Una ecuación lineal con dos incógnitas - Ejemplos, Ejercicios y Soluciones

Nota que en al menos una de las ecuaciones, una de las variables tiene un coeficiente de 1, por lo tanto será fácil aislar una de las variables de una de las ecuaciones y usar el método de sustitución para obtener fácilmente una ecuación con una variable.

Resolvamos, entonces, el sistema de ecuaciones:

De la primera ecuación aislaremos una de las variables (en este problema elegimos aislar y, similarmente podríamos elegir aislar la otra variable):

$x+y=8 \\ y=8-x$

Aislamos la variable y dejándola sola en el lado izquierdo, esto se hizo moviendo el segundo término (x) al otro lado, lo hicimos recordando que un término cambia su signo cuando cruza de lado,

Examinemos ahora el sistema de ecuaciones actual:

$\begin{cases} \bm{y=\underline{8-x} } \\ x-\underline{y}=6 \end{cases}$

Ahora sustituiremos la expresión completa que es igual a y de la primera ecuación en lugar de y en la segunda ecuación (marcada con subrayado en ambas ecuaciones arriba) y así obtendremos una ecuación con una variable:

$x-\underline{(8-x)}=6$

donde:

a. Hicimos esto cuidadosamente usando paréntesis, porque sustituimos una expresión completa por la variable, que en la segunda ecuación tiene un coeficiente que no es 1 (en este caso menos 1, pero para cualquier coeficiente, siempre usaremos paréntesis al sustituir). Nota la sustitución que realizamos usando el subrayado en la última ecuación que obtuvimos arriba.

b. Resaltaremos la ecuación donde la variable que sustituimos está aislada para volver a ella más tarde después de encontrar el valor de x al resolver la ecuación que obtuvimos, y esto es para encontrar el valor de y correspondiente a ese valor de x que encontraremos, por lo tanto resaltamos esta ecuación arriba.

A partir de aquí - continuaremos y resolveremos la ecuación de una variable que obtuvimos, primero distribuiremos usando la propiedad distributiva:

$x-(8-x)=6 \\ x-1\cdot8-1\cdot(-x)=6\\ x-8+x=6$$$

Ahora combinaremos términos semejantes y aislaremos x (y su coeficiente) en el lado izquierdo, esto lo haremos moviendo los otros términos al lado derecho:

$x-8+x=6 \\ 2x-8=6\\ 2x=6+8\\ 2x=14$$$

Necesitamos asegurarnos que el coeficiente de x sea 1, haremos esto dividiendo ambos lados de la ecuación por su coeficiente, es decir, dividiremos la ecuación por 2:

$2x=14 \hspace{8pt} \text{/:} 2 \\ \frac{\not{2}x}{\not{2}}=\frac{14}{2}\\ x=7$

donde en la primera etapa dividimos ambos lados de la ecuación por el coeficiente de x de la última ecuación, luego escribimos el resultado de la división usando una fracción y luego redujimos la fracción en el lado izquierdo y calculamos (también usando reducción en realidad) el resultado de la división en el lado derecho.

Obtuvimos el valor de x que resuelve el sistema de ecuaciones anterior,

Ahora volveremos a la ecuación donde la segunda variable - y está aislada y dada como una función de x que resaltamos anteriormente:

$y=8-x$$$

y sustituiremos en ella el valor de x que obtuvimos anteriormente para encontrar el valor correspondiente de y:

$y=8-\underline{x} \\ x=\underline{7}\\ \hspace{15pt}\downarrow\\ y=8-\underline{7}\\ y=1$

donde en la última etapa combinamos términos semejantes en el lado derecho de la ecuación que obtuvimos para y,

Por lo tanto obtuvimos que la solución es:

$x=7,\hspace{8pt}y=1$

o escrito como par ordenado:

$(x,y)\rightarrow (7,1)$

Por lo tanto la respuesta correcta es la respuesta b.

Nota:

La solución es el par:$(x,y)=(7,1)$

es decir- solo sustituyendo los valores de ambas variables juntos, en ambas ecuaciones originales (o cualquiera de las ecuaciones equivalentes con dos variables que obtuvimos en el camino a la solución) resultará en una afirmación verdadera.