La raíz de un producto: Aplicación de la fórmula

Comencemos recordando cómo definir una raíz como una potencia:

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$

A continuación, recordaremos que elevar 1 a cualquier potencia siempre dará como resultado 1, incluso la potencia de un medio de la raíz cuadrada.

En otras palabras:

$$$\sqrt{16}\cdot\sqrt{1}= \\ \downarrow\\ \sqrt{16}\cdot\sqrt[2]{1}=\\ \sqrt{16}\cdot 1^{\frac{1}{2}}=\\ \sqrt{16} \cdot1=\\ \sqrt{16} =\\ \boxed{4}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción D.

Comencemos recordando cómo definir una raíz cuadrada como una potencia:

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$

Luego, recordemos que elevar 1 a cualquier potencia siempre nos da 1, incluso la potencia de un medio que obtuvimos al convertir la raíz cuadrada.

En otras palabras:

$$$\sqrt{1} \cdot \sqrt{2}= \\ \downarrow\\ \sqrt[2]{1}\cdot \sqrt{2}=\\ 1^{\frac{1}{2}} \cdot\sqrt{2} =\\ 1\cdot\sqrt{2}=\\ \boxed{\sqrt{2}}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción a.

Podemos simplificar la expresión sin usar las leyes de los exponentes, porque la expresión tiene raíces cuadradas conocidas, así que simplifiquemos la expresión y luego realicemos la multiplicación:

$\sqrt{100}\cdot\sqrt{25}=\\ 10\cdot5=\\ \boxed{50}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción D.

Para simplificar la expresión dada, usamos dos leyes de exponentes:

A. Definir la raíz como un exponente:

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$B. La ley de exponentes para dividir potencias con la misma base (en la dirección opuesta):

$x^n\cdot y^n =(x\cdot y)^n$

Empecemos usando la ley de exponentes mostrada en A:

$\sqrt{10}\cdot\sqrt{3}= \\ \downarrow\\ 10^{\frac{1}{2}}\cdot3^{\frac{1}{2}}=$Continuamos, ya que tenemos una multiplicación entre dos términos con exponentes iguales, podemos usar la ley de exponentes mostrada en B y combinarlos bajo la misma base que está elevada al mismo exponente:

$10^{\frac{1}{2}}\cdot3^{\frac{1}{2}}= \\ (10\cdot3)^{\frac{1}{2}}=\\ 30^{\frac{1}{2}}=\\ \boxed{\sqrt{30}}$En los últimos pasos, realizamos la multiplicación de las bases y usamos la definición de la raíz como exponente mostrada anteriormente en A (en la dirección opuesta) para volver a la notación de raíz.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Podemos simplificar la expresión directamente sin usar las leyes de los exponentes, ya que la expresión tiene raíces cuadradas conocidas, así que simplifiquemos la expresión y luego realicemos la multiplicación:

$\sqrt{25}\cdot\sqrt{4}=\\ 5\cdot2=\\ \boxed{10}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción C.

Para simplificar la expresión dada, usamos dos leyes de exponentes:

A. Definir la raíz como un exponente:

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$B. La ley de multiplicación de exponentes para bases idénticas:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$

Comencemos desde la raíz cuadrada de los exponentes usando la ley mostrada en A:

$\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}= \\ \downarrow\\ 2^{\frac{1}{2}}\cdot2^{\frac{1}{2}}=$Continuamos: nota que obtuvimos un número multiplicado por sí mismo. De acuerdo con la definición del exponente, podemos escribir la expresión como un exponente de ese número. Luego, usamos la ley de exponentes mostrada en B y aplicamos todo el exponente al término entre paréntesis:

$2^{\frac{1}{2}}\cdot2^{\frac{1}{2}}= \\ (2^{\frac{1}{2}})^2=\\ 2^{\frac{1}{2}\cdot2}=\\ 2^1=\\ \boxed{2}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B.

Para simplificar la expresión dada usamos dos leyes de exponentes:

A. Definir la raíz como un exponente:

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$B. La ley de exponentes para dividir potencias con las mismas bases (en la dirección opuesta):

$x^n\cdot y^n =(x\cdot y)^n$

Empecemos cambiando las raíces cuadradas a exponentes usando la ley de exponentes mostrada en A:

$\sqrt{2}\cdot\sqrt{5}= \\ \downarrow\\ 2^{\frac{1}{2}}\cdot5^{\frac{1}{2}}=$Continuamos: como estamos multiplicando dos términos con exponentes iguales podemos usar la ley de exponentes mostrada en B y combinarlos juntos como la misma base elevada a la misma potencia:

$2^{\frac{1}{2}}\cdot5^{\frac{1}{2}}= \\ (2\cdot5)^{\frac{1}{2}}=\\ 10^{\frac{1}{2}}=\\ \boxed{\sqrt{10}}$En los últimos pasos multiplicamos las bases y luego usamos la definición de la raíz como un exponente mostrada anteriormente en A (en la dirección opuesta) para volver a la notación de raíz.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B.

Aunque la raíz cuadrada de 9 es conocida (3), para obtener una sola expresión usaremos las propiedades de los paréntesis:

Así que, para simplificar la expresión dada, usaremos dos leyes de exponentes:

A. Definir la raíz como un exponente:

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$B. Multiplicar diferentes bases con la misma potencia (en la dirección opuesta):

$x^n\cdot y^n =(x\cdot y)^n$

Empezamos cambiando la raíz cuadrada a un exponente usando la ley mostrada en A:

$\sqrt{9}\cdot\sqrt{3}= \\ \downarrow\\ 9^{\frac{1}{2}}\cdot3^{\frac{1}{2}}=$Como se realiza una multiplicación entre dos bases con el mismo exponente, podemos usar la ley mostrada en B.

$9^{\frac{1}{2}}\cdot3^{\frac{1}{2}}= \\ (9\cdot3)^{\frac{1}{2}}=\\ 27^{\frac{1}{2}}=\\ \boxed{\sqrt{27}}$En los últimos pasos realizamos la multiplicación, y luego usamos la ley de definir la raíz como un exponente mostrada anteriormente en A (en la dirección opuesta) para volver a la notación de raíz.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción C.

Podemos simplificar la expresión sin usar las leyes de los exponentes, ya que la expresión tiene raíces cuadradas conocidas, así que simplifiquemos la expresión y luego realicemos la multiplicación:

$\sqrt{9}\cdot\sqrt{4}=\\ 3\cdot2=\\ \boxed{6}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B.

Recordatorio:

A. Definiendo una raíz como una potencia:

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$Significa que todas las leyes de las potencias se aplican también a las raíces.

B. Por lo tanto, podemos aplicar la siguiente regla de las potencias en la que multiplicamos dos bases diferentes con el mismo exponente:

$x^n\cdot y^n=(x\cdot y)^n$El significado literal de esta ley en la dirección dada es que podemos escribir una multiplicación entre dos exponentes con potencias iguales como una multiplicación entre las bases dentro de los exponentes elevadas a la misma potencia,

Aplicamos estas dos leyes de las potencias en el problema.

Primero, convertiremos todas las raíces en potencias usando la definición de una raíz como una potencia que se mencionó en A arriba:

$\sqrt{3}\cdot\sqrt{12}+3^2 =3^{\frac{1}{2}}\cdot12^{\frac{1}{2}}+3^2$

A continuación, notaremos que los dos exponentes en la multiplicación tienen la misma potencia, así que aplicaremos la ley de las potencias mencionada en B arriba:

$3^{\frac{1}{2}}\cdot12^{\frac{1}{2}}+3^2 =(3\cdot12)^\frac{1}{2}+3^2=36^\frac{1}{2} +3^2$

Ahora volveremos a escribir las raíces usando la definición de una raíz como una potencia que se mencionó en A arriba, pero en la dirección opuesta:

$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$Aplicaremos esto a la expresión que obtuvimos:

$36^\frac{1}{2} +3^2 =\sqrt{36}+3^2=6+9=15$Para el primer término, convertimos la potencia de un medio del primer exponente en una raíz cuadrada, para el siguiente simplemente calculamos (¡sin calculadora!, ese es el punto aquí..) el valor numérico de la raíz.

En resumen:

$\sqrt{3}\cdot\sqrt{12}+3^2 =3^{\frac{1}{2}}\cdot12^{\frac{1}{2}}+3^2 =36^\frac{1}{2} +3^2=6+9=15$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción C.