Propiedades de raíces - Ejemplos, Ejercicios y Soluciones

Comencemos recordando cómo definir una raíz como una potencia:

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$

A continuación, recordaremos que elevar 1 a cualquier potencia siempre dará como resultado 1, incluso la potencia de un medio de la raíz cuadrada.

En otras palabras:

$$$\sqrt{16}\cdot\sqrt{1}= \\ \downarrow\\ \sqrt{16}\cdot\sqrt[2]{1}=\\ \sqrt{16}\cdot 1^{\frac{1}{2}}=\\ \sqrt{16} \cdot1=\\ \sqrt{16} =\\ \boxed{4}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción D.

Comencemos recordando cómo definir una raíz cuadrada como una potencia:

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$

Luego, recordemos que elevar 1 a cualquier potencia siempre nos da 1, incluso la potencia de un medio que obtuvimos al convertir la raíz cuadrada.

En otras palabras:

$$$\sqrt{1} \cdot \sqrt{2}= \\ \downarrow\\ \sqrt[2]{1}\cdot \sqrt{2}=\\ 1^{\frac{1}{2}} \cdot\sqrt{2} =\\ 1\cdot\sqrt{2}=\\ \boxed{\sqrt{2}}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción a.

Podemos simplificar la expresión sin usar las leyes de los exponentes, porque la expresión tiene raíces cuadradas conocidas, así que simplifiquemos la expresión y luego realicemos la multiplicación:

$\sqrt{100}\cdot\sqrt{25}=\\ 10\cdot5=\\ \boxed{50}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción D.

Para simplificar la expresión dada, usamos dos leyes de exponentes:

A. Definir la raíz como un exponente:

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$B. La ley de exponentes para dividir potencias con la misma base (en la dirección opuesta):

$x^n\cdot y^n =(x\cdot y)^n$

Empecemos usando la ley de exponentes mostrada en A:

$\sqrt{10}\cdot\sqrt{3}= \\ \downarrow\\ 10^{\frac{1}{2}}\cdot3^{\frac{1}{2}}=$Continuamos, ya que tenemos una multiplicación entre dos términos con exponentes iguales, podemos usar la ley de exponentes mostrada en B y combinarlos bajo la misma base que está elevada al mismo exponente:

$10^{\frac{1}{2}}\cdot3^{\frac{1}{2}}= \\ (10\cdot3)^{\frac{1}{2}}=\\ 30^{\frac{1}{2}}=\\ \boxed{\sqrt{30}}$En los últimos pasos, realizamos la multiplicación de las bases y usamos la definición de la raíz como exponente mostrada anteriormente en A (en la dirección opuesta) para volver a la notación de raíz.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Podemos simplificar la expresión directamente sin usar las leyes de los exponentes, ya que la expresión tiene raíces cuadradas conocidas, así que simplifiquemos la expresión y luego realicemos la multiplicación:

$\sqrt{25}\cdot\sqrt{4}=\\ 5\cdot2=\\ \boxed{10}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción C.

Para simplificar la expresión dada, usamos dos leyes de exponentes:

A. Definir la raíz como un exponente:

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$B. La ley de multiplicación de exponentes para bases idénticas:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$

Comencemos desde la raíz cuadrada de los exponentes usando la ley mostrada en A:

$\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}= \\ \downarrow\\ 2^{\frac{1}{2}}\cdot2^{\frac{1}{2}}=$Continuamos: nota que obtuvimos un número multiplicado por sí mismo. De acuerdo con la definición del exponente, podemos escribir la expresión como un exponente de ese número. Luego, usamos la ley de exponentes mostrada en B y aplicamos todo el exponente al término entre paréntesis:

$2^{\frac{1}{2}}\cdot2^{\frac{1}{2}}= \\ (2^{\frac{1}{2}})^2=\\ 2^{\frac{1}{2}\cdot2}=\\ 2^1=\\ \boxed{2}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B.

Para simplificar la expresión dada usamos dos leyes de exponentes:

A. Definir la raíz como un exponente:

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$B. La ley de exponentes para dividir potencias con las mismas bases (en la dirección opuesta):

$x^n\cdot y^n =(x\cdot y)^n$

Empecemos cambiando las raíces cuadradas a exponentes usando la ley de exponentes mostrada en A:

$\sqrt{2}\cdot\sqrt{5}= \\ \downarrow\\ 2^{\frac{1}{2}}\cdot5^{\frac{1}{2}}=$Continuamos: como estamos multiplicando dos términos con exponentes iguales podemos usar la ley de exponentes mostrada en B y combinarlos juntos como la misma base elevada a la misma potencia:

$2^{\frac{1}{2}}\cdot5^{\frac{1}{2}}= \\ (2\cdot5)^{\frac{1}{2}}=\\ 10^{\frac{1}{2}}=\\ \boxed{\sqrt{10}}$En los últimos pasos multiplicamos las bases y luego usamos la definición de la raíz como un exponente mostrada anteriormente en A (en la dirección opuesta) para volver a la notación de raíz.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B.

Aunque la raíz cuadrada de 9 es conocida (3), para obtener una sola expresión usaremos las propiedades de los paréntesis:

Así que, para simplificar la expresión dada, usaremos dos leyes de exponentes:

A. Definir la raíz como un exponente:

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$B. Multiplicar diferentes bases con la misma potencia (en la dirección opuesta):

$x^n\cdot y^n =(x\cdot y)^n$

Empezamos cambiando la raíz cuadrada a un exponente usando la ley mostrada en A:

$\sqrt{9}\cdot\sqrt{3}= \\ \downarrow\\ 9^{\frac{1}{2}}\cdot3^{\frac{1}{2}}=$Como se realiza una multiplicación entre dos bases con el mismo exponente, podemos usar la ley mostrada en B.

$9^{\frac{1}{2}}\cdot3^{\frac{1}{2}}= \\ (9\cdot3)^{\frac{1}{2}}=\\ 27^{\frac{1}{2}}=\\ \boxed{\sqrt{27}}$En los últimos pasos realizamos la multiplicación, y luego usamos la ley de definir la raíz como un exponente mostrada anteriormente en A (en la dirección opuesta) para volver a la notación de raíz.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción C.

Podemos simplificar la expresión sin usar las leyes de los exponentes, ya que la expresión tiene raíces cuadradas conocidas, así que simplifiquemos la expresión y luego realicemos la multiplicación:

$\sqrt{9}\cdot\sqrt{4}=\\ 3\cdot2=\\ \boxed{6}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B.

Para simplificar la expresión dada, usaremos dos leyes de exponentes:

A. Definición de la raíz como exponente:

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$

B. Ley de exponentes para dividir potencias con la misma base:

$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$

Empecemos convirtiendo la raíz en un exponente usando la ley de exponentes mostrada en A:

$\sqrt{9x}= \\ \downarrow\\ (9x)^{\frac{1}{2}}=$A continuación, usaremos la ley de exponentes mostrada en B y aplicaremos el exponente a cada uno de los factores en el numerador que están entre paréntesis:

$(9x)^{\frac{1}{2}}= \\ 9^{\frac{1}{2}}\cdot x^{{\frac{1}{2}}}=\\ \sqrt{9}\sqrt{x}=\\ \boxed{3\sqrt{x}}$$$En los últimos pasos, multiplicamos el exponente medio por cada uno de los factores en el numerador, volviendo a la forma de raíz, es decir, de acuerdo con la definición de la raíz como exponente mostrada en A (en la dirección opuesta) y luego calcularemos el resultado conocido de la raíz cuarta del número 9.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción D.

Para simplificar la expresión dada usamos dos leyes de exponentes:

A. Definir la raíz como un exponente:

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$B. La ley de exponentes para un producto de números con la misma base (en la dirección opuesta):

$x^n\cdot y^n =(x\cdot y)^n$

Empecemos definiendo las raíces como exponentes usando la ley de exponentes mostrada en A:

$\sqrt{2}\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}= \\ \downarrow\\ 2^{\frac{1}{2}}\cdot5^{\frac{1}{2}}\cdot2^{\frac{1}{2}}\cdot2^{\frac{1}{2}}=$Como estamos multiplicando cuatro números con los mismos exponentes podemos usar la ley de exponentes mostrada en B (que también se aplica a un producto de números con la misma base) y combinarlos en un producto con la misma base que está elevada al mismo exponente:

$2^{\frac{1}{2}}\cdot5^{\frac{1}{2}}\cdot2^{\frac{1}{2}}\cdot2^{\frac{1}{2}}= \\ (2\cdot5\cdot2\cdot2)^{\frac{1}{2}}=\\ 40^{\frac{1}{2}}=\\ \boxed{\sqrt{40}}$En el último paso realizamos el producto que está en la base, luego usamos nuevamente la definición de la raíz como un exponente mostrada anteriormente en A (en la dirección opuesta) para volver a escribir la raíz.

Por lo tanto, ten en cuenta que la respuesta correcta es la respuesta C.

Para simplificar la expresión dada usamos dos leyes de exponentes:

A. La ley de las raíces (expandida):

$\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{a^{\textcolor{red}{m}}}=a^{\frac{\textcolor{red}{m}}{\textcolor{blue}{n}}} =(\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{a})^{\textcolor{red}{m}}$

$$B. La ley de exponentes para la multiplicación de términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

Empecemos desde el nivel de la raíz para escribir exponentes usando la ley de exponentes mostrada en A:

$\sqrt[\textcolor{blue}{3}]{2^{\textcolor{red}{2}}}\cdot\sqrt[\textcolor{blue}{3}]{2}= \\ \sqrt[\textcolor{blue}{3}]{2^{\textcolor{red}{2}}}\cdot\sqrt[\textcolor{blue}{3}]{2^{\textcolor{red}{1}}}= \\ \downarrow\\ 2^{\frac{\textcolor{red}{2}}{\textcolor{blue}{3}}}\cdot2^{\frac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{3}}} =$

Continuamos, ya que la multiplicación se realiza entre dos términos con bases idénticas - usamos la ley de exponentes mostrada en B:

$2^{\frac{2}{3}}\cdot2^{\frac{1}{3}}= \\ 2^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}}=$

Continuamos y realizamos (por separado) la operación de combinar los numeradores en la fracción de exponentes que se obtuvo, esto se hace expandiendo cada uno de los numeradores al denominador común - el número 3, luego realizamos las operaciones de suma y resta en el numerador de la fracción:

$\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=\\ \frac{2+1}{3}=\\ \frac{3}{3}=\\ 1$

En otras palabras - obtenemos que:

$2^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}}=\\ 2^{1}=\\ \boxed{2}$

Resumamos el proceso de simplificación de la expresión:

$\sqrt[3]{2^2}\cdot\sqrt[3]{2}= \\ \downarrow\\ 2^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}}=\\ \boxed{2}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es la respuesta A.

Para simplificar la expresión dada usamos dos leyes de exponentes:

A. Definir la raíz como un exponente:

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$B. La ley de exponentes para la multiplicación entre factores con las mismas bases:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

Empecemos convirtiendo las raíces en exponentes usando la ley de exponentes mostrada en A:

$\sqrt[\textcolor{red}{4}]{3}\cdot\sqrt[\textcolor{blue}{6}]{3}= \\ \downarrow\\ 3^{\frac{1}{\textcolor{red}{4}}}\cdot3^{\frac{1}{\textcolor{blue}{6}}}=$Continuamos, ya que la multiplicación se realiza entre dos factores con las mismas bases - usamos la ley de exponentes mostrada en B:

$3^{\frac{1}{4}}\cdot3^{\frac{1}{6}}= \\ \boxed{3^{\frac{1}{4}+\frac{1}{6}}}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción D.

Para simplificar la expresión dada usamos dos leyes de exponentes:

A. Definir la raíz como un exponente:

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$

B. La ley de exponentes para la multiplicación de términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

Empecemos convirtiendo las raíces en exponentes usando la ley de exponentes mostrada en A:

$\sqrt[\textcolor{red}{4}]{6}\cdot\sqrt[\textcolor{blue}{6}]{6}= \\ \downarrow\\ 6^{\frac{1}{\textcolor{red}{4}}}\cdot6^{\frac{1}{\textcolor{blue}{6}}}=$

Continuamos, ya que se realiza una multiplicación entre dos términos con bases idénticas - usamos la ley de exponentes mostrada en B:

$6^{\frac{1}{4}}\cdot6^{\frac{1}{6}}= \\ 6^{\frac{1}{4}+\frac{1}{6}}=$

Continuamos y realizamos (por separado) la operación de sumar los exponentes que están en el exponente de la expresión en la expresión simplificada, esto se hace expandiendo cada uno de los exponentes al denominador común - el número 12 (que es el mínimo común denominador), luego realizamos las operaciones de suma y simplificación en el numerador del exponente:

$\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\\ \frac{1\cdot3+1\cdot2}{12}=\\ \frac{3+2}{12}=\\ \frac{5}{12}\\$En otras palabras - obtenemos que:

$6^{\frac{1}{4}+\frac{1}{6}}=\\ \boxed{6^{\frac{5}{12}}}$

Para resumir el proceso de simplificación:

$\sqrt[4]{6}\cdot\sqrt[6]{6}= \\ \downarrow\\ 6^{\frac{1}{4}}\cdot6^{\frac{1}{6}}= \\ 6^{\frac{1}{4}+\frac{1}{6}}=\\ \boxed{6^{\frac{5}{12}}}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es la respuesta D.

Para simplificar la expresión dada, usamos dos leyes de exponentes:

A. Definir la raíz como un exponente:

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$

B. La ley de exponentes para la multiplicación de términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

Empecemos convirtiendo las raíces en exponentes usando la ley de exponentes mostrada en A:

$\sqrt[\textcolor{red}{4}]{8}\cdot\sqrt[\textcolor{blue}{7}]{8}= \\ \downarrow\\ 8^{\frac{1}{\textcolor{red}{4}}}\cdot8^{\frac{1}{\textcolor{blue}{7}}}=$Continuamos, ya que tenemos una multiplicación de dos términos con bases idénticas - usamos la ley de exponentes mostrada en B:

$8^{\frac{1}{4}}\cdot8^{\frac{1}{7}}= \\ \boxed{8^{\frac{1}{4}+\frac{1}{7}}}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción D.