Series: Determinar si el número es un elemento en la secuencia

Sabemos que el primer término de la serie es 15.

A partir de aquí podemos escribir toda la serie fácilmente, hasta ver si llegamos al 1.  

15, 13, 11, 9, 7, 5, 3, 1

¡El número 1 es de hecho un elemento de la serie!

Comprobaremos si el número 15 es un término de la serie definida por el término general dado:

$$ $a_n=n+5$

Lo realizaremos de la siguiente manera:

Primero requeriremos la existencia de dicho término en la serie, en alguna posición, es decir, exigiremos que:

$a_n=15$Más adelante resolvemos la ecuación obtenida de este requisito, recordando que n es la posición del término de la serie (también conocida como índice del término de la serie), por lo que debe ser un número natural, es decir , un número entero positivo y, por lo tanto, también lo necesitaremos,

Luego comprobaremos si estos dos requisitos se cumplen juntos:

Primero resolvemos,

$\begin{cases} a_n=n+5\\ a_n=15 \end{cases}\\ \downarrow\\ 15=n+5$Cuando colocamos en la posición$a_n$En la primera ecuación, el valor solicitado de la segunda ecuación,

Obtuvimos una ecuación con una variable para n, la resolveremos de la forma habitual moviendo lados y aislando la variable, así obtenemos:

$15=n+5 \\ -n=5-15\\ -n=-10 \hspace{8pt} \text{/:}(-1)\\ n=10$Cuando en el último paso dividimos ambos lados de la ecuación por el coeficiente evanescente del lado izquierdo,

Por lo tanto aceptamos el requisito de que:

$a_n=15$Lo que conduce que:

$n=10$Y este es efectivamente un número natural, es decir, entero y positivo, y por lo tanto concluimos que en la serie definida en el problema por el término general dado, el número 15 es efectivamente un término y su posición es 10, es decir, en notación matemática:

$a_{10}=15$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción a.

Comprobaremos si el número 30 es un término de la serie definida por el término general dado:

$$ $a_n= 15n$,

Lo realizaremos de la siguiente manera:

Primero requeriremos la existencia de dicho término en la serie, en alguna posición, es decir, exigiremos que:

$a_n=15$Más adelante resolvemos la ecuación obtenida de este requisito, recordando que n es la posición del término de la serie (también conocida como índice del término de la serie), por lo que debe ser un número natural, es decir , un número entero positivo y, por lo tanto, también lo necesitaremos,

Luego comprobaremos si estos dos requisitos se cumplen juntos:

Primero resolvemos,

$\begin{cases} a_n= 15n \\ a_n=30 \end{cases}\\ \downarrow\\ 30=15n$Cuando colocamos en la posición$a_n$En la primera ecuación, el valor solicitado de la segunda ecuación,

Obtuvimos una ecuación con una variable para n, la resolveremos de la forma habitual moviendo lados y aislando la variable, así obtenemos:

$30=15n \\ -15n=-30 \hspace{8pt} \text{/:}(-15)\\ n=2$Cuando en el último paso dividimos ambos lados de la ecuación por el coeficiente evanescente del lado izquierdo,

Por lo tanto aceptamos el requisito de que:

$a_n=30$Lo que conduce que:

$n=2$Y este es efectivamente un número natural, es decir, entero y positivo, y por lo tanto concluimos que en la serie definida en el problema por el término general dado, el número 15 es efectivamente un término y su posición es 10, es decir, en notación matemática:

$a_{2}=30$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción b.