Potencias con exponente cero: Uso de las leyes de los exponentes

Empecemos simplificando el segundo término de la multiplicación total, es decir de la fracción, lo simplificamos en dos pasos:

En el primer paso, utilizamos la propiedad de potenciación para multiplicar términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$Simplificamos el numerador de la fracción:

$\frac{19^{35}\cdot19^{-32}}{19^3}=\frac{19^{35+(-32)}}{19^3}=\frac{19^{35-32}}{19^3}=\frac{19^3}{19^3}$A continuación, recordemos que dividir cada número por sí mismo dará como resultado 1, o usamos propiedad de potenciación para dividir entre términos con bases idénticas:

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$Para obtener que: $\frac{19^3}{19^3}=19^{3-3}=19^0=1$Cuando en el último paso utilizamos el hecho de que elevar cualquier número a la potencia de 0 dará el resultado 1, es decir, matemáticamente que:

$X^0=1$Resumiendo esta parte, obtenemos que:

$\frac{19^{35}\cdot19^{-32}}{19^3}=1$Ahora regresamos a la expresión completa del problema y colocamos este resultado en lugar de la fracción:

$3^{-3}\cdot\frac{19^{35}\cdot19^{-32}}{19^3}=3^{-3}\cdot1=3^{-3}$En el siguiente paso recordemos la propiedad de potenciación para un exponente negativo:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$Aplicamos esta propiedad para el resultado que obtuvimos:

$3^{-3}=\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27}$Resumiendo todos los pasos anteriores, obtenemos que:

$3^{-3}\cdot\frac{19^{35}\cdot19^{-32}}{19^3}=3^{-3}=\frac{1}{27}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.

Usamos la fórmula:

$(\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}$

Descomponemos la fracción entre paréntesis:

$(\frac{1}{7})^4=\frac{1^4}{7^4}$

Obtenemos:

$7^4\times8^3\times\frac{1^4}{7^4}$

Simplificamos las potencias: $7^4$

Obtenemos:

$8^3\times1^4$

Recordemos que el número 1 en cualquier potencia es igual a 1, por lo que obtenemos:

$8^3\times1=8^3$

Usamos la propiedad de potenciación para un exponente negativo, pero en dirección opuesta:

$\frac{1}{a^n} =a^{-n}$Aplicamos esta propiedad al problema:

$4^5-4^6\cdot\frac{1}{4}= 4^5-4^6\cdot4^{-1}$Cuando aplicamos la propiedad anterior para el segundo término desde la izquierda en la cantidad del problema y convertimos la fracción a un término con un exponente negativo,

Posteriormente usamos la propiedad de potenciación para multiplicar términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$Aplicamos esta propiedad en la expresión que obtuvimos en el último paso:

$4^5-4^6\cdot4^{-1} =4^5-4^{6+(-1)}=4^5-4^{6-1}=4^5-4^{5}=0$Cuando aplicamos la propiedad de potenciación antes mencionada al segundo término desde la izquierda en la cantidad en la expresión que obtuvimos en el último paso, luego simplificamos la expresión resultante,

Resumimos los pasos de resolución:

$4^5-4^6\cdot\frac{1}{4}= 4^5-4^6\cdot4^{-1} =4^5-4^{5}=0$

Obtuvimos que la respuesta es 0.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.

Usamos la fórmula:

$a^0=1$

$\frac{9\times3}{8^0}=\frac{9\times3}{1}=9\times3$

Sabemos que:

$9=3^2$

Por lo tanto, obtenemos:

$3^2\times3=3^2\times3^1$

Usamos la fórmula:

$a^m\times a^n=a^{m+n}$

$3^2\times3^1=3^{2+1}=3^3$

Usamos la propiedad de potenciación para multiplicar términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$y simplificamos mediante el segundo término desde la izquierda por la suma total en el problema:
$5^3+5^{-3}\cdot5^3=5^3+5^{-3+3}=5^3+5^0=5^3+1$Cuando en el primer paso aplicamos la propiedad antes mencionada al segundo término desde la izquierda, posteriormente simplificamos la expresión en el exponente de potencia y en el último paso utilizamos el hecho de que elevando cualquier número a la potencia de 0 dará como resultado 1 ,

Por supuesto, no tocamos el primer término porque ya está simplificado,

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción C.

Usamos la propiedad de potencias para multiplicar términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$Tengamos en cuenta que esta propiedad también es válida para varios términos en la multiplicación y no para dos, por ejemplo para la multiplicación de tres términos con la misma base obtenemos:

$a^m\cdot a^n\cdot a^k=a^{m+n}\cdot a^k=a^{m+n+k}$Cuando utilizamos dos veces la mencionada propiedad de potencias, también podríamos realizar el mismo cálculo para cuatro términos de la multiplicación de cinco, etc.,

Retornemos al problema:

$$$$Tengamos en cuenta que todos los términos de la multiplicación tienen la misma base, por lo que usaremos la propiedad anterior:

$5^{-3}\cdot5^0\cdot5^2\cdot5^5=5^{-3+0+2+5}=5^4$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción c.

Nota:

Tengamos en cuenta que $5^0=1$