Potencia de fracción: Uso de múltiples reglas

Este problema se puede resolver utilizando las propiedades de potencias para una potencia negativa, potencia sobre una potencia y la propiedad de potencias para el producto entre términos con bases idénticas, que es la forma natural de la solución,

Pero aquí preferimos resolver de otra manera que es un poco más rápido:

A tal efecto, la ley de potencia por potencia se aplica a los paréntesis en los que se multiplican los términos, pero en sentido contrario:

$x^n\cdot y^n=(x\cdot y)^n$ Dado que en la expresión en el problema existe una multiplicación entre dos términos con potencias idénticas, se puede utilizar esta ley en su sentido contrario, por lo que aplicaremos esta propiedad al problema:

$5^4\cdot(\frac{1}{5})^4=\big(5\cdot\frac{1}{5}\big)^4$ Dado que la multiplicación en el problema dado es entre términos con la misma potencia, podríamos aplicar esta ley en la dirección opuesta y escribir la expresión como la multiplicación de las bases de los términos entre paréntesis a los que se aplica la misma potencia.

Continuaremos y simplificaremos la expresión entre paréntesis, lo haremos rápidamente si notamos que entre paréntesis hay una multiplicación entre dos números opuestos, entonces su producto dará el resultado: 1, aplicaremos este entendimiento a la expresión que llegamos en el último paso:

$\big(5\cdot\frac{1}{5}\big)^4 = 1^4=1$ Cuando en el primer paso aplicamos el entendimiento anterior, y luego usamos el hecho de que elevar el número 1 a cualquier potencia siempre dará el resultado: 1, lo que significa que:

$1^x=1$ Resumiendo los pasos para resolver el problema, obtenemos que:

$5^4\cdot(\frac{1}{5})^4=\big(5\cdot\frac{1}{5}\big)^4 =1$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción b.

Primero usamos dos propiedades de potenciación:

a. Propiedad de potenciación de un exponente negativo:

$$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$b. Propiedad de potenciación de un exponente elevado a otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$Nos ocupamos del término medio en la multiplicación del numerador de la fracción del problema:

$\frac{2^{-4}\cdot(\frac{1}{2})^8\cdot2^{10}}{2^3}=\frac{2^{-4}\cdot(2^{-1})^8\cdot2^{10}}{2^3}=\frac{2^{-4}\cdot2^{-1\cdot8}\cdot2^{10}}{2^3}=\frac{2^{-4}\cdot2^{-8}\cdot2^{10}}{2^3}$Mientras, en la primera etapa aplicamos la propiedad de potenciación negativa especificada en A al término dentro de los paréntesis del término medio en el numerador de la fracción, en la segunda etapa aplicamos la propiedad de potenciación especificada en B a este término, posteriormente simplificamos la expresión en el exponente,

Continuamos y recordamos la propiedad de potenciación para multiplicar términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$Aplicamos esta propiedad en el numerador de la fracción que obtuvimos en el último paso:

$\frac{2^{-4}\cdot2^{-8}\cdot2^{10}}{2^3}=\frac{2^{-4+(-8)+10}}{2^3}=\frac{2^{-4-8+10}}{2^3}=\frac{2^{-2}}{2^3}$Recordemos ahora la propiedad de potenciación para dividir términos de bases idénticas:

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$Aplicamos esta propiedad en la expresión que obtuvimos en el último paso:

$\frac{2^{-2}}{2^3}=2^{-2-3}=2^{-5}$Resumimos los pasos de resolución hasta aquí, obteniendo que:

$\frac{2^{-4}\cdot(\frac{1}{2})^8\cdot2^{10}}{2^3}=\frac{2^{-4}\cdot2^{-8}\cdot2^{10}}{2^3} =\frac{2^{-2}}{2^3}=2^{-5}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B.

Comencemos enfatizando que este problema requiere un enfoque diferente para aplicar las leyes de los exponentes y no es tan sencillo como muchos otros problemas resueltos hasta ahora. Debemos notar que es en realidad una expresión muy simplificada, sin embargo, para entender cuál de las respuestas es correcta, presentémosla de una manera ligeramente diferente,

Recordemos dos de las leyes de los exponentes:

a. La ley de exponentes elevados a un exponente, pero en la dirección opuesta:

$a^{m\cdot n} = (a^m)^n$b. La ley de exponentes aplicada a fracciones, pero en la dirección opuesta:

$\frac{a^n}{c^n} = \big(\frac{a}{c}\big)^n$

Trabajaremos en los dos términos del problema por separado, comenzando con el primer término de la izquierda:

$\frac{z^{8n}}{m^{4t}}$

Nota que tanto en el numerador como en el denominador, el número que se nos da en los exponentes es un múltiplo de 4. Por lo tanto, usando la primera ley de exponentes (en la dirección opuesta) mencionada anteriormente en a', podemos representar tanto el término en el numerador como el término en el denominador como términos con un exponente de 4:

$\frac{z^{8n}}{m^{4t}}=\frac{z^{2n\cdot4}}{m^{t\cdot4}}=\frac{(z^{2n})^4}{(m^t)^4}$

Primero vemos los exponentes como un múltiplo de 4, y luego aplicamos la ley de exponentes mencionada en a', al numerador y denominador.

A continuación, notaremos que tanto el numerador como el denominador tienen el mismo exponente, y por lo tanto podemos usar la segunda ley de exponentes mencionada en b', en la dirección opuesta:

$\frac{(z^{2n})^4}{(m^t)^4} =\big(\frac{z^{2n}}{m^t}\big)^4$

Pudimos usar la segunda ley de exponentes en su dirección opuesta porque los términos en el numerador y denominador de la fracción tienen el mismo exponente.

Resumamos la solución hasta ahora. Obtuvimos que:

$\frac{z^{8n}}{m^{4t}}=\frac{(z^{2n})^4}{(m^t)^4}=\big(\frac{z^{2n}}{m^t}\big)^4$

Ahora detengámonos aquí y echemos un vistazo a las respuestas dadas:

Nota que existen términos similares en todas las respuestas, sin embargo, en la respuesta a' el exponente (en este caso su numerador y denominador son opuestos a la expresión que obtuvimos en la última etapa) es completamente diferente del exponente en la expresión que obtuvimos (es decir, ni siquiera tiene el signo opuesto al exponente en la expresión que obtuvimos).

Además, está el coeficiente 4 que no existe en nuestra expresión, por lo tanto descalificaremos esta respuesta,

Ahora refiramos a la respuesta propuesta d' donde solo existe el primer término de la multiplicación en el problema dado y está claro que no hay información en el problema que pudiera llevar a que el valor del segundo término en la multiplicación sea 1, así que descalificaremos esta respuesta también,

Si es así, nos quedamos con las respuestas b' o c', pero el primer término:

$(\frac{m^t}{z^{2n}})^{-4}$en ellas, es similar pero no idéntico, al término que obtuvimos en la última etapa:

$\big(\frac{z^{2n}}{m^t}\big)^4$La clara diferencia entre ellos está en el exponente, que en la expresión que obtuvimos es positivo y en las respuestas b' y c' es negativo,

Esto nos recuerda la ley de exponentes negativos:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

Antes de volver a resolver el problema entendamos esta ley de una manera ligeramente diferente, indirecta:

Si nos referimos a esta ley como una ecuación (y de hecho es una ecuación para todos los efectos), y multiplicamos ambos lados de la ecuación por el denominador común que es:

$a^n$obtendremos:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}\\ \frac{a^n}{1} =\frac{1}{a^n}\hspace{8pt} \text{/}\cdot a^n\\ a^n\cdot a^{-n}=1$

Aquí recordamos que cualquier número puede convertirse en una fracción escribiéndolo como sí mismo dividido por 1, aplicamos esto al lado izquierdo de la ecuación, luego multiplicamos por el denominador común y para saber por cuánto multiplicamos cada numerador (después de encontrar el denominador común) nos preguntamos "¿por cuánto multiplicamos el denominador actual para obtener el denominador común?".

Veamos el resultado que obtuvimos:

$a^n\cdot a^{-n}=1$lo que significa que $a^n,\hspace{4pt}a^{-n}$son números recíprocos entre sí, o en otras palabras:

$a^n$es recíproco de $a^{-n}$(y viceversa).

Podemos aplicar esta comprensión al problema si también recordamos que el número recíproco de una fracción es el número obtenido al intercambiar el numerador y el denominador, lo que significa que las fracciones:

$\frac{a}{b},\hspace{4pt}\frac{b}{a}$

son fracciones recíprocas entre sí- lo que tiene sentido, ya que multiplicarlas nos dará 1.

Y si combinamos esto con la comprensión anterior, podemos concluir que:

$\big(\frac{a}{b}\big)^{-1}=\frac{b}{a}$

lo que significa que elevar una fracción a la potencia de menos uno dará un resultado que es la fracción recíproca, obtenida al intercambiar el numerador y el denominador.

Volvamos al problema y apliquemos estos entendimientos. Primero revisaremos brevemente lo que ya hemos hecho:

Tratamos el primer término de la izquierda del problema:

$\frac{z^{8n}}{m^{4t}}\cdot c^z=\text{?}$y después de tratarlo usando las leyes de exponentes obtuvimos que puede ser representado como:

$\frac{z^{8n}}{m^{4t}}=\frac{(z^{2n})^4}{(m^t)^4}=\big(\frac{z^{2n}}{m^t}\big)^4$

Luego después de descalificar las respuestas a' y d' por las razones mencionadas anteriormente, queríamos mostrar que el término que obtuvimos en la última etapa:

$\big(\frac{z^{2n}}{m^t}\big)^4$es idéntico al primer término en la multiplicación de términos en las respuestas b' -c':

$(\frac{m^t}{z^{2n}})^{-4}$Ahora después de que entendimos que elevar una fracción a la potencia de $-1$intercambiará entre el numerador y el denominador, lo que significa que:

$\big(\frac{a}{b}\big)^{-1}=\frac{b}{a}$podemos volver a la expresión que obtuvimos para el primer término en la multiplicación , y presentarla como un término con un exponente negativo y en el denominador de la fracción:

$\big(\frac{z^{2n}}{m^t}\big)^4 = \big(\big(\frac{m^t }{z^{2n}}\big)^{-1}\big)^4 = \big(\frac{m^t }{z^{2n}}\big)^{-1\cdot4}=\big(\frac{m^t }{z^{2n}}\big)^{-4}$

Aplicamos el entendimiento mencionado anteriormente dentro de los paréntesis y presentamos la fracción como la fracción recíproca a la potencia de $-1$y en la siguiente etapa aplicamos la ley de exponentes elevados a un exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$a la expresión que obtuvimos, luego simplificamos la expresión en el exponente,

Si es así, probamos que la expresión que obtuvimos en el último paso (la primera expresión en el problema) es idéntica a la primera expresión en la multiplicación en las respuestas b' y c',

Continuaremos entonces y nos enfocaremos en elegir entre estas opciones para el segundo término del problema.

El segundo término en la multiplicación en el problema es:

$c^z$

$$Volvamos a las respuestas propuestas b' y c' (que aún no han sido descalificadas) y notemos que en realidad solo el segundo término en la multiplicación en la respuesta b' es similar a este término (y no en la respuesta c'), excepto que está en el denominador y tiene un exponente negativo mientras que en nuestro caso (el término en el problema) está en el numerador (ver nota al final de la solución) y tiene un exponente positivo.

Esto nos recordará nuevamente la ley de exponentes negativos, lo que significa que querremos presentar el término en el problema con el que estamos tratando actualmente, como teniendo un exponente negativo y en el denominador, lo haremos de la siguiente manera:

$c^z=c^{-(\underline{-z})}=\frac{1}{c^{\underline{-z}}}$$$

Aquí presentamos el término en cuestión como teniendo un exponente negativo, usando las leyes de multiplicación, y luego aplicamos la ley de exponentes negativos:

$a^{-\underline{n}}=\frac{1}{a^-\underline{n}}$

Cuidadosamente - porque la expresión con la que estamos tratando ahora tiene un signo negativo (indicado por un subrayado, tanto en la ley de exponentes aquí como en el último cálculo realizado)

Resumamos:

$\frac{z^{8n}}{m^{4t}}\cdot c^z=\big(\frac{z^{2n}}{m^t}\big)^4\cdot c^z=\big(\frac{m^t }{z^{2n}}\big)^{-4}\cdot\frac{1}{c^{-z}}$Y por lo tanto la respuesta correcta es la respuesta b'.

Nota:

Cuando vemos "el número en el numerador" cuando no hay fracción, es porque siempre podemos referirnos a cualquier número como un número en el numerador de una fracción si recordamos que cualquier número dividido por 1 es igual a sí mismo, es decir, siempre podemos escribir un número como una fracción escribiéndolo así:

$X=\frac{X}{1}$y por lo tanto podemos referirnos a $X$como un número en el numerador de una fracción.

Abordamos el problema

$\big( \big(\frac{1}{5} \big)^2 \big)^?:5=125$ como una ecuación para todo (y por supuesto es de hecho una ecuación),

Por lo tanto, reemplazamos el signo del problema en la incógnita x y la resolvemos:

$\big( \big(\frac{1}{5} \big)^2 \big)^x:5=125$ Más adelante recordaremos que dividir por un determinado número es multiplicar por su inverso, por lo que reescribiremos la ecuación dada teniendo esto en cuenta:

$\big( \big(\frac{1}{5} \big)^2 \big)^x\cdot \frac{1}{5}=125$

Ahora discutimos brevemente la técnica de solución:

De manera bastante general, el objetivo al resolver ecuaciones exponenciales es lograr llegar a una situación en la que haya un término en cada uno de los dos lados de la ecuación para que ambos lados tengan la misma base, en tal situación podemos afirmar inequívocamente que los exponentes de potencia en ambos lados de la ecuación son iguales, y resolver una ecuación simple para la incógnita,

De forma matemática, realizaremos una manipulación matemática (según las leyes por supuesto) en ambos lados de la ecuación (o desarrollo de uno de los lados con la ayuda de propiedades de potencia y álgebra) y llegaremos a la siguiente situación:

$b^{m(x)}=b^{n(x)}$cuando $m(x),\hspace{4pt}n(x)$ Expresiones algebraicas (en realidad funciones de la incógnita $x$) que también puede excluir a las incógnitas ($x$) que tratamos de encontrar en el problema, que es la solución a la ecuación,

A continuación se afirma que:

$m(x)=n(x)$ y resolvemos la ecuación simple que obtenemos,

Volvemos a resolver la ecuación en el problema dado:

$\big( \big(\frac{1}{5} \big)^2 \big)^x\cdot \frac{1}{5}=125$ En la solución de esta ecuación se utilizan varias propiedades de potencias:

a. Propiedad de potencias con exponente negativo:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$b. Propiedad de potencias para una potencia de un exponente elevado a otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$

Primero llegaremos a una presentación simple de los términos de la ecuación, es decir, "eliminamos" fracciones y raíces (si hay alguna en el problema, no hay ninguna aquí)

Para hacer esto, comenzaremos tratando con la fracción en el lado izquierdo de la ecuación:

$\frac{1}{5}$Es decir, tanto la fracción dentro del paréntesis como la fracción fuera del paréntesis, esto se hace con la ayuda de la propiedad de potencias con exponente negativo especificada en A arriba y representamos esta fracción como un término con potencia negativa y en el siguiente paso aplicaremos la propiedad de potencias para una potencia de un exponente elevado a otro exponente especificada en B arriba y nos desharemos de los paréntesis, otro paso comenzando desde el paréntesis interno hacia el externo, haremos esto, paso a paso por continuación:

$\big( \big(\frac{1}{5} \big)^2 \big)^x\cdot \frac{1}{5}=125 \\ \big( (5^{-1})^2 \big)^x\cdot 5^{-1}=125 \\ (5^{(-1)\cdot 2} )^x\cdot 5^{-1}=125 \\ 5^{(-1)\cdot 2\cdot x} \cdot 5^{-1}=125 \\ 5^{-2x} \cdot 5^{-1}=125 \\$Cuando llevamos a cabo el desarrollo del lado izquierdo de la ecuación como se describió anteriormente, inicialmente aplicamos la propiedad de potencias con exponente negativo que se mencionó anteriormente en A y en los siguientes pasos aplicamos la propiedad de potencias para una potencia de un exponente elevado a otro exponente mencionado anteriormente en B y nos deshicimos de los paréntesis: comenzando desde el paréntesis interno hasta el externo, en el último paso simplificamos la expresión en el exponente de potencia en el lado izquierdo de la ecuación,

c. Más adelante recordamos la propiedad de potencias para multiplicar términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$Y aplicaremos esta ley al lado izquierdo de la ecuación que obtuvimos en el último paso, esto es para tener un término en este lado, haremos esto:

$5^{-2x} \cdot 5^{-1}=125 \\ 5^{-2x+(-1)}=125 \\ 5^{-2x-1}=125 \\$Cuando en el primer paso aplicamos la ley de potencias antes mencionada al producto entre miembros con bases idénticas mencionado anteriormente en C y en los siguientes pasos simplificamos la expresión en el exponente de potencia del lado izquierdo,

A continuación, nos gustaría obtener la misma base en ambos lados de la ecuación, la mejor manera de conseguirlo es descomponiendo todos y cada uno de los números del problema en factores primos (utilizando potencias también), notarán que el número 125 es una potencia del número 5, es decir:

$125=5^3$ Esta es la presentación (factorización) del número 125 utilizando su factor primo, que es el número 5, por lo que volvemos a la ecuación que recibimos en el paso anterior y reemplazamos este número por su descomposición en factores primos:

$5^{-2x-1}=125 \\ 5^{-2x-1}=5^3 \\$Hemos alcanzado nuestro objetivo, hemos recibido una ecuación en la que ambos lados tienen términos con la misma base, por lo tanto podemos afirmar que los exponentes de potencia de los términos en ambos lados son iguales, y para resolver la ecuación resultante para la incógnita, realizaremos esto:

$5^{-2x-1}=5^3 \\ \\ \downarrow\\ -2x-1=3$ Continuaremos y resolveremos la ecuación resultante, lo haremos mediante el aislamiento de la incógnita en el lado izquierdo, lo lograremos de la manera habitual, moviendo las secciones y dividiendo la ecuación final por el coeficiente de incógnita:

$-2x-1=3 \\ -2x=3+1\\ -2x=4 \hspace{8pt}\text{/:}(-2) \\ \frac{\not{-2}x}{\not{-2}}=\frac{4}{-2}\\ x=-\frac{4}{2}\\ \bm{x=-2 }$ Cuando en el primer paso simplificamos la ecuación moviendo los lados, recordando que cuando un término se mueve su signo cambia, luego completamos el aislamiento anulando dividiendo ambos lados de la ecuación por su coeficiente, en los últimos pasos, simplificamos la expresión obtenida al reducir las fracciones,

Hemos resuelto así la ecuación dada, resumimos brevemente los pasos de la solución:

$\big( \big(\frac{1}{5} \big)^2 \big)^x\cdot \frac{1}{5}=125 \\ \big( (5^{-1})^2 \big)^x\cdot 5^{-1}=125 \\ 5^{-2x} \cdot 5^{-1}=125 \\ 5^{-2x-1}=5^3 \\ \downarrow\\ -2x-1=3 \\ -2x=4 \hspace{8pt}\text{/:}(-2) \\ \bm{x=-2 }$ Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción a.