Reglas de raíces combinadas: Misma base y diferente indicador

Resuelva el siguiente ejercicio:

$\sqrt[4]{6}\cdot\sqrt[6]{6}=$

Para simplificar la expresión dada usamos dos leyes de exponentes:

A. Definir la raíz como un exponente:

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$B. La ley de exponentes para la multiplicación de términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

Empecemos convirtiendo las raíces en exponentes usando la ley de exponentes mostrada en A:

$\sqrt[\textcolor{red}{4}]{6}\cdot\sqrt[\textcolor{blue}{6}]{6}= \\ \downarrow\\ 6^{\frac{1}{\textcolor{red}{4}}}\cdot6^{\frac{1}{\textcolor{blue}{6}}}=$Continuamos, ya que se realiza una multiplicación entre dos términos con bases idénticas - usamos la ley de exponentes mostrada en B:

$6^{\frac{1}{4}}\cdot6^{\frac{1}{6}}= \\ 6^{\frac{1}{4}+\frac{1}{6}}=$Continuamos y realizamos (por separado) la operación de sumar los exponentes que están en el exponente de la expresión en la expresión simplificada, esto se hace expandiendo cada uno de los exponentes al denominador común - el número 12 (que es el mínimo común denominador), luego realizamos las operaciones de suma y simplificación en el numerador del exponente:

$\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\\ \frac{1\cdot3+1\cdot2}{12}=\\ \frac{3+2}{12}=\\ \frac{5}{12}\\$En otras palabras - obtenemos que:

$6^{\frac{1}{4}+\frac{1}{6}}=\\ \boxed{6^{\frac{5}{12}}}$Para resumir el proceso de simplificación:

$\sqrt[4]{6}\cdot\sqrt[6]{6}= \\ \downarrow\\ 6^{\frac{1}{4}}\cdot6^{\frac{1}{6}}= \\ 6^{\frac{1}{4}+\frac{1}{6}}=\\ \boxed{6^{\frac{5}{12}}}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es la respuesta D.

$6^{\frac{5}{12}}$

Resuelva el siguiente ejercicio:

$\sqrt[4]{8}\cdot\sqrt[7]{8}=$

Para simplificar la expresión dada, usamos dos leyes de exponentes:

A. Definir la raíz como un exponente:

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$B. La ley de exponentes para la multiplicación de términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

Empecemos convirtiendo las raíces en exponentes usando la ley de exponentes mostrada en A:

$\sqrt[\textcolor{red}{4}]{8}\cdot\sqrt[\textcolor{blue}{7}]{8}= \\ \downarrow\\ 8^{\frac{1}{\textcolor{red}{4}}}\cdot8^{\frac{1}{\textcolor{blue}{7}}}=$Continuamos, ya que tenemos una multiplicación de dos términos con bases idénticas - usamos la ley de exponentes mostrada en B:

$8^{\frac{1}{4}}\cdot8^{\frac{1}{7}}= \\ \boxed{8^{\frac{1}{4}+\frac{1}{7}}}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción D.

$8^{\frac{1}{4}+\frac{1}{7}}$

Resuelva el siguiente ejercicio:

$\sqrt[4]{3}\cdot\sqrt[6]{3}=$

Para simplificar la expresión dada usamos dos leyes de exponentes:

A. Definir la raíz como un exponente:

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$B. La ley de exponentes para la multiplicación entre factores con las mismas bases:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

Empecemos convirtiendo las raíces en exponentes usando la ley de exponentes mostrada en A:

$\sqrt[\textcolor{red}{4}]{3}\cdot\sqrt[\textcolor{blue}{6}]{3}= \\ \downarrow\\ 3^{\frac{1}{\textcolor{red}{4}}}\cdot3^{\frac{1}{\textcolor{blue}{6}}}=$Continuamos, ya que la multiplicación se realiza entre dos factores con las mismas bases - usamos la ley de exponentes mostrada en B:

$3^{\frac{1}{4}}\cdot3^{\frac{1}{6}}= \\ \boxed{3^{\frac{1}{4}+\frac{1}{6}}}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción D.

$3^{\frac{1}{4}+\frac{1}{6}}$

Resuelva el siguiente ejercicio:

$\sqrt[6]{12}\cdot\sqrt[3]{12}=$

Para simplificar la expresión dada usamos dos leyes de exponentes:

A. Definir la raíz como un exponente:

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$B. La propiedad de exponentes para la multiplicación de términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

Empecemos convirtiendo las raíces en exponentes usando la ley de exponentes mostrada en A:

$\sqrt[\textcolor{red}{6}]{12}\cdot\sqrt[\textcolor{blue}{3}]{12}= \\ \downarrow\\ 12^{\frac{1}{\textcolor{red}{6}}}\cdot12^{\frac{1}{\textcolor{blue}{3}}}=$Continuamos, ya que se realiza una multiplicación de dos términos con bases idénticas - usamos la ley de exponentes mostrada en B:

$12^{\frac{1}{6}}\cdot12^{\frac{1}{3}}= \\ \boxed{12^{\frac{1}{6}+\frac{1}{3}}}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción C.

$12^{\frac{1}{6}+\frac{1}{3}}$

Resuelva el siguiente ejercicio:

$\sqrt[3]{2^2}\cdot\sqrt[3]{2}=$

Para simplificar la expresión dada usamos dos leyes de exponentes:

A. La ley de las raíces (expandida):

$\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{a^{\textcolor{red}{m}}}=a^{\frac{\textcolor{red}{m}}{\textcolor{blue}{n}}} =(\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{a})^{\textcolor{red}{m}}$

$$B. La ley de exponentes para la multiplicación de términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

Empecemos desde el nivel de la raíz para escribir exponentes usando la ley de exponentes mostrada en A:

$\sqrt[\textcolor{blue}{3}]{2^{\textcolor{red}{2}}}\cdot\sqrt[\textcolor{blue}{3}]{2}= \\ \sqrt[\textcolor{blue}{3}]{2^{\textcolor{red}{2}}}\cdot\sqrt[\textcolor{blue}{3}]{2^{\textcolor{red}{1}}}= \\ \downarrow\\ 2^{\frac{\textcolor{red}{2}}{\textcolor{blue}{3}}}\cdot2^{\frac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{3}}} =$Continuamos, ya que la multiplicación se realiza entre dos términos con bases idénticas - usamos la ley de exponentes mostrada en B:

$2^{\frac{2}{3}}\cdot2^{\frac{1}{3}}= \\ 2^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}}=$Continuamos y realizamos (por separado) la operación de combinar los numeradores en la fracción de exponentes que se obtuvo, esto se hace expandiendo cada uno de los numeradores al denominador común - el número 3, luego realizamos las operaciones de suma y resta en el numerador de la fracción:

$\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=\\ \frac{2+1}{3}=\\ \frac{3}{3}=\\ 1$En otras palabras - obtenemos que:

$2^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}}=\\ 2^{1}=\\ \boxed{2}$ Resumamos el proceso de simplificación de la expresión:

$\sqrt[3]{2^2}\cdot\sqrt[3]{2}= \\ \downarrow\\ 2^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}}=\\ \boxed{2}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la respuesta A.

$2$

Resuelva el siguiente ejercicio:

$\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[3]{5}=$

$5^{\frac{2}{3}}$

Resuelva el siguiente ejercicio:

$\sqrt[5]{3^3}\cdot\sqrt[5]{3^2}=$

$3$

Resuelva el siguiente ejercicio:

$\sqrt[6]{7}\cdot\sqrt[2]{7}=$

$7^{\frac{2}{3}}$

Resuelva el siguiente ejercicio:

$\sqrt[7]{4}\cdot\sqrt[3]{4}=$

$4^{\frac{1}{7}+\frac{1}{3}}$

Resuelva el siguiente ejercicio:

$\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}=$

$7$