Potencias y raíces: Completar los números faltantes

Simplificamos la sección izquierda de la ecuación mediante cálculo directo:

$6^1+1^6+\sqrt{81}=\textcolor{red}{☐}^2 \\ 6+1+9=\textcolor{red}{☐}^2\\ 16=\textcolor{red}{☐}^2\\$Cuando calculamos el valor numérico del término en la potencia, del término en la raíz y recordamos que elevar el número 1 para cualquier potencia siempre dará como resultado 1,

Ahora examinamos la ecuación que recibimos, en el lado izquierdo el número 16 y en el lado derecho un número (que es desconocido) elevado a la potencia al cuadrado,

Por eso nos hacemos la pregunta: "¿Qué número elevamos a la segunda potencia para obtener el número 16?"

Y la respuesta es, por supuesto, el número 4,

Por lo tanto, se cumple:

$16=\textcolor{red}{4}^2$Sin embargo, al tratarse de una potencia par (potencia 2), también hay que tener en cuenta la posibilidad negativa,

Es decir, también se cumple que:

$16=\textcolor{red}{(-4)}^2$

Es decir, la respuesta correcta es la opción C.

Para resolver el problema dado y determinar si es una ecuación o una desigualdad, necesitamos simplificar cada una de las expresiones algebraicas.

Podemos tratar cada una de ellas por separado y simplificarlas. Sin embargo, en este caso, una forma más eficiente sería tratar las partes más complejas de estas expresiones por separado, es decir, las expresiones entre paréntesis - las expresiones con raíces.

Es importante enfatizar que en general queremos resolver sin calculadora, usando solo nuestras herramientas algebraicas y las leyes de los exponentes. Comencemos:

a. Empezaremos con la parte problemática en la expresión de la izquierda:

$\sqrt{6}+\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}$(Nos enfocaremos primero en la expresión dentro de los paréntesis y luego nos moveremos hacia afuera),

Recordemos dos leyes de los exponentes:

a.1: Definiendo una raíz como un exponente:

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$

a.2: La ley de aplicar exponentes a paréntesis que contienen un producto, pero en la dirección opuesta:

$x^n\cdot y^n= (x\cdot y)^n$

Usualmente reemplazamos las raíces con exponentes, pero por ahora no lo haremos. Solo entenderemos que según la ley de definir raíces como un exponente mencionada en a.1, la raíz es en realidad un exponente y por lo tanto todas las leyes de los exponentes se aplican a ella, especialmente la ley de los exponentes mencionada en a.2 , Así que aplicaremos este entendimiento a la expresión en cuestión:

$\sqrt{6}+\sqrt{2}\cdot\sqrt{3} = \sqrt{6}+\sqrt{2\cdot3}= \sqrt{6}+\sqrt{6}$

En la primera etapa, notamos que el segundo término (es decir, el producto de raíces) es en realidad un producto entre dos términos elevados a la misma potencia (que es la mitad de la potencia de la raíz cuadrada). Por lo tanto, de acuerdo con la ley de los exponentes mencionada en a.2 , podemos combinar las bases de los términos como un producto con el mismo exponente , y en la siguiente etapa simplificamos la expresión bajo la raíz,

A partir de aquí notamos que podemos simplificar esta expresión usando un factor común:

$\sqrt{6}+\sqrt{6}=(1+1)\sqrt{6}=2\cdot\sqrt{6}$

Usamos la propiedad conmutativa de la multiplicación para mover el factor común que sacamos ($\sqrt{6}$ ) lo pusimos a la derecha de los paréntesis (en lugar de a su izquierda) para que nuestra expresión sea más clara.

Ahora, volveremos a la expresión original en el problema (es decir, la expresión de la izquierda) y calcularemos por completo, usando la simplificación de arriba:

$9\cdot(\sqrt{6}+\sqrt{2}\cdot\sqrt{3})^2+2^2:2= 9\cdot(2\cdot\sqrt{6})^2+\frac{2^2}{2^1}$

Sustituimos lo que calculamos arriba en lugar de la expresión entre paréntesis y escribimos la operación de división para el último término a la izquierda como una fracción.

En la siguiente etapa recordemos otra ley de los exponentes:

a.3: La ley de dividir exponentes con bases iguales:

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$Y recordemos de nuevo la ley de los exponentes mencionada arriba en a.2, es decir, la ley de un exponente aplicado a paréntesis que contienen un producto, pero en la dirección normal.

Apliquemos estas dos leyes de los exponentes a la expresión que obtuvimos en la última etapa:

$9\cdot(2\cdot\sqrt{6})^2+\frac{2^2}{2^1} =9\cdot2^2\cdot(\sqrt{6})^2+2^{2-1}=9\cdot4\cdot6+2^1$

En la primera etapa aplicamos la ley de los exponentes mencionada en a.2 arriba y aplicamos el exponente a cada uno de los términos multiplicados en los paréntesis.

Luego, aplicamos la ley de los exponentes mencionada en a.3 al segundo término a la izquierda. Para hacer las cosas más claras, ponemos la raíz entre paréntesis, pero esto es solo por conveniencia.

En la siguiente etapa elevamos al cuadrado la raíz cuadrada mientras recordamos que estas son en realidad dos operaciones inversas y por lo tanto se cancelan entre sí y simplificamos el resto de los términos.

Terminemos el cálculo. Obtuvimos que la expresión es:

$9\cdot4\cdot6+2^1 =216+2=218$

Resumamos:

Obtuvimos que la expresión de la izquierda es:

$9\cdot(\sqrt{6}+\sqrt{2}\cdot\sqrt{3})^2+2^2:2= 9\cdot(2\cdot\sqrt{6})^2+\frac{2^2}{2^1} =\\ 9\cdot4\cdot6+2^1 =218$

b. Continuemos con la expresión de la derecha y como antes, comenzaremos con la parte problemática, es decir, la expresión dentro de los paréntesis con las raíces:

$\sqrt{2}+2\sqrt{2}$Al igual que en la parte anterior, podemos factorizar esta expresión:

$\sqrt{2}+2\sqrt{2} =(1+2)\sqrt{2}=3\cdot\sqrt{2}$

De nuevo usamos la propiedad conmutativa de la multiplicación y el factor común-$\sqrt{2}$ elegimos sacarlo fuera de los paréntesis - a su derecha.

A continuación, simplificamos la expresión entre paréntesis.

Volveremos a la expresión completa de la derecha y sustituiremos lo que obtuvimos :

$5^2\cdot(\sqrt{2}+2\sqrt{2})^2 =5^2\cdot(3\cdot\sqrt{2})^2$

Continuaremos y simplificaremos esta expresión. De nuevo, aplicaremos la ley de los exponentes mencionada anteriormente en a.2 (en su dirección normal) y tenemos en cuenta que la raíz cuadrada y el exponente cuadrado son operaciones inversas y por lo tanto se cancelan entre sí:

$5^2\cdot(3\cdot\sqrt{2})^2 =5^2\cdot3^2 \cdot(\sqrt{2})^2=25\cdot9\cdot2$

Primero, según la ley de los exponentes mencionada en a.2 aplicamos el exponente a cada uno de los términos multiplicados entre paréntesis, y luego simplificamos la expresión resultante mientras tenemos en cuenta que la raíz cuadrada y el exponente cuadrado son operaciones inversas.

Terminemos el cálculo:

$25\cdot9\cdot2=450$ Y para resumir , obtuvimos que:

$5^2\cdot(\sqrt{2}+2\sqrt{2})^2 =5^2\cdot(3\cdot\sqrt{2})^2 =\\ 5^2\cdot3^2 \cdot(\sqrt{2})^2=25\cdot9\cdot2 =450$

Ahora volvamos al problema original y sustituyamos lo que obtuvimos en a y b:

$9\cdot(\sqrt{6}+\sqrt{2}\cdot\sqrt{3})^2+2^2:2\text{ }\text{\textcolor{red}{\_\_}}\text{ }5^2\cdot(\sqrt{2}+2\sqrt{2})^2 \\ \downarrow\\ 218\text{ }\text{\textcolor{red}{\_\_}}\text{ }450$ Por lo tanto, está claro que esto no es una igualdad sino una desigualdad y que la expresión de la izquierda es menor que la expresión de la derecha ,es decir:

218\text{ }\text{\textcolor{red}{<}}\text{ }450 Por lo tanto, la respuesta correcta es la respuesta a.

Vamos a tratar cada una de las expresiones de la derecha y la izquierda por separado:

a. Comenzaremos con la expresión de la izquierda:

$\frac{\sqrt{16}\cdot(6^2-7\cdot3)}{(4^3-2\cdot3^3):2}$ Como es muy desordenada, empezaremos por organizarla.

Primero, aislaremos la expresión en el denominador de la fracción (que actualmente se muestra como una operación de división), y la trataremos como una fracción por sí misma:

$\frac{\sqrt{16}\cdot(6^2-7\cdot3)}{(4^3-2\cdot3^3):2} =\\ \frac{\sqrt{16}\cdot(6^2-7\cdot3)}{\big(\frac{4^3-2\cdot3^3}{2}\big)}$ Ten en cuenta que la operación de división en el denominador se aplica a toda la expresión entre paréntesis (lo que significa que toda la expresión entre paréntesis en el denominador se divide por 2), por lo tanto, toda la expresión que estaba entre paréntesis se convierte en el numerador de la nueva fracción.

Además, ponemos la fracción en el denominador entre paréntesis, y esto es para poder distinguir entre la línea de fracción principal (de la fracción grande y principal) y la de la línea de fracción secundaria (de la fracción en el denominador),

Recuerda que la división es la multiplicación por el número recíproco, y también que obtenemos el recíproco de una fracción intercambiando el numerador y el denominador, es decir, matemáticamente, realizaremos:

$\frac{a}{\big(\frac{x}{y}\big)}=\frac{\big(\frac{a}{1}\big)}{\big(\frac{x}{y}\big)}=\frac{a}{1}\cdot\frac{y}{x}$ En la primera parte recordamos que cualquier número puede ser representado como ese mismo número dividido por 1, y luego convertimos la operación de división en la fracción a una operación de multiplicación por la fracción recíproca. Aplicaremos esto a la expresión que recibimos en la última etapa:

$\frac{a}{\textcolor{blue}{\big(\frac{x}{y}\big)}}=\frac{\big(\frac{a}{1}\big)}{\textcolor{blue}{\big(\frac{x}{y}\big)}}=\frac{a}{1}\cdot\textcolor{blue}{\frac{y}{x}} \\ \downarrow\\ \frac{\sqrt{16}\cdot(6^2-7\cdot3)}{\textcolor{blue}{\big(\frac{4^3-2\cdot3^3}{2}\big)}} = \frac{\big(\frac{\sqrt{16}\cdot(6^2-7\cdot3)}{1}\big)}{\textcolor{blue}{\big(\frac{4^3-2\cdot3^3}{2}\big)}}=\frac{\sqrt{16}\cdot(6^2-7\cdot3)}{1}\cdot\textcolor{blue}{\frac{2}{4^3-2\cdot3^3} }$ A partir de aquí continuaremos como de costumbre y realizaremos la operación de multiplicación entre las fracciones, recordando que cuando multiplicamos fracciones multiplicamos numerador por numerador y denominador por denominador (y mantenemos la línea de fracción original):

$\frac{\sqrt{16}\cdot(6^2-7\cdot3)}{1}\cdot\frac{2}{4^3-2\cdot3^3} =\frac{\sqrt{16}\cdot(6^2-7\cdot3)\cdot2}{1\cdot(4^3-2\cdot3^3)}$ Así hemos terminado de organizar la expresión.

Lo hicimos cuidadosamente prestando atención a la separación entre las líneas de fracción principales y secundarias (y así sucesivamente),

Continuaremos y usaremos la propiedad distributiva de la multiplicación, y el hecho de que multiplicar cualquier número por uno nos dará el número mismo (y nos desharemos de los paréntesis en el denominador de la fracción):

$\frac{\sqrt{16}\cdot(6^2-7\cdot3)\cdot2}{1\cdot(4^3-2\cdot3^3)} =\frac{\sqrt{16}\cdot2\cdot(6^2-7\cdot3)}{4^3-2\cdot3^3}$Aquí reorganizamos la expresión en el numerador de la fracción usando la propiedad distributiva mencionada anteriormente mientras mantenemos los paréntesis y los tratamos junto con la expresión dentro de ellos como una unidad,

Continuaremos y calcularemos el valor de la fracción que recibimos en el último paso encontrando los valores de las expresiones, y teniendo cuidado con el orden de las operaciones.

Comenzaremos calculando la expresión entre paréntesis en el numerador:

$\frac{\sqrt{16}\cdot2\cdot(6^2-7\cdot3)}{4^3-2\cdot3^3} =\frac{\sqrt{16}\cdot2\cdot(36-21)}{64-2\cdot27}= \frac{\sqrt{16}\cdot2\cdot15}{64-54} =\frac{\sqrt{16}\cdot2\cdot15}{10}$ Mientras simplificábamos la expresión entre paréntesis en el numerador de la fracción, simplificamos la expresión en el denominador de la fracción.

Continuaremos y terminaremos de reducir esta expresión encontrando el valor de la raíz en el numerador de la fracción, y luego realizando la operación de división de la fracción misma:

$\frac{\sqrt{16}\cdot2\cdot15}{10} =\frac{4\cdot2\cdot15}{10} =\frac{120}{10}=12$

Resumamos:

$\frac{\sqrt{16}\cdot(6^2-7\cdot3)}{(4^3-2\cdot3^3):2} = \frac{\sqrt{16}\cdot(6^2-7\cdot3)}{\textcolor{blue}{\big(\frac{4^3-2\cdot3^3}{2}\big)}} =\\ \frac{\sqrt{16}\cdot(6^2-7\cdot3)}{1}\cdot\textcolor{blue}{\frac{2}{4^3-2\cdot3^3} } = \frac{\sqrt{16}\cdot2\cdot(6^2-7\cdot3)}{4^3-2\cdot3^3} =12$

b. Continuaremos con la expresión de la derecha:

$\frac{\frac{9}{\sqrt{81}}-(1-\frac{2}{3})^2}{2^4:4^2}$ Similar a la expresión anterior, esta expresión también es desordenada, por lo tanto, la organizaremos primero. A diferencia de antes, aquí comenzaremos simplificando la expresión entre paréntesis en el numerador de la fracción, es decir, simplificando la expresión:

$1-\frac{2}{3}$ Realizaremos esta resta primero convirtiendo el 1 en una fracción y luego encontrando un denominador común.

Primero representaremos el número entero como ese mismo número dividido por 1 (lo cual siempre es posible y aconsejable hacer):

$1-\frac{2}{3} =\frac{1}{1}-\frac{2}{3}$ A partir de aquí podemos ver que el denominador común es el número 3. Así que convertiremos las fracciones a fracciones con denominador común y simplificaremos la expresión.

Recuerda que cuando restamos fracciones con el mismo denominador, restamos los numeradores y mantenemos el denominador:

$\frac{1}{1}-\frac{2}{3} =\frac{1\cdot3-2\cdot1}{3}=\frac{3-2}{3}=\frac{1}{3}$ En la primera etapa pusimos las dos fracciones en una línea de fracción con un denominador común como se describió anteriormente, y en la siguiente etapa simplificamos la expresión que obtuvimos.

Ahora volveremos a la expresión original y sustituiremos el resultado que obtuvimos por la expresión entre paréntesis:

$\frac{\frac{9}{\sqrt{81}}-(1-\frac{2}{3})^2}{2^4:4^2} = \frac{\frac{9}{\sqrt{81}}-(\frac{1}{3})^2}{2^4:4^2}$ Continuaremos y simplificaremos la expresión en el numerador de la fracción (la principal) teniendo en cuenta la ley de los exponentes con la misma base:

$\big(\frac{a}{c}\big)^n=\frac{a^n}{c^n}$ Aplicaremos esta ley de exponentes a la expresión en el numerador de la fracción principal, mientras simplificamos la segunda fracción en el numerador de la fracción principal calculando el valor de la raíz y simplificando la expresión:

$\frac{\frac{9}{\sqrt{81}}-(\frac{1}{3})^2}{2^4:4^2} = \frac{\frac{9}{9}-\frac{1^2}{3^2}}{2^4:4^2} =\\ \frac{1-\frac{1}{9}}{2^4:4^2}$

En la primera etapa aplicamos la ley de exponentes mencionada anteriormente que establece que para exponentes con la misma base aplicados a paréntesis que contienen una suma de términos, aplicamos el exponente por separado tanto al numerador como al denominador (de esa misma fracción).

Aplicamos la misma ley al segundo término en el numerador de la fracción principal, mientras simplificamos la primera expresión en el numerador de la fracción principal encontrando el valor de la raíz y simplificando la expresión (y recordamos que dividir cualquier número por sí mismo siempre dará como resultado 1),

Continuaremos tratando con la expresión en el numerador de la fracción principal:

Tenemos otra operación de resta entre un número entero y una fracción, la realizaremos por separado:

$1-\frac{1}{9}=\frac{1}{1}-\frac{1}{9}=\frac{1\cdot9-1\cdot1}{9}=\frac{9-1}{9}=\frac{8}{9}$ Repetimos lo descrito anteriormente: realizamos la operación de resta entre las dos fracciones después de encontrar el denominador común, el número 9, y simplificamos la expresión en el numerador,

Ahora volveremos a la expresión original y sustituiremos el resultado.

Resumamos lo que hemos hecho hasta ahora:

$\frac{\frac{9}{\sqrt{81}}-(1-\frac{2}{3})^2}{2^4:4^2} = \frac{\frac{9}{\sqrt{81}}-(\frac{1}{3})^2}{2^4:4^2} =\\ \frac{1-\frac{1}{9}}{2^4:4^2} =\frac{\big(\frac{8}{9}\big)}{2^4:4^2}$

Nuevamente, usamos paréntesis, esta vez en el numerador de la fracción para enfatizar la línea de fracción principal en la expresión.

Continuaremos y escribiremos la operación de división en el denominador de la fracción (la principal) como una fracción:

$\frac{\big(\frac{8}{9}\big)}{2^4:4^2} =\frac{\big(\frac{8}{9}\big)}{\big(\frac{2^4}{4^2}\big)}$Usamos paréntesis nuevamente, esta vez en el denominador de la fracción para enfatizar la línea de fracción principal en la expresión.

A continuación, aplicaremos nuevamente las leyes de los exponentes - primero reemplazaremos el número 4 con un exponente del número 2:

$4=2^2$Esto es para obtener expresiones con la misma base en la fracción que está en el denominador de la fracción principal, ahora trataremos la expresión que está en el denominador de la fracción principal por separado:

$\frac{2^4}{4^2}=\frac{2^4}{(2^2)^2}$

Trataremos esta expresión y recordaremos la ley de los exponentes:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$Aplicaremos esta ley al denominador de la fracción con la que estamos tratando:

$\frac{2^4}{(2^2)^2} =\frac{2^4}{2^{2\cdot2}}=\frac{2^4}{2^{4}} =1$ En la primera parte aplicamos la ley de los exponentes y en los siguientes pasos simplificamos la expresión que obtuvimos.

En el último paso era posible usar la ley de los exponentes para términos con la misma base y obtener el mismo resultado, pero aquí es más simple dividir.

Volveremos a la expresión original y resumiremos lo que obtuvimos, mientras sustituimos el resultado del último cálculo y simplificamos:

$\frac{\frac{9}{\sqrt{81}}-(1-\frac{2}{3})^2}{2^4:4^2} = \frac{\frac{9}{\sqrt{81}}-(\frac{1}{3})^2}{2^4:4^2} =\\ \frac{1-\frac{1}{9}}{2^4:4^2} =\frac{\big(\frac{8}{9}\big)}{2^4:4^2}= \frac{\big(\frac{8}{9}\big)}{\big(\frac{2^4}{4^2}\big)} =\\ \frac{\big(\frac{8}{9}\big)}{\big(\frac{2^4}{(2^2)^2}\big)} = \frac{\big(\frac{8}{9}\big)}{\big(\frac{2^4}{2^{4}} \big)}=\frac{\big(\frac{8}{9}\big)}{1 }=\frac{8}{9}$Ten en cuenta que dividir cualquier número por uno nos dará ese mismo número.

Ahora hemos terminado de tratar la expresión de la derecha, volveremos al problema original y sustituiremos los resultados de las expresiones de la izquierda y la derecha que se calcularon en a' y b' respectivamente:

$\frac{\sqrt{16}\cdot(6^2-7\cdot3)}{(4^3-2\cdot3^3):2}\text{ }_{\textcolor{red}{—}\text{ }}\frac{\frac{9}{\sqrt{81}}-(1-\frac{2}{3})^2}{2^4:4^2} \\ \downarrow\\ 12\text{ }_{\textcolor{red}{—}\text{ }}\frac{8}{9}$Para determinar qué expresión es mayor podemos presentar la expresión de la izquierda como una fracción con denominador 9, pero como aquí la expresión de la izquierda es claramente mayor que el número 1, mientras que la expresión de la derecha es menor que el número 1, podemos concluir que: 12>1>\frac{8}{9} Y por lo tanto es ciertamente cierto que:

12\text{ }{\textcolor{red}{>}\text{ }}\frac{8}{9} Es decir, la respuesta correcta es la respuesta b.

Vamos a tratar cada una de las expresiones, la de la izquierda y la de la derecha, por separado:

A. Comenzaremos con la expresión de la izquierda:

$\frac{3^2\cdot(8-2\cdot3)^3}{(5^2\cdot3-72)\cdot\sqrt{16}}$ Simplificaremos las expresiones en el numerador y denominador teniendo cuidado de seguir el orden de las operaciones.

Recuerda que resolvemos primero los paréntesis, luego los exponentes, después la multiplicación y división, y por último la suma y resta (cuando se trata de una fracción, la operación es en realidad el numerador de la fracción (entre paréntesis) dividido por el denominador de la fracción (entre paréntesis), así que los tratamos por separado mientras mantenemos la línea principal de la fracción:

Así, comenzaremos tratando el numerador de la fracción, donde primero simplificaremos lo que está entre paréntesis y luego lo elevaremos a la potencia que está fuera de los paréntesis, y finalmente los multiplicaremos:

$\frac{3^2\cdot(8-2\cdot3)^3}{(5^2\cdot3-72)\cdot\sqrt{16}} = \frac{3^2\cdot(8-6)^3}{(5^2\cdot3-72)\cdot\sqrt{16}}=\\ \frac{3^2\cdot2^3}{(5^2\cdot3-72)\cdot\sqrt{16}}= \frac{9\cdot8}{(5^2\cdot3-72)\cdot\sqrt{16}}$

Continuaremos de la misma manera- simplificando la expresión en el denominador de la fracción.

De nuevo, comenzaremos simplificando la expresión entre paréntesis y luego encontrando la raíz:

$\frac{9\cdot8}{(5^2\cdot3-72)\cdot\sqrt{16}} =\frac{9\cdot8}{(25\cdot3-72)\cdot\sqrt{16}} =\\ \frac{9\cdot8}{(75-72)\cdot\sqrt{16}} =\frac{9\cdot8}{3\cdot4}$

Ahora podemos hacer las multiplicaciones en el numerador y denominador y dividir entre los resultados. Observa que podemos reducir la fracción y esto es porque entre todos los términos tanto en el numerador como en su denominador hay un factor común y porque los términos en el numerador son factores de los términos en el denominador, en otras palabras - el número 8 se puede dividir por 4 y el número 9 se puede dividir por 3:

$\frac{\not{9}\cdot\not{8}}{\not{3}\cdot\not{4}}=3\cdot2=6$

Resumamos lo que hemos hecho hasta ahora:

$$$\frac{3^2\cdot(8-2\cdot3)^3}{(5^2\cdot3-72)\cdot\sqrt{16}} = \frac{9\cdot8}{(5^2\cdot3-72)\cdot\sqrt{16}} =\frac{9\cdot8}{3\cdot4} =6$ Y hemos terminado de tratar el término de la izquierda.

B. Continuemos y tratemos la expresión de la derecha:

$\frac{\frac{3}{2^3}-\big(1-\frac{1}{2}\big)^3}{1^4-0.5}$ Aquí notaremos que en el numerador hay una operación de resta dentro de paréntesis que están elevados a una potencia, y que toda la expresión en el numerador es en realidad una resta entre fracciones.

Por lo tanto, trataremos el numerador de la fracción por separado, es decir, simplificaremos la expresión:

$\frac{3}{2^3}-(1-\frac{1}{2})^3$ Comenzaremos calculando la resta entre paréntesis:

$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}=\frac{1\cdot2-1\cdot1}{2}=\\ \frac{2-1}{2}=\frac{1}{2}$

Realizamos la resta encontrando un denominador común (2) y convirtiendo cada una de las fracciones preguntando "¿Por cuánto multiplicamos el denominador actual para obtener el denominador común?" Luego simplificamos la expresión que se obtuvo en el denominador de la fracción.

Continuemos simplificando el numerador principal de la fracción, sustituiremos el resultado que obtuvimos en el último paso en la expresión que estamos tratando:

$\frac{3}{2^3}-\big(1-\frac{1}{2}\big)^3 = \frac{3}{2^3}-\big(\frac{1}{2}\big)^3$Ahora recordemos la ley de los exponentes para elevar paréntesis que contienen una suma de términos a una potencia:

$\big(\frac{a}{c}\big)^n=\frac{a^n}{c^n}$Aplicaremos esta ley de exponentes a la expresión que obtuvimos en la última etapa, al mismo tiempo encontraremos el valor de la expresión en el denominador de la fracción del primer término de la izquierda:

$\frac{3}{2^3}-\big(\frac{1}{2}\big)^3 =\frac{3}{8}-\frac{1^3}{2^3}=\frac{3}{8}-\frac{1}{8} =\\ \frac{3-1}{8}=\frac{2}{8}$Después de aplicar la ley de los exponentes restamos las fracciones. Aquí, como ambas fracciones involucradas ya tenían el mismo denominador (es el denominador común aquí) pudimos simplemente simplificar la expresión en el numerador de la fracción.

Resumamos entonces lo que hemos hecho hasta ahora al tratar el término de la derecha, obtuvimos que:

$\frac{\not{2}}{\not{8}} =\frac{1}{4}$

Continuemos con la expresión en el denominador de la fracción de la derecha:

$\frac{3}{2^3}-\big(1-\frac{1}{2}\big)^3 = \frac{3}{2^3}-\big(\frac{1}{2}\big)^3 =\\ \frac{3}{8}-\frac{1}{8} =\frac{3-1}{8}=\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ Es preferible aquí trabajar con fracciones simples (o números mixtos) y no fracciones decimales, así que representaremos el segundo término de la izquierda como una fracción simple, teniendo en cuenta la definición de una fracción decimal.$1^4-0.5$En el primer paso usamos nuestro entendimiento de las fracciones decimales para convertir cinco décimos a su forma fraccionaria, luego reducimos la fracción que obtuvimos.

Volvamos a la expresión en cuestión y sustituyamos la forma fraccionaria que calculamos arriba, recordemos que elevar el número 1 a cualquier potencia siempre dará como resultado 1:

$0.5=\frac{\not{5}}{\not{10}}=\frac{1}{2}$Aquí necesitamos hacer una resta entre un número entero y una fracción, un cálculo idéntico al cálculo ya realizado en esta solución en la etapa anterior (en B).

Resumamos entonces lo que hemos hecho hasta ahora al tratar el término de la derecha, refiriéndonos a las dos partes detalladas aquí en B, la parte que trata de simplificar el numerador y la parte que trata de simplificar el denominador, obtuvimos que:

$1^4-0.5 =1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$Donde usamos paréntesis para enfatizar la línea principal de la fracción,

Ten en cuenta que la división es en realidad una multiplicación por el número recíproco, y también que el recíproco de una fracción se obtiene intercambiando el numerador y el denominador, es decir:

$\frac{\frac{3}{2^3}-\big(1-\frac{1}{2}\big)^3}{1^4-0.5} = \frac{ \big(\frac{1}{4}\big)}{\big(\frac{1}{2}\big) }$ Reemplazamos la operación de división en la fracción con la multiplicación por la fracción recíproca que se detalló verbalmente antes, aplicaremos esto a la expresión que obtuvimos en la última etapa:

$\frac{\big(\frac{z}{w}\big)}{\big(\frac{x}{y}\big)}=\frac{z}{w}\cdot\frac{y}{x}$ A partir de aquí continuaremos como de costumbre y realizaremos la operación de multiplicación entre las fracciones, donde recordamos que al multiplicar entre fracciones multiplicamos numerador por numerador y denominador por denominador y mantenemos la línea de fracción original:

$\frac{\big(\frac{z}{w}\big)}{\textcolor{blue}{\big(\frac{x}{y}\big)}}=\frac{z}{w}\cdot\textcolor{blue}{\frac{y}{x}} \\ \downarrow\\ \frac{ \big(\frac{1}{4}\big)}{\textcolor{blue}{\big(\frac{1}{2}\big) }} =\frac{1}{4}\cdot \textcolor{blue}{\frac{2}{1} }$Reducimos la fracción que obtuvimos (dividiendo).

Resumamos entonces lo que hemos hecho hasta ahora al tratar el término de la derecha, obtuvimos que:

$\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{1} =\frac{1\cdot2}{4\cdot1}=\frac{\not{2}}{\not{4}}=\frac{1}{2}$Y hemos terminado de tratar el término de la derecha,

Ahora volvamos al problema original y sustituyamos los resultados de simplificar las expresiones de la izquierda y la derecha que se detallaron en A y B respectivamente:

$\frac{\frac{3}{2^3}-\big(1-\frac{1}{2}\big)^3}{1^4-0.5} = \frac{ \big(\frac{1}{4}\big)}{\big(\frac{1}{2}\big) } =\frac{1}{4}\cdot \frac{2}{1}=\frac{1}{2}$Para determinar qué expresión es mayor podemos representar la expresión de la izquierda como una fracción con denominador 2, esto expandiéndola, sin embargo, como aquí la expresión de la izquierda es claramente mayor que el número 1, mientras que la expresión de la derecha es menor que el número 1 (sabemos esto porque es una fracción con un numerador menor que el denominador) significa que:$\frac{3^2\cdot(8-2\cdot3)^3}{(5^2\cdot3-72)\cdot\sqrt{16}}\text{ }_{\textcolor{red}{—}\text{ }}\frac{\frac{3}{2^3}-\big(1-\frac{1}{2}\big)^3}{1^4-0.5} \\ \downarrow\\ 6\text{ }_{\textcolor{red}{—}\text{ }}\frac{1}{2}$Y por lo tanto es ciertamente cierto que:

6>1>\frac{1}{2} Lo que significa que la respuesta correcta es la respuesta B.