Descomposición en factores - sacando un factor común: Número de términos

Descomponga la siguiente la expresión en factores mediante la extracción del factor común:

$15a^2+10a+5$

Factorizar la expresión dada:

$15a^2+10a+5$Esto lo haremos sacando el máximo factor común, tanto de los números como de las letras,

Nos referiremos a los números y letras por separado, recordando que un factor común es un factor (multiplicador) común a todos los términos de la expresión,

Comencemos con los números

Tenga en cuenta que los coeficientes numéricos de los términos en la expresión dada, es decir, los números: 5,10,15 son todos múltiplos del número 5:

$15=3\cdot\underline{5}\\ 10=2\cdot\underline{5}\\$Por lo tanto, el número 5 es el máximo factor común de los números,

Para las letras:

Tenga en cuenta que sólo los dos primeros términos de la izquierda dependen de x, el tercer término es un número libre que no depende de x, por lo tanto no existe un factor común para los tres términos juntos para las letras (es decir, consideraremos el número 1 como factor común de las letras)

Por lo tanto resumimos:

El máximo factor común (para números y letras juntos) es:

$5\cdot1\\ \downarrow\\ 5$Tomémoslo, entonces, como un múltiplo fuera del paréntesis y realicemos la pregunta: "¿Cuántas veces multiplicaremos el factor común (incluido su signo) obteniendo cada uno de los términos de la expresión original (incluido su signo)?", así sabremos cuál es la expresión entre paréntesis que multiplicó el factor común:

$\textcolor{red}{ 15a^2}\textcolor{blue}{+10a} \textcolor{green}{+5} \\ \underline{5}\cdot\textcolor{red}{3a^2}+\underline{5}\cdot\textcolor{blue}{(+2a)}+\underline{5}\cdot\textcolor{green}{(+1)}\\ \downarrow\\ \underline{5}(\textcolor{red}{3a^2}\textcolor{blue}{+2a}\textcolor{green}{+1})$En la expresión anterior, la operación se explica mediante colores y signos:

El factor común se ha resaltado con un guion bajo, y los múltiplos dentro del paréntesis se asocian con los términos de la expresión original con la ayuda de colores, notamos que en el detalle de descomposición anterior también nos referimos al signo del factor común (en negro) que extrajimos como múltiplo fuera del paréntesis y el signo de los términos en la expresión original (en colores), no hay obligación de mostrarlo. Esto es en etapas como se describe arriba, puedes (y vale la pena) saltar directamente a la forma desglosada en la última línea, pero definitivamente debes referirte a los signos anteriores, ya que en cada miembro el signo es parte inseparable del mismo,

Podemos asegurarnos de que esta descomposición sea correcta fácilmente abriendo los paréntesis con la ayuda de la propiedad distributiva y asegurándonos de que la expresión original que descompusimos efectivamente se obtenga atrás - miembro, esto debe hacerse enfatizando el signo de los miembros en la expresión original y el signo (que siempre es seleccionable) del factor común.

(Inicialmente, debe usar los colores anteriores para asegurarse de obtener todos los términos en la expresión original y pertenecer al múltiplo dentro del paréntesis; más adelante, se recomienda no usar los colores)

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción b.

$5(3a^2+2a+1)$

Descomponga la siguiente la expresión en factores mediante la extracción del factor común:

$4a+13b+58c$

Factorizar la expresión dada:

$4a+13b+58c$Esto lo haremos extrayendo máximo factor común, tanto de los números como de las letras,

Nos referiremos a los números y letras por separado, recordando que un factor común es un factor (múltiplo) común a todos los términos de la expresión,

Comencemos por los números:

Notaremos que los coeficientes numéricos de los términos en la expresión dada, es decir, los números 4, 13, 58, no tienen un factor común, y esto se debe a que el número 13 es un número primo y los otros dos números no son múltiplos de él,

Por lo tanto no existe un factor común para los números (consideramos el número 1 (es la potencia del cero), como factor común para los números)

Para las letras:

Existen en la expresión tres términos:
$a,\hspace{4pt}b,\hspace{4pt}c$Es fácil ver que no existe ningún factor común a estos tres términos,

Por lo tanto, no es posible factorizar la expresión dada con la ayuda del facto común.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción d.

No es posible factorizar la expresión dada mediante la extracción del factor común.

Descomponga la siguiente expresión en factores mediante la extracción del factor común:

$xyz+yzt+ztw+wtr$

Factorizar la expresión dada:

$xyz+yzt+ztw+wtr$Esto lo haremos mediante la extracción del máximo factor común, tanto de los números como de las letras,

Nos referimos a los números y letras por separado, recordando que un factor común es un factor (multiplicador) común a todos los términos de la expresión,

Como la expresión dada no tiene coeficientes numéricos (distintos de 1) buscaremos el máximo factor común de las letras:

Existen en la expresión cuatro términos:
$xyz,\hspace{4pt}yzt,\hspace{4pt}ztw,\hspace{4pt}wtr$Notaremos que en cada uno de los cuatro miembros hay tres letras diferentes, pero no hay una o más letras que estén incluidas (en la multiplicación) en todos los términos, es decir, no hay ningún factor común para los cuatro términos y por lo tanto no es posible factorizar esta expresión extrayendo un factor común

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción d.

No es posible descomponer en factores la expresión dada mediante la extracción del factor común.

Descompone la expresión siguiente en factores:

$14x^2y^3+21xy^4+70x^5y^2$

Todas las respuestas son correctas

Descompone la expresión siguiente en factores:

$a^2b^2c^2-a^2b^5c^4+a^{-4}b^3c^7$

$a^2b^2c^2\left(a-b^3c^3+a^{-6}bc^5\right)$

Descompone la expresión siguiente en factores:

$16xa^2+\frac{80x}{a}-40a^3$

$8a(2ax+\frac{10x}{a^2}-5a^2)$

Descompone la expresión siguiente en factores:

$21ab-\frac{63a^2}{b}-14ba^2$

$7ab(3-\frac{9a}{b^2}-2a)$

Descompone la expresión siguiente en factores:

$\frac{16xy}{z}+\frac{40x}{yz}-\frac{56x^2}{yz^2}$

$\frac{8x}{z}(2y+\frac{5}{y}-\frac{7x}{yz})$

Descompone la expresión siguiente en factores:

$\frac{ab}{cd^2}+\frac{a^2b}{c^2d}+\frac{ab^2}{cd^3}$

$\frac{ab}{cd}(\frac{1}{d}+\frac{a}{c}+\frac{b}{d^2})$

Descompone la expresión siguiente en factores:

$\frac{xy}{8}+\frac{xy^2}{16}+\frac{xy^3}{20}$

$\frac{xy}{4}(\frac{1}{2}+\frac{y}{4}+\frac{y^2}{5})$

Saca el factor común de la ecuación

$2x^3+4y^4+8z^5$

$2(x^3+2y^4+4z^5)$

Simplifica la expresión mediante la extracción del factor común:

$2a^5+8a^6+4a^3$

$2a^3(a^2+4a^4+2)$