Área de un paralelogramo: Uso de congruencia y semejanza

Dado que el ángulo ACB es igual al ángulo CBE, de aquí se concluye que AC es paralelo a BE

dado que los ángulos alternos entre líneas paralelas son iguales.

Como sabemos que ABCD es un paralelogramo, AB es paralela a DC y por lo tanto AB también es paralela a CE ya que es una recta que continúa DC.

Dado que AC es paralela a BE y, además, AB es paralela a CE, se puede argumentar que ABCE es un paralelogramo y, por lo tanto, cada par de lados opuestos en un paralelogramo son paralelos e iguales.

De esto se concluye que AB=CE=9

Ahora calculamos el área del paralelogramo ABCD según los datos.

$S_{ABCD}=AB\times BF$

Reemplazamos los datos en consecuencia:

$S_{ABCD}=9\times6=54$

Primero, debemos recordar la fórmula del área de un paralelogramo:$\text{Lado }x\text{ Altura}$.

En este caso intentaremos hallar la altura CH y el lado BC.

Comenzamos desde el lado

Primero, observemos el pequeño triángulo EBG,

Como es un triángulo rectángulo, podemos usar el teorema de Pitágoras (

$A^2+B^2=C^2$)

$BG^2+4^2=5^2$

$BG^2+16=25$

$BG^2=9$

$BG=3$

Ahora, comencemos a buscar GC.

Primero, recuerda que el deltoide tiene dos pares de lados adyacentes iguales, por lo tanto:$FC=EC=9$

Ahora también podemos hacer en el triángulo GCE Pitágoras.

$GC^2+4^2=9^2$

$GC^2+16=81$

$GC^2=65$

$GC=\sqrt{65}$

Ahora podemos calcular el lado BC:

$BC=BG+GT=3+\sqrt{65}\approx11$

Ahora, observemos el triángulo BGE y DHC

Ángulo BGE = 90°
Ángulo CHD = 90°
Ángulo CDH=EBG porque estos son ángulos opuestos paralelos.

Por lo tanto, entre los dos triángulos existe una razón de semejanza, entonces:

$\frac{HD}{BG}=\frac{HC}{GE}$

$\frac{HD}{BG}=\frac{7.5}{3}=2.5$

$\frac{HC}{EG}=\frac{HC}{4}=2.5$

$HC=10$

Ahora que hay una altura y un lado solo queda calcular.

$10\times11\approx110$