Factorización de trinomios: ¿Cuántas soluciones existen para un problema?

Resolvamos la ecuación dada:

$x^4+12x^3+36x^2=0$Notamos que es posible factorizar la expresión que está en el lado izquierdo de la ecuación dada, esto se hace extrayendo el factor común $x^2$ que es el máximo común divisor de los números y letras en la expresión:

$x^4+12x^3+36x^2=0 \\ \downarrow\\ x^2(x^2+12x+36) =0$Nos enfocamos en el lado izquierdo de la ecuación y luego en el lado derecho (el número 0).

Dado que la única manera de obtener el resultado 0 de un producto es multiplicar por 0, al menos una de las expresiones en el producto del lado izquierdo debe ser igual a cero,

Es decir:

$x^2=0\hspace{6pt}\text{/}\sqrt{\hspace{4pt}}\\ \boxed{x=0}$

O:

$x^2+12x+36=0$Para encontrar las soluciones adicionales a la ecuación debemos resolver la ecuación:

Nota que el primer coeficiente es 1, así que podemos intentar resolverla usando la fórmula del trinomio.

Sin embargo, en este caso también podemos factorizar usando la fórmula de multiplicación corta para un binomio:

$(\textcolor{red}{a}+\textcolor{blue}{b})^2 = \textcolor{red}{a}^2+2\textcolor{red}{a}\textcolor{blue}{b}+\textcolor{blue}{b}^2$La razón para intentar factorizar con este enfoque es que podemos identificar en el lado izquierdo de la ecuación que obtuvimos en el último paso, que los dos términos que están en los extremos (es decir, el término en la primera posición - que es el término cuadrado y el término en la posición cero - que es el número libre en la expresión) pueden ser presentados (simplemente) como un término cuadrado:

$x^2+12x+36=0 \\ \downarrow\\ x^2+12x+6^2=0$

Igualando la expresión del lado izquierdo en la ecuación:

$\downarrow\\ x^2+12x+6^2$

A la expresión del lado derecho en la fórmula corta de arriba:

$\textcolor{red}{a}^2+2\textcolor{red}{a}\textcolor{blue}{b}+\textcolor{blue}{b}^2$

La conclusión de esto es que lo que queda por comprobar es si el término medio en la ecuación coincide con el término medio en la fórmula de multiplicación corta de arriba, es decir - después de identificar $a$$b$que están ambos en la primera posición en la fórmula de multiplicación corta de arriba en la que $a$y $b$comprobamos si el término medio en la expresión del lado izquierdo de la ecuación puede ser presentado como $2\cdot a \cdot b$Así, comenzamos presentando la ecuación de la fórmula corta a la expresión dada:

$\textcolor{red}{a}^2+\underline{2\textcolor{red}{a}\textcolor{blue}{b}}+\textcolor{blue}{b}^2 \Leftrightarrow \textcolor{red}{x}^2+\underline{12x}+\textcolor{blue}{6}^2$Y efectivamente se cumple que:

$2\cdot\textcolor{red}{x}\cdot\textcolor{blue}{6}=12x$Es decir, el término medio en la expresión de la ecuación efectivamente coincide con la forma del término medio en la fórmula de multiplicación corta (resaltado con una línea debajo), matemáticamente:

$x^2+\underline{12x}+6^2=0 \\ \textcolor{red}{x}^2+\underline{2\cdot\textcolor{red}{x}\cdot\textcolor{blue}{6}}+\textcolor{blue}{6}^2=0\\ \downarrow\\ (\textcolor{red}{x}+\textcolor{blue}{6})^2=0$Ahora podemos recordar que una raíz real solo puede calcularse para un número positivo o para el número cero (ya que no es posible obtener un número negativo al elevar al cuadrado un número real), y por lo tanto para una ecuación hay dos soluciones reales (o una solución) solo si:

$$A continuación notamos que si: $(x+6)^2=0\hspace{6pt}\text{/}\sqrt{\hspace{4pt}}\\ x+6=0\\ \boxed{x=-6}$entonces la única solución a la ecuación es:

$x^4+12x^3+36x^2=0 \\ \downarrow\\ x^2(x^2+12x+36) =0 \\ \downarrow\\ x^2=0\rightarrow\boxed{x=0} \\ x^2+12x+36=0\\ x^2+2\cdot2\cdot6+6^2=0\\ \rightarrow(x+6)^2=0\rightarrow\boxed{x=-6}\\ \downarrow\\ \boxed{x=0,-6}$Por lo tanto, podemos resumir lo explicado usando lo siguiente:

En la ecuación cuadrática:

$ax^2+bx+c =0$en la que los coeficientes son sustituidos y el discriminante es calculado:

$a,b$Si se cumple:

a.$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$:

No hay solución (real) a la ecuación.

b.$\Delta$:

Existe una única solución (real) a la ecuación.

c.$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\textcolor{orange}{\Delta}}}{2a} \longleftrightarrow\textcolor{orange}{\Delta}=b^2-4ac$:

Existen dos soluciones (reales) a la ecuación.

Ahora volvamos a la ecuación dada y extraigamos de ella los coeficientes:

$\Delta\geq0$Continuamos y calculamos $\Delta=0$:

$x=-\frac{b}{2a}$Por lo tanto, para la ecuación cuadrática que resolvimos, una (real) solución,

y en combinación con la solución $ax^2+bx+c =0$(la solución adicional que encontramos para la ecuación dada que se indica en el primer paso después de factorizar usando el factor común),

Por lo tanto, obtenemos que para la ecuación dada:

$\Delta=b^2-4ac$

dos soluciones reales.