Factorización a través de la extracción del factor común fuera de los paréntesis - Ejemplos, Ejercicios y Soluciones

La ecuación en el problema es:

$2x^{90}-4x^{89}=0$Prestemos atención al lado izquierdo:

La expresión se puede descomponer en factores sacando un factor común, El factor común mayor para los números y letras en este caso es $2x^{89}$ya que la potencia de 89 es la potencia más baja en la ecuación y por lo tanto está incluida tanto en el término donde la potencia es 90 como en el término donde la potencia es 89.

Cualquier potencia mayor que esa no está incluida en el término donde la potencia de 89 es la más baja, y por lo tanto es el término con la potencia más alta que se puede sacar de todos los términos en la expresión como un factor común para las variables.

Para los números, observa que el número 4 es múltiplo del número 2, por lo que el número 2 es el factor común mayor para los números de los dos términos en la expresión.

Continuando y realizando la factorización:

$2x^{90}-4x^{89}=0 \\ \downarrow\\ 2x^{89}(x-2)=0$Continuemos y recordemos que en el lado izquierdo de la ecuación que se obtuvo en el último paso hay una expresión algebraica y en el lado derecho el número es 0.

Ya que la única manera de obtener el resultado 0 de un producto es que al menos uno de los factores en el producto del lado izquierdo sea igual a cero,

Es decir:

$2x^{89}=0 \hspace{8pt}\text{/}:2\\ x^{89}=0 \hspace{8pt}\text{/}\sqrt[89]{\hspace{6pt}}\\ \boxed{x=0}$

O:

$x-2=0 \\ \boxed{x=2}$

En resumen:

$2x^{90}-4x^{89}=0 \\ \downarrow\\ 2x^{89}(x-2)=0 \\ \downarrow\\ 2x^{89}=0 \rightarrow\boxed{ x=0}\\ x-2=0\rightarrow \boxed{x=2}\\ \downarrow\\ \boxed{x=0,2}$Y por lo tanto la respuesta correcta es la respuesta a.

Primero usamos la ley de potencias para multiplicar términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$Es necesario tener en cuenta que:

$x^4=x^3\cdot x$A continuación volvemos al problema y extraemos el máximo común divisor para los números por separado y para las letras por separado,

Para los números el máximo común divisor es

$4$y para las letras es:

$x^3$y por lo tanto para la extracción

$4x^3$por fuera del paréntesis

Obtenemos la expresión:

$4x^3+8x^4=4x^3(1+2x)$Para determinar cuál es la expresión dentro del paréntesis, utilizamos el primer conocimiento que mencionamos para resolver este problema (usando la ley de potencias antes mencionada), nuestro conocimiento de la tabla de multiplicar y la respuesta a la pregunta: "¿Por cuántas veces multiplicamos el factor común que quitamos fuera del paréntesis para obtener cada uno de los términos de la expresión original que descompusimos?

Por lo tanto, la respuesta correcta es: a.

Se recomienda siempre repasar nuevamente y comprobar que sí obtienes todos y cada uno de los términos de la expresión que se descompone al abrir el paréntesis (mediante la propiedad distributiva), esto se puede hacer en el margen, en un borrador o señalando el factor que eliminamos y todos y cada uno de los términos entre paréntesis, etc.

Primero sacamos la potencia más pequeña

$6x^6-9x^4=$

$6x^4\left(x^2-1.5\right)=0$

Si es posible reducimos los números por un denominador común

Finalmente compararemos las dos secciones con: $0$

$6x^4=0$

Dividimos por: $6x^3$

$x=0$

$x^2-1.5=0$

$x^2=1.5$

$x=\pm\sqrt{\frac{3}{2}}$