Raíz de una raíz - Ejemplos, Ejercicios y Soluciones

Para simplificar la expresión dada, usaremos dos leyes de exponentes:

A. Definición de la raíz como exponente:

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$

B. Ley de exponentes para un exponente sobre otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$

Comencemos simplificando la expresión dada:

$\sqrt[4]{\sqrt[3]{3}}= \\$Usamos la ley de exponentes mostrada en A y primero convertimos las raíces en la expresión a exponentes, lo realizamos en dos pasos - en el primer paso convertimos la raíz interna en la expresión y en el siguiente paso convertimos la raíz externa:

$\sqrt[4]{\sqrt[3]{3}}= \\ \sqrt[4]{3^{\frac{1}{3}}}= \\ (3^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{4}}=$Continuamos y usamos la ley de exponentes mostrada en B, luego multiplicaremos los exponentes:

$(3^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{4}}= \\ 3^{\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}}=\\ 3^{\frac{1\cdot1}{3\cdot4}}=\\ \boxed{3^{\frac{1}{12}}}=\\ \boxed{\sqrt[12]{3}}$ En el paso final volvemos a escribir la raíz, es decir - de vuelta, usando la ley de exponentes mostrada en A (en la dirección opuesta),

Resumamos la simplificación de la expresión dada:

$\sqrt[4]{\sqrt[3]{3}}= \\ (3^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{4}}= \\ \boxed{3^{\frac{1}{12}}}=\\ \boxed{\sqrt[12]{3}}$Por lo tanto, ten en cuenta que la respuesta correcta (más probable) es la respuesta D.