Aplicación de reglas de exponentes combinados: Variables en el exponente de la potencia

$2^{2x+1}\cdot2^5\cdot2^{3x}=$

Como las bases son iguales, se pueden sumar los exponentes:

$2x+1+5+3x=5x+6$

$2^{5x+6}$

$(4^x)^y=$

Mediante la ley de potencias de un exponente elevado a otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$Lo aplicamos en el problema:

$(4^x)^y=4^{xy}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción a.

$4^{xy}$

Resuelva el ejercicio

$\frac{a^{3b}}{a^{2b}}\times a^b=$

Primero nos ocupamos del primer término de la multiplicación, tengamos en cuenta que los términos del numerador y del denominador tienen bases idénticas, por lo tanto usamos la propiedad de potenciación para dividir entre términos con la misma base:

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$Aplicamos el primer término de la expresión:

$\frac{a^{3b}}{a^{2b}}\cdot a^b=a^{3b-2b}\cdot a^b=a^b\cdot a^b$Cuando simplificamos adicionalmente la expresión que obtuvimos como resultado de la operación de resta en el exponente del primer término,

Posteriormente, tengamos en cuenta que los dos términos de la multiplicación tienen la misma base, por lo tanto usamos la propiedad de potenciación para la multiplicación entre términos con las mismas bases:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$Aplicamos esto al problema:

$a^b\cdot a^b=a^{b+b}=a^{2b}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.

$a^{2b}$

$((4x)^{3y})^2=$

Usamos la propiedad de potenciación de un exponente elevado a otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$Aplicamos esta propiedad en la expresión del problema:

$((4x)^{3y})^2= (4x)^{3y\cdot2}=(4x)^{6y}$Cuando en el primer paso aplicamos la propiedad de potenciación antes mencionada y nos deshicimos del paréntesis exterior, en el siguiente paso simplificamos la expresión resultante,

A continuación, recordamos la propiedad de potenciación para una potencia que se aplica a los paréntesis en los que se multiplican términos:

$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$Aplicamos esta propiedad en la expresión que obtuvimos en el último paso:

$(4x)^{6y} =4^{6y}\cdot x^{6y}$Cuando aplicamos la potencia que se aplica a los paréntesis para cada uno de los términos de la multiplicación dentro del paréntesis.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción D.

$4^{6y}\cdot x^{6y}$

Resuelva el siguiente ejercicio:

$(5\cdot12\cdot4\cdot6)^{a+3bx}$

Utiliza la propiedad de potencias para una potencia en un paréntesis donde en el mismo existe una multiplicación de sus términos:

$(x\cdot y)^n=x^n\cdot y^n$Aplicamos esta ley a la expresión del problema:

$(5\cdot12\cdot4\cdot6)^{a+3bx}=5^{a+3bx}12^{a+3bx}4^{a+3bx}6^{a+3bx}$Cuando aplicamos una potencia para un paréntesis donde se multiplican sus términos retención lo realizamos por separado y mantenemos la multiplicación.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción d.

$5^{a+3bx}12^{a+3bx}4^{a+3bx}6^{a+3bx}$

$(2\cdot4\cdot8)^{a+3}=$

Utiliza la propiedad de potencias para un exponente que se aplica a los paréntesis en los que se multiplican los términos:

$(x\cdot y)^n=x^n\cdot y^n$Aplicamos esta propiedad a la expresión del problema:

$(2\cdot4\cdot8)^{a+3}= 2^{a+3}4^{a+3}8^{a+3}$Cuando aplicamos la potencia entre paréntesis a cada uno de los términos del producto dentro del paréntesis por separado y mantenemos la multiplicación.

La respuesta correcta es la opción d.

$2^{a+3}4^{a+3}8^{a+3}$

Resuelva el siguiente ejercicio:

$(4\times9\times11)^a$

Utilizamos la ley de potencias para una multiplicación entre paréntesis:

$(z\cdot t)^n=z^n\cdot t^n$Es decir, una potencia en una multiplicación entre paréntesis se aplica a cada término cuando se abren los paréntesis,

Lo aplicamos en el problema:

$(4\cdot9\cdot11)^a=4^a\cdot9^a\cdot11^a$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción b.

Nota:

De la fórmula de la propiedad de potencias mencionada en la solución anterior, se puede entender que se refiere solo a dos términos de la multiplicación entre paréntesis, pero de hecho también es válida para la potencia sobre una multiplicación entre muchos términos en paréntesis. Como por ejemplo lo que se realizó en este problema y en otros problemas.

Un buen ejercicio es demostrar que si la ley anterior es válida para una potencia sobre una multiplicación entre dos términos entre paréntesis (como está formulada anteriormente), entonces también es válida para una potencia sobre varios términos de la multiplicación entre paréntesis (por ejemplo - tres términos, etc.).

$4^a9^a11^a$

$((3^9)^{4x)^{5y}}=$

Utilizamos la propiedad de potencias para un exponente elevado a otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$Aplicamos esta ley a la expresión del problema:

$((3^9)^{4x})^{5y}= (3^9)^{4x\cdot 5y} =3^{9\cdot4x\cdot 5y}=3^{180xy}$Cuando en el primer paso aplicamos la propiedad de potencias mencionada anteriormente y nos deshicimos de los paréntesis exteriores, en el siguiente paso aplicamos nuevamente la propiedad de potencias en cuestión y nos deshicimos de los paréntesis restantes, en el siguiente paso simplificamos la expresión resultante.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción b.

$3^{180xy}$

$((14^{3x})^{2y})^{5a}=$

Utilizando la propiedad de potencias de un exponente elevado a otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$Aplicamos la ley en la expresión del problema:

$((14^{3x})^{2y})^{5a}=(14^{3x})^{2y\cdot5a}=14^{3x\cdot2y\cdot5a}=14^{30xya}$Cuando en el primer paso aplicamos la propiedad de potencias antes mencionada y nos deshicimos de los paréntesis exteriores, en el siguiente paso aplicamos nuevamente la propiedad de potencias en cuestión y nos deshicimos de los paréntesis restantes, en el siguiente paso simplificamos la expresión resultante ,

Por lo tanto, del uso de la propiedad sustitutiva en la multiplicación (que se aplica en el exponente de la potencia en la expresión obtenida) se puede concluir que la respuesta correcta es la respuesta D.

$14^{30axy}$

$4^{2y}\cdot4^{-5}\cdot4^{-y}\cdot4^6=$

Usamos la propiedad de potencias para multiplicar términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$Aplicamos la propiedad para este problema:

$4^{2y}\cdot4^{-5}\cdot4^{-y}\cdot4^6= 4^{2y+(-5)+(-y)+6}=4^{2y-5-y+6}$Completamos la simplificación de la expresión que recibimos en el último paso:

$4^{2y-5-y+6} =4^{y+1}$Cuando agregamos términos similares en el exponente.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción c.

$4^{y+1}$

$7^{2x+1}\cdot7^{-1}\cdot7^x=$

Usamos la propiedad de potencias para multiplicar términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$Aplicamos la propiedad para este problema:

$7^{2x+1}\cdot7^{-1}\cdot7^x=7^{2x+1+(-1)+x}=7^{2x+1-1+x}$Completamos la simplificación de la expresión que recibimos en el último paso:

$7^{2x+1-1+x}=7^{3x}$Cuando agregamos términos similares en el exponente.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción d.

$7^{3x}$

$3^x\cdot2^x\cdot3^{2x}=$

En este caso tenemos 2 bases diferentes, por lo que sumaremos lo que se puede sumar, es decir, los exponentes de $3$

$3^x\cdot2^x\cdot3^{2x}=2^x\cdot3^{3x}$

$3^{3x}\cdot2^x$

Simplifica la siguiente expresión:

$(2\cdot3\cdot7\cdot9)^{ab+3}$

Utiliza la propiedad de potencias que se aplica a los paréntesis en los que se multiplican los términos:

$(x\cdot y)^n=x^n\cdot y^n$Aplicamos es propiedad para la expresión del problema:

$(2\cdot3\cdot7\cdot9)^{ab+3} =2^{ab+3}3^{ab+3}7^{ab+3}9^{ab+3}$Cuando aplicamos la potencia entre paréntesis a cada uno de los términos del producto dentro del paréntesis por separado y mantenemos la multiplicación,

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción a.

$2^{ab+3}3^{ab+3}7^{ab+3}9^{ab+3}$

Resuelva el ejercicio

$\frac{a^{2x}}{a^y}\times\frac{a^{2y}}{a^{-y}}=$

$a^{2(x+y)}$