Potencias y raíces: Ejercicios con fracciones

$$Un concepto básico en este marco de operaciones matemáticas es que la multiplicación y división tienen prioridad sobre la suma y resta, y que las operaciones entre paréntesis tienen prioridad sobre todas ellas,

Debemos notar que cuando se menciona la palabra 'fracción' (cualquier fracción) se refiere a fracciones (en su totalidad) entre las cuales se realiza una operación de división, es decir, se puede tratar la fracción como el numerador y el denominador como fracciones en paréntesis, lo que nos permite simplificar la fracción dada y escribirla de la siguiente manera:

$\frac{(2^2-3)^{15}+4^2}{15+2}-\frac{3^2-2^2}{5}= \\ \downarrow\\ \big((2^2-3)^{15}+4^2\big):(15+2)-(3^2-2^2):5$Esto destaca que debemos tratar las fracciones que están en el numerador y las que están en el denominador por separado, como si estuvieran en paréntesis,

Volveremos a la fracción original en el problema, es decir, en la forma dada, y simplificaremos, simplificando por separado las fracciones diferentes que están en los numeradores y denominadores que causan el problema, y esto se hace siguiendo el orden de operaciones matemáticas mencionado y de manera ordenada,

Comenzaremos con el numerador de la primera fracción de izquierda a derecha en la fracción dada, debemos notar que en este numerador cambiará la fracción en paréntesis que afecta la multiplicación, por lo tanto, simplificaremos esta fracción, esto siguiendo el orden de operaciones matemáticas mencionado, debemos notar además que en esta fracción en paréntesis (que afecta la multiplicación por 15) existe un excedente, por lo tanto, comenzaremos a calcular el valor numérico de este excedente en la multiplicación y luego realizaremos la operación de resta que está en paréntesis:

$\frac{(2^2-3)^{15}+4^2}{15+2}-\frac{3^2-2^2}{5}= \\ \frac{(4-3)^{15}+4^2}{15+2}-\frac{3^2-2^2}{5}= \\ \frac{1^{15}+4^2}{15+2}-\frac{3^2-2^2}{5} \\$ Continuaremos con la simplificación de la fracción que recibimos en el paso anterior y simplificaremos los numeradores y denominadores que están en la fracción, esto se hace siguiendo el orden de operaciones matemáticas mencionado, por lo tanto, comenzaremos a calcular los valores numéricos de los excedentes en la multiplicación y luego realizaremos las operaciones de división y resta que están en paréntesis:

$\frac{1^{15}+4^2}{15+2}-\frac{3^2-2^2}{5}= \\ \frac{1+16}{17}-\frac{9-4}{5}= \\ \frac{17}{17}-\frac{5}{5}\\$ Continuaremos y simplificaremos la fracción que recibimos en el paso anterior, esto nuevamente, siguiendo el orden de operaciones matemáticas mencionado, por lo tanto, comenzaremos a realizar la operación de división de los denominadores, esto se hace manualmente, y luego realizaremos la operación de resta:

$\frac{17}{17}-\frac{5}{5}=\\ \frac{\not{17}}{\not{17}}-\frac{\not{5}}{\not{5}}=\\ 1-1=\\ 0$

Concluiremos si seguimos estos pasos de simplificación de la fracción dada, recibimos que:

$\frac{(2^2-3)^{15}+4^2}{15+2}-\frac{3^2-2^2}{5}= \\ \frac{1^{15}+4^2}{15+2}-\frac{3^2-2^2}{5} =\\ \frac{1+16}{17}-\frac{9-4}{5}= \\ 0$Por lo tanto, la respuesta correcta es la respuesta D.

Este concepto básico se llama la jerarquía de las operaciones matemáticas, que establece que la multiplicación y la división se realizan antes que la suma y la resta, y que las operaciones dentro de los paréntesis tienen prioridad sobre todas ellas,

Recordemos que la suma y la resta son operaciones inversas entre sí (cada una deshace a la otra) y que la multiplicación y la división son operaciones inversas entre sí (en su totalidad) que se realizan entre ellas la operación de división, es decir, podemos tratar la suma y la resta como fracciones que se suman o restan, de esta manera podemos simplificar la fracción dada y escribirla de la siguiente manera:

$\frac{(25-2-16)^2+3}{8+5}:\sqrt{9}= \\ \downarrow\\ \big((25-2-16)^2+3\big):(8+5):\sqrt{9}$Esto se hace para enfatizar que las fracciones que se suman o restan deben tratarse por separado, ya que realmente existen como fracciones,

Regresando al concepto original de la pregunta, es decir, en la forma dada, y simplificando por separado las fracciones que se suman o restan en la pregunta y las fracciones que se multiplican, esto se hace en conformidad con la jerarquía de las operaciones matemáticas mencionada anteriormente y de una manera ordenada,

Recordemos que en la fracción dada, las fracciones que se multiplican cambian la fracción en términos de su fortaleza, por lo tanto, comenzaremos simplificando esta fracción, ya que esta fracción incluye solo multiplicación y división, realizamos las operaciones en conformidad con la jerarquía de las operaciones matemáticas naturales, es decir, de izquierda a derecha, simplificando la fracción que se multiplica:

$\frac{(25-2-16)^2+3}{8+5}:\sqrt{9}=\\ \frac{7^2+3}{13}:\sqrt{9}\\$Continuaremos y simplificaremos la fracción que recibimos en el paso anterior, es decir, primero realizaremos la operación de división del divisor, esto se hace mediante simplificación, y luego realizaremos la operación de división restante:

$\frac{7^2+3}{13}:\sqrt{9}=\\ \frac{49+3}{13}:3=\\ \frac{52}{13}:3\\$En el primer paso, dado que el resultado de la operación de división puede ser una fracción impropia (mayor que un entero, dado que el divisor es mayor que el dividendo) lo anotamos como una fracción mixta (donde el entero es mayor que el denominador),

Resumiremos los pasos de simplificación de la fracción dada, hemos encontrado que:

$\frac{\not{52}}{\not{13}}:3=\\ 4:3=\\ \frac{4}{3}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la respuesta B.

Nota:

Recordemos que en el conjunto de los últimos pasos de la solución al problema, podemos comenzar a anotar el divisor y la operación de división que se realiza sobre él incluso sin el divisor, pero mediante la operación de división:

$\frac{(25-2-16)^2+3}{8+5}:\sqrt{9}=\\ \frac{7^2+3}{13}:\sqrt{9}=\\ \frac{52}{13}:3=\\ \frac{4}{3}$Y continuando comenzaremos a calcular la operación de división en el divisor y solo después de hacerlo en el número 3, enfatizamos que en general simplificamos esta fracción en conformidad con la jerarquía de las operaciones matemáticas naturales, es decir, realizamos las operaciones una tras otra de izquierda a derecha, y esto significa que no hay prioridad para una operación de división en la fracción dada más allá de lo que está determinado por la jerarquía de las operaciones matemáticas naturales, es decir, de izquierda a derecha, (Recordemos además que la jerarquía de las operaciones matemáticas mencionada al principio del problema, que establece que la multiplicación y la división se realizan antes que la suma y la resta, y que las operaciones dentro de los paréntesis tienen prioridad sobre todas ellas, no define una prioridad incluso entre la multiplicación y la división, y por lo tanto el orden entre estas dos operaciones, en diferentes contextos, es diferente, se considera de izquierda a derecha).

Antes de resolver el ejercicio, comencemos por simplificar la potencia y la raíz:

$7^2=7\times7=49$

$\sqrt{36}=\sqrt{6^2}=6$

Ahora, ordenamos el ejercicio en consecuencia:

$\frac{49-6:6}{3+3}\times(5+2)=$

Según las reglas del orden de las operaciones aritméticas, los paréntesis se resuelven primero:

$\frac{49-6:6}{3+3}\times(7)=$

Ahora nos enfocamos en la fracción, comenzamos con el ejercicio de división en el numerador, luego sumamos y restamos según corresponda:

$\frac{49-1}{3+3}\times(7)=\frac{48}{6}\times(7)=$

Resolvemos el ejercicio de izquierda a derecha, primero el ejercicio de división y finalmente multiplicamos:

$8\times7=56$

Este concepto básico es el orden de las operaciones que indica que la multiplicación y división se realizan antes que la suma y resta, y que las operaciones dentro de los paréntesis tienen prioridad sobre todas,

recordemos que el numerador es el número que se rompe (cada parte) y el denominador es el número completo (en su totalidad) entre los cuales se realiza una operación de división, es decir, se puede relacionar el numerador y el denominador de la fracción como fracciones equivalentes, por lo que podemos simplificar la fracción dada y escribirla de la siguiente manera:

$\big((3-2+4)^2-2^2\big):\frac{\sqrt{9}\cdot7}{3}= \\ \downarrow\\ \big((25-2-16)^2+3\big):\big((\sqrt{9}\cdot7):\sqrt{3} \big)$Esto enfatiza que debemos tratar las fracciones que están en el numerador y en el denominador por separado, como si estuvieran en fracciones separadas,

recordemos además que la operación de división entre las fracciones de la fracción indica que los valores en el numerador (es decir, la fracción en su totalidad, es el resultado de la división entre el numerador y el denominador) y por lo tanto en la fracción dada para formar una división que hemos señalado para el ejemplo, la fracción resultante en las fracciones adicionales,

Regresamos entonces a la fracción original, es decir, en su forma dada, y procedemos simplemente,

Comenzaremos y simplificaremos la fracción que está en el numerador (es decir, en el numerador de la fracción que estamos simplificando), esto se hace siguiendo el orden de las operaciones mencionado anteriormente, por lo tanto, comenzaremos calculando el valor numérico del divisor que tiene prioridad (esto mientras recordamos que al seguir la definición de la raíz cuadrada como una operación fuerte, la raíz cuadrada es fuerte en todo) y luego realizaremos la multiplicación que está en el numerador, en contraste recordemos que dentro de las fracciones que se mencionan, esos valores se dividen en la fracción dada, se convierten en fracciones en las fracciones superiores en fuerza, por lo tanto, también simplificaremos esta fracción, esto siguiendo el orden de las operaciones mencionado:

$\big((3-2+4)^2-2^2\big):\frac{\sqrt{9}\cdot7}{3}= \\ \big(5^2-2^2\big):\frac{3\cdot7}{3}= \\ \big(5^2-2^2\big):\frac{21}{3}\\$Continuaremos y simplificaremos la fracción que recibimos en el paso anterior, continuaremos simplemente la fracción encontrada dentro de las fracciones que se dividen en la fracción, son las fracciones que se mencionan, recordemos que la multiplicación tiene prioridad sobre la suma y la resta, por lo tanto, comenzaremos calculando sus valores numéricos que tienen prioridad en esas fracciones y luego realizaremos la operación de resta, en el siguiente paso realizaremos la operación de división de la fracción (y no la operación de división en la fracción), y en el último paso realizaremos la operación de división restante:

$\big(5^2-2^2\big):\frac{21}{3}=\\ \big(25-4\big):\frac{21}{3}=\\ 21:\frac{21}{3}=\\ 21:\frac{\not{21}}{\not{3}}=\\ 21:7=\\ 3$recordemos que hemos adelantado la operación de división de la fracción a la operación de división en la fracción misma, y esto significa que el número 21 en la fracción dada se divide en su valor numérico de toda la fracción (en su totalidad)- que es el resultado de la operación de división del numerador en el denominador, por lo tanto, era necesario completar primero el cálculo de su valor numérico de la fracción y solo luego dividir el número 21 en este valor,

Concluiremos entonces con los pasos de simplificación de la fracción dada:
$\big((3-2+4)^2-2^2\big):\frac{\sqrt{9}\cdot7}{3}= \\ \big(5^2-2^2\big):\frac{21}{3}=\\ 21:7=\\ 3$Por lo tanto, la respuesta correcta es la respuesta D.