Potencias y raíces: Paréntesis dentro de paréntesis

Este concepto básico se llama la jerarquía de las operaciones matemáticas, que establece que la multiplicación y la división se realizan antes que la suma y la resta, y que las operaciones dentro de los paréntesis tienen prioridad sobre todas ellas,

Recordemos que la suma y la resta son operaciones inversas entre sí (cada una deshace a la otra) y que la multiplicación y la división son operaciones inversas entre sí (en su totalidad) que se realizan entre ellas la operación de división, es decir, podemos tratar la suma y la resta como fracciones que se suman o restan, de esta manera podemos simplificar la fracción dada y escribirla de la siguiente manera:

$\frac{(25-2-16)^2+3}{8+5}:\sqrt{9}= \\ \downarrow\\ \big((25-2-16)^2+3\big):(8+5):\sqrt{9}$Esto se hace para enfatizar que las fracciones que se suman o restan deben tratarse por separado, ya que realmente existen como fracciones,

Regresando al concepto original de la pregunta, es decir, en la forma dada, y simplificando por separado las fracciones que se suman o restan en la pregunta y las fracciones que se multiplican, esto se hace en conformidad con la jerarquía de las operaciones matemáticas mencionada anteriormente y de una manera ordenada,

Recordemos que en la fracción dada, las fracciones que se multiplican cambian la fracción en términos de su fortaleza, por lo tanto, comenzaremos simplificando esta fracción, ya que esta fracción incluye solo multiplicación y división, realizamos las operaciones en conformidad con la jerarquía de las operaciones matemáticas naturales, es decir, de izquierda a derecha, simplificando la fracción que se multiplica:

$\frac{(25-2-16)^2+3}{8+5}:\sqrt{9}=\\ \frac{7^2+3}{13}:\sqrt{9}\\$Continuaremos y simplificaremos la fracción que recibimos en el paso anterior, es decir, primero realizaremos la operación de división del divisor, esto se hace mediante simplificación, y luego realizaremos la operación de división restante:

$\frac{7^2+3}{13}:\sqrt{9}=\\ \frac{49+3}{13}:3=\\ \frac{52}{13}:3\\$En el primer paso, dado que el resultado de la operación de división puede ser una fracción impropia (mayor que un entero, dado que el divisor es mayor que el dividendo) lo anotamos como una fracción mixta (donde el entero es mayor que el denominador),

Resumiremos los pasos de simplificación de la fracción dada, hemos encontrado que:

$\frac{\not{52}}{\not{13}}:3=\\ 4:3=\\ \frac{4}{3}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la respuesta B.

Nota:

Recordemos que en el conjunto de los últimos pasos de la solución al problema, podemos comenzar a anotar el divisor y la operación de división que se realiza sobre él incluso sin el divisor, pero mediante la operación de división:

$\frac{(25-2-16)^2+3}{8+5}:\sqrt{9}=\\ \frac{7^2+3}{13}:\sqrt{9}=\\ \frac{52}{13}:3=\\ \frac{4}{3}$Y continuando comenzaremos a calcular la operación de división en el divisor y solo después de hacerlo en el número 3, enfatizamos que en general simplificamos esta fracción en conformidad con la jerarquía de las operaciones matemáticas naturales, es decir, realizamos las operaciones una tras otra de izquierda a derecha, y esto significa que no hay prioridad para una operación de división en la fracción dada más allá de lo que está determinado por la jerarquía de las operaciones matemáticas naturales, es decir, de izquierda a derecha, (Recordemos además que la jerarquía de las operaciones matemáticas mencionada al principio del problema, que establece que la multiplicación y la división se realizan antes que la suma y la resta, y que las operaciones dentro de los paréntesis tienen prioridad sobre todas ellas, no define una prioridad incluso entre la multiplicación y la división, y por lo tanto el orden entre estas dos operaciones, en diferentes contextos, es diferente, se considera de izquierda a derecha).

Este concepto básico es el orden de las operaciones que indica que la multiplicación y división se realizan antes que la suma y resta, y que las operaciones dentro de los paréntesis tienen prioridad sobre todas,

recordemos que el numerador es el número que se rompe (cada parte) y el denominador es el número completo (en su totalidad) entre los cuales se realiza una operación de división, es decir, se puede relacionar el numerador y el denominador de la fracción como fracciones equivalentes, por lo que podemos simplificar la fracción dada y escribirla de la siguiente manera:

$\big((3-2+4)^2-2^2\big):\frac{\sqrt{9}\cdot7}{3}= \\ \downarrow\\ \big((25-2-16)^2+3\big):\big((\sqrt{9}\cdot7):\sqrt{3} \big)$Esto enfatiza que debemos tratar las fracciones que están en el numerador y en el denominador por separado, como si estuvieran en fracciones separadas,

recordemos además que la operación de división entre las fracciones de la fracción indica que los valores en el numerador (es decir, la fracción en su totalidad, es el resultado de la división entre el numerador y el denominador) y por lo tanto en la fracción dada para formar una división que hemos señalado para el ejemplo, la fracción resultante en las fracciones adicionales,

Regresamos entonces a la fracción original, es decir, en su forma dada, y procedemos simplemente,

Comenzaremos y simplificaremos la fracción que está en el numerador (es decir, en el numerador de la fracción que estamos simplificando), esto se hace siguiendo el orden de las operaciones mencionado anteriormente, por lo tanto, comenzaremos calculando el valor numérico del divisor que tiene prioridad (esto mientras recordamos que al seguir la definición de la raíz cuadrada como una operación fuerte, la raíz cuadrada es fuerte en todo) y luego realizaremos la multiplicación que está en el numerador, en contraste recordemos que dentro de las fracciones que se mencionan, esos valores se dividen en la fracción dada, se convierten en fracciones en las fracciones superiores en fuerza, por lo tanto, también simplificaremos esta fracción, esto siguiendo el orden de las operaciones mencionado:

$\big((3-2+4)^2-2^2\big):\frac{\sqrt{9}\cdot7}{3}= \\ \big(5^2-2^2\big):\frac{3\cdot7}{3}= \\ \big(5^2-2^2\big):\frac{21}{3}\\$Continuaremos y simplificaremos la fracción que recibimos en el paso anterior, continuaremos simplemente la fracción encontrada dentro de las fracciones que se dividen en la fracción, son las fracciones que se mencionan, recordemos que la multiplicación tiene prioridad sobre la suma y la resta, por lo tanto, comenzaremos calculando sus valores numéricos que tienen prioridad en esas fracciones y luego realizaremos la operación de resta, en el siguiente paso realizaremos la operación de división de la fracción (y no la operación de división en la fracción), y en el último paso realizaremos la operación de división restante:

$\big(5^2-2^2\big):\frac{21}{3}=\\ \big(25-4\big):\frac{21}{3}=\\ 21:\frac{21}{3}=\\ 21:\frac{\not{21}}{\not{3}}=\\ 21:7=\\ 3$recordemos que hemos adelantado la operación de división de la fracción a la operación de división en la fracción misma, y esto significa que el número 21 en la fracción dada se divide en su valor numérico de toda la fracción (en su totalidad)- que es el resultado de la operación de división del numerador en el denominador, por lo tanto, era necesario completar primero el cálculo de su valor numérico de la fracción y solo luego dividir el número 21 en este valor,

Concluiremos entonces con los pasos de simplificación de la fracción dada:
$\big((3-2+4)^2-2^2\big):\frac{\sqrt{9}\cdot7}{3}= \\ \big(5^2-2^2\big):\frac{21}{3}=\\ 21:7=\\ 3$Por lo tanto, la respuesta correcta es la respuesta D.

La simplificación de esta expresión se basa en el orden de operaciones que indica que la potenciación precede a la multiplicación y división, que a su vez preceden a la suma y resta, y que las operaciones dentro de los paréntesis tienen prioridad sobre todas ellas,

en la simplificación dada se realiza la operación de división entre los términos que están entre paréntesis (los denominadores) y un número (que también está entre paréntesis aunque solo sea conceptualmente), por lo tanto de acuerdo al orden de operaciones mencionado se comienza simplificando los términos que están en los paréntesis denominadores, este término que está en los paréntesis denominadores incluye la multiplicación entre dos términos que también están entre paréntesis, por lo tanto de acuerdo al orden de operaciones mencionado, simplificamos los términos que están dentro, teniendo en cuenta que el valor de cada uno de estos términos, incluyendo los numeradores que están en potencia, y por lo tanto asumiendo que la potenciación tiene prioridad sobre la multiplicación y división se calculan sus valores numéricos solo en la etapa inicial se realiza la operación de multiplicación y división que están en estos términos:

$$$$$\lbrack(3^2-4-5)\cdot(4+\sqrt{16})-5 \rbrack:(-5)=\\ \lbrack(9-4-5)\cdot(4+4)-5 \rbrack:(-5)=\\ \lbrack0\cdot8-5 \rbrack:(-5)\\$Continuamos con la simplificación de los términos que están entre paréntesis ,y de acuerdo al orden de operaciones mencionado, llevamos a cabo la multiplicación y recordamos que multiplicar el número 0 por cualquier número dará como resultado 0, en la etapa inicial se realiza la operación de resta y finalmente se lleva a cabo la operación de división que comienza con el término que está entre paréntesis:

$\lbrack0\cdot8-5 \rbrack:(-5)= \\ \lbrack0-5 \rbrack:(-5)= \\ -5 :(-5)=\\ 1$ Por lo tanto, la respuesta correcta es la respuesta c.

Simplificamos esta expresión manteniendo el orden de las operaciones que establece que los paréntesis preceden a la multiplicación y división, que van antes que la suma y la resta.

Comencemos primero simplificando las expresiones entre paréntesis, notaremos que en esta expresión hay dos pares de paréntesis entre los cuales se realiza una multiplicación.

Observa que los paréntesis internos de la izquierda están elevados a una potencia, así que comencemos simplificando la expresión que está dentro de los paréntesis internos.

$\big((8^2-3+5^2+7\cdot2)^2:100 \big)\cdot(100:10)=\\ \big((64-3+25+14)^2:100 \big)\cdot(100:10)=\\ \big(100^2:100 \big)\cdot(100:10)$Simplificamos la expresión que está en los paréntesis internos que se encuentran dentro de los paréntesis de la izquierda.

Realizamos esto en dos pasos porque hay operaciones de suma y resta entre términos entre paréntesis, y también hay multiplicación de términos (de acuerdo con el orden de las operaciones, primero calculamos los términos entre paréntesis, luego calculamos el resultado de la multiplicación en estos paréntesis y luego realizamos las operaciones de suma y resta que están entre los paréntesis).

Luego, simplificamos primero la expresión que está en los paréntesis de la izquierda, y solo después simplificamos la expresión que está en los paréntesis de la derecha.

Comenzamos calculando el término entre paréntesis ya que los paréntesis preceden a la multiplicación y división, luego realizamos la operación de división que está entre los paréntesis:

$\big(100^2:100 \big)\cdot(100:10)=\\ \big(10000:100 \big)\cdot(100:10)=\\ 100\cdot(100:10)=\\ 100\cdot10=\\ 1000$En los últimos pasos dividimos dentro del conjunto de paréntesis de la derecha y finalmente multiplicamos.

Resumamos los pasos de simplificación de la expresión dada:

$\big((8^2-3+5^2+7\cdot2)^2:100 \big)\cdot(100:10)=\\ \big(100^2:100 \big)\cdot(100:10)=\\ 100\cdot(100:10)=\\ 100\cdot10=\\ 1000$Por lo tanto, la respuesta correcta es la respuesta C.

Nota:

La expresión en los paréntesis de la izquierda en los últimos pasos se puede calcular numéricamente paso a paso como se describe allí, pero ten en cuenta que también es posible llegar al mismo resultado sin calcular su valor numérico de los términos en la expresión, utilizando la propiedad de los exponentes para dar términos con bases idénticas:

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ Esto se hace de la siguiente manera:
$100^2:100=\\ \frac{100^2}{100}=\\ 100^{2-1}=\\ 100$Primero convertimos la operación de división en una fracción, luego aplicamos la ley de exponentes anterior recordando que cualquier número puede ser representado como el mismo número elevado a la potencia de 1 (y cualquier número elevado a la potencia de 1 es igual al número mismo).