz que estará en cada cociente de los elementos con el orden que aparece.
Esta regla también puede ayudarnos a hacer un cociente de dos factores con una raíz separada en dos factores que tienen una raíz y una operación de división entre ellos: una línea de fracción.

Pongámoslo de esta manera:
$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

$\frac{\sqrt[5]{7}}{\sqrt[5]{12}}=\sqrt[5]{\frac{7}{12}}$

Raíz de una raíz
Cuando nos encontramos con un ejercicio donde hay una raíz en una raíz, podemos duplicar el orden de la primera raíz en el orden de la segunda raíz y el orden que obtuvimos lo ejecutaremos como una raíz en nuestro número. (Como en la norma de potencia a la potencia)
Pongámoslo de esta manera: 
$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\times m]{a}$

$\sqrt[5]{\sqrt[2]{20}}=\sqrt[10]{20}$

Si te interesa este artículo también te pueden interesar los siguientes artículos:

Leyes de los radicales

La raíz de un producto

Raíz del cociente

Raíz de una raíz

En la página web de Tutorela encontrarás una variedad de artículos sobre matemáticas.

Consigna

¿Cuál es el valor que colocaremos para resolver la siguiente ecuación?

$7^{\square}=49$

Para responder a esta pregunta es posible contestar de dos maneras:

Una forma es el reemplazo:

Colocamos potencia de $2$ y parece que hemos llegado al resultado correcto, es decir:

$7²=49$

Otra forma es mediante la raíz

$\sqrt{49}=7$

Es decir

$7²=49$

Respuesta:

$2$

Consigna

¿Cuál de las siguientes cláusulas es equivalente a la expresión:

$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$

Solución

De acuerdo a las propiedades de las raíces

$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}$

Respuesta

Consigna

¿Cuál es la respuesta al ejercicio?

$\sqrt{3}\cdot\sqrt{12}+3^2$

Solución

De acuerdo a las propiedades de las raíces

$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}$

$\sqrt{3}\cdot\sqrt{12}=\sqrt{3\cdot12}$

$\sqrt{36}=6$

Por lo tanto

$\sqrt{3}\cdot\sqrt{12}+3^2=$

$6+3^2=6+9=15$

Respuesta

$15$

Consigna

Calcule y determine la respuesta:

$(\sqrt{9}-\sqrt{4})^2\cdot4^2-5^1$

Solución

Comenzamos con los paréntesis

$\left(\sqrt{9}-\sqrt{4}\right)^2=\left(3-2\right)^2$

$1^2=1$

y por lo tanto la ecuación siguiente

$1^2\cdot4^2-5^1=$

$1\cdot16-5=$

$11$

Respuesta

$11$

Consigna

Calcule y determine la respuesta:

$(4^2+3^2):\sqrt{25}$

Solución

Comenzamos con los paréntesis

$\left(4^2+3^2\right)=$

$16+9=25$

y luego calculamos

$25:\sqrt{25}=$

$25:5=5$

Respuesta

$5$

Consigna

Calcule y determine la respuesta:

$(3^2+2^2)^2:(\sqrt{256}-\sqrt{9})-\sqrt{9}\cdot\sqrt{9}$

Solución

Comenzamos con los primeros paréntesis

$(3^2+2^2)^2=$

$(9+4)^2=$

$13^2=169$

Calculamos los segundos paréntesis

$\left(\sqrt{256}-\sqrt{9}\right)=$

$16-3=13$

Calculamos la expresión después de la resta

$\sqrt{9}\cdot\sqrt{9}=9$

y entonces obtenemos

$169:13-9=13-9=4$

Respuesta

$4$

Los elementos de una raíz son $4$: índice del radical, radical, radicando y raíz.

Índice del radical: Es aquel número que está afuera y sobre el radical, e indica el número de veces que se debe de multiplicar la raíz para poder obtener el número que está adentro del radical.

Radical: Símbolo de la radicación \sqrt{\placeholder{}}

Radicando: Es el número que está adentro del radical y es al número que se le sacara la raíz.

Raíz: Es el resultado de la radicación.

Con estos elementos ahora si podemos definir a la raíz, y como ya lo dijimos es el resultado. Cuando elevamos el resultado a la potencia que nos indica el índice, nos dará como resultado el radicando, es decir, el número que está adentro del radical.

$\sqrt[3]{125}=5$

En este ejemplo el índice de radical es el $3$

El radicando es el $125$

Y la raíz es el $5$

Esto quiere decir que si nosotros elevamos el $5$ a la potencia $3$, nos dará $125$, en otras palabras;

$5^3=125$

Como sabemos todas las operaciones tienen una operación inversa, sabemos que la operación inversa de la suma es la resta o viceversa, de la multiplicación es la división y de las raíces su operación inversa son las potencias, de esta manera es como se relacionan al ser operaciones inversas, veamos esta relación con algunos ejemplos:

$\sqrt[3]{64}$

Es decir debemos de buscar un número que multiplicado $3$ veces por sí mismo nos dé $64$. De aquí podemos deducir que la raíz será $4$, ya que sabemos lo siguiente:

$4^3=64$

Por lo tanto el resultado es

$4$

Calcular lo siguiente

$\sqrt{144}=$

Aquí no tenemos de forma explícita al índice del radical, pero cuando esto sucede y no aparece un índice como tal, entonces nosotros damos por hecho que el índice es un $2$. Entonces debemos de buscar un número que multiplicado dos veces por sí mismo nos dé $144$. En este caso la respuesta es $12$, ya que:

$12^2=144$

Por lo tanto el resultado es

$12$

Para poder resolver cálculos combinados con raíz y potencias debemos de tomar en cuenta primero la jerarquía de operaciones y después las leyes y propiedades de potencias y raíces.

Resolver

\(\left(\sqrt[3]{8}+\sqrt{100}\right)^2-4^2+\sqrt{81}=

Por jerarquía de operaciones resolvemos el signo de agrupación que son los paréntesis y lo podemos hacer por separado, de la siguiente manera:

$\left(\sqrt[3]{8}+\sqrt{100}\right)^2=\left(2+10\right)^2=\left(12\right)^2=144$,$4^2=16$

$\sqrt{81}=9$

De acuerdo a esto entonces tenemos lo siguiente:

$144-16+9=137$

Por lo tanto el resultado es

$137$

Debemos recordar que existe una jerarquía de operaciones (orden de realizar operaciones). El orden es el siguiente:

1. Signos de agrupación (paréntesis, corchetes y llaves)
2. Potencias y raíces
3. Multiplicación y división
4. Suma y resta

Cuando nos encontramos con operaciones que tienen el mismo orden como es el caso de las potencias y raíces y cuando aparecen de forma combinada se resuelven de izquierda a derecha

$\sqrt{16}+8-\left(3\right)^2=4+8-9=3$

En este ejemplo podemos ver que nos apareció una raíz, una suma y una resta de una potencia, como la raíz y la potencia estaban independientes se pueden realizar al mismo tiempo y por ultimo realizamos la suma y resta.

$\sqrt{19+\left(9\right)^2}=\sqrt{19+81}=\sqrt{100}=10$

Aquí podemos observar que nos aparece una raíz y una potencia, entonces se resuelve primero la raíz pero adentro de la raíz tenemos a una potencia, por lo tanto debemos de resolver primero la potencia $9^2=81$, posteriormente la suma y después finalizamos calculando la raíz.

Existen $5$ tipos de reglas de radicación, a las cuales se les llama leyes de los radicales las cuales son las siguientes:

• Primera ley

$\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$

• Segunda ley

$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$

• Tercera ley

$\sqrt[n]{a\times b}=\sqrt[n]{a}\times\sqrt[n]{b}$

• Cuarta ley

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$

• Quinta ley

$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\times m]{a}$