Potencia de una potencia: Uso de múltiples reglas

Lo resolvemos en dos pasos, en el primer paso usamos la ley de potencias a la potencia de un producto entre paréntesis:

$(z\cdot t)^n=z^n\cdot t^n$Aquel que afirma que la potencia que afecta a un producto dentro de paréntesis se aplica a cada uno de los elementos del producto al abrir los paréntesis,

Aplicamos la ley en el problema:

$(y^3\cdot x^2)^4=(y^3)^4\cdot(x^2)^4$Cuando abrimos los paréntesis, aplicamos la potencia a cada uno de los términos del producto por separado, pero dado que cada uno de estos términos ya está elevado a una potencia, lo hicimos con precaución y utilizamos paréntesis.

Luego, nos usamos la ley de potencias para elevar una potencia a otra

$(b^m)^n=b^{m\cdot n}$Aplicamos la ley en el problema que obtuvimos:

$(y^3)^4\cdot(x^2)^4=y^{3\cdot4}\cdot x^{2\cdot4}=y^{12}\cdot x^8$Cuando en el segundo paso realizamos la operación de multiplicación en los exponentes de potencia de los términos obtenidos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción d.

Utilizamos las tres propiedades de potencias apropiadas para resolver el problema:

1. Ley de potencias para la multiplicación entre términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ 2. Ley de potencias para un exponente elevado a otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$ 3. Ley de potencias para la división de términos con bases idénticas:

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

Continuamos y aplicamos las tres leyes anteriores al problema:

$2^3\cdot2^4+(4^3)^2+\frac{2^5}{2^3}=2^{3+4}+4^{3\cdot2}+2^{5-3}=2^7+4^6+2^2$

Cuando en el primer paso aplicamos la ley de potencias mencionada en el punto 1 a la primera expresión de la izquierda, la ley de potencias mencionada en el punto 2 a la segunda expresión de la izquierda y la ley de potencias mencionada en el punto 3 a la tercera expresión de la izquierda izquierda, por separado, y en el segundo paso simplificamos las expresiones por exponentes posesión de los términos recibidos,

Más adelante, utilizando la propiedad sustitutiva en la suma, reconocemos que la respuesta correcta es D.

Para resolver el problema utilizamos dos leyes de potencia, recuérdalas:

A. Propiedad de potencias para términos con bases idénticas:

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$B. Propiedad de potencias para un exponente elevado a otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$Aplicamos estas dos leyes de potencia a la expresión del problema en dos pasos:

Comencemos y apliquemos la ley de potencia especificada en A al segundo término desde la izquierda en la expresión del problema:

$\frac{2^7}{2^4}=2^{7-4}=2^3$Cuando en el primer paso aplicamos la ley de potencias especificada en A y en los siguientes pasos simplificamos la expresión resultante,

Procederemos al siguiente paso y aplicaremos la ley de potencias especificada en B y abordaremos el tercer término desde la izquierda en la expresión del problema:

$(8^2)^5=8^{2\cdot5}=8^{10}$Cuando en la primera etapa aplicamos la ley de potencias especificada en B y en las siguientes etapas simplificamos la expresión resultante,

Resumamos los dos pasos enumerados anteriormente para resolver el problema general:

$(4\cdot7)^9+\frac{2^7}{2^4}+(8^2)^5= (4\cdot7)^9+2^3+8^{10}$En el siguiente paso, calculamos el resultado de multiplicar los términos dentro de los paréntesis en el primer término de la izquierda:

$(4\cdot7)^9+2^3+8^{10}=28^9+2^3+8^{10}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción c.

Para resolver el problema, usamos dos propiedades de exponentes, que mencionaremos:

a. La propiedad de exponentes para multiplicar potencias con las mismas bases:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$b. La propiedad de exponentes para una potencia de una potencia:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$Aplicaremos estas dos leyes de exponentes para resolver el problema en dos pasos:

Comencemos aplicando la ley de exponentes mencionada en a' a la primera expresión en el lado izquierdo del problema:

$10^{-3}\cdot10^4=10^{-3+4}=10^1=10$Cuando en el primer paso aplicamos la ley de exponentes mencionada en a' y en los siguientes pasos simplificamos la expresión que se obtuvo,

Continuamos con el siguiente paso y aplicamos la ley de exponentes mencionada en b' y manejamos la tercera expresión en el lado izquierdo del problema:

$(4^2)^5=4^{2\cdot5}=4^{10}$Cuando en el primer paso aplicamos la ley de exponentes mencionada en b' y en los siguientes pasos simplificamos la expresión que se obtuvo,

Combinamos los dos pasos detallados anteriormente para la solución completa del problema:

$10^{-3}\cdot10^4-(7\cdot9\cdot5)^3+(4^2)^5= 10-(7\cdot9\cdot5)^3+4^{10}$En el siguiente paso calculamos el resultado de multiplicar los números dentro de los paréntesis en la segunda expresión de la izquierda:

$10-(7\cdot9\cdot5)^3+4^{10}= 10-315^3+4^{10}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la respuesta b'.

Comencemos enfatizando que este problema requiere un enfoque diferente para aplicar las leyes de los exponentes y no es tan sencillo como muchos otros problemas resueltos hasta ahora. Debemos notar que es en realidad una expresión muy simplificada, sin embargo, para entender cuál de las respuestas es correcta, presentémosla de una manera ligeramente diferente,

Recordemos dos de las leyes de los exponentes:

a. La ley de exponentes elevados a un exponente, pero en la dirección opuesta:

$a^{m\cdot n} = (a^m)^n$b. La ley de exponentes aplicada a fracciones, pero en la dirección opuesta:

$\frac{a^n}{c^n} = \big(\frac{a}{c}\big)^n$

Trabajaremos en los dos términos del problema por separado, comenzando con el primer término de la izquierda:

$\frac{z^{8n}}{m^{4t}}$

Nota que tanto en el numerador como en el denominador, el número que se nos da en los exponentes es un múltiplo de 4. Por lo tanto, usando la primera ley de exponentes (en la dirección opuesta) mencionada anteriormente en a', podemos representar tanto el término en el numerador como el término en el denominador como términos con un exponente de 4:

$\frac{z^{8n}}{m^{4t}}=\frac{z^{2n\cdot4}}{m^{t\cdot4}}=\frac{(z^{2n})^4}{(m^t)^4}$

Primero vemos los exponentes como un múltiplo de 4, y luego aplicamos la ley de exponentes mencionada en a', al numerador y denominador.

A continuación, notaremos que tanto el numerador como el denominador tienen el mismo exponente, y por lo tanto podemos usar la segunda ley de exponentes mencionada en b', en la dirección opuesta:

$\frac{(z^{2n})^4}{(m^t)^4} =\big(\frac{z^{2n}}{m^t}\big)^4$

Pudimos usar la segunda ley de exponentes en su dirección opuesta porque los términos en el numerador y denominador de la fracción tienen el mismo exponente.

Resumamos la solución hasta ahora. Obtuvimos que:

$\frac{z^{8n}}{m^{4t}}=\frac{(z^{2n})^4}{(m^t)^4}=\big(\frac{z^{2n}}{m^t}\big)^4$

Ahora detengámonos aquí y echemos un vistazo a las respuestas dadas:

Nota que existen términos similares en todas las respuestas, sin embargo, en la respuesta a' el exponente (en este caso su numerador y denominador son opuestos a la expresión que obtuvimos en la última etapa) es completamente diferente del exponente en la expresión que obtuvimos (es decir, ni siquiera tiene el signo opuesto al exponente en la expresión que obtuvimos).

Además, está el coeficiente 4 que no existe en nuestra expresión, por lo tanto descalificaremos esta respuesta,

Ahora refiramos a la respuesta propuesta d' donde solo existe el primer término de la multiplicación en el problema dado y está claro que no hay información en el problema que pudiera llevar a que el valor del segundo término en la multiplicación sea 1, así que descalificaremos esta respuesta también,

Si es así, nos quedamos con las respuestas b' o c', pero el primer término:

$(\frac{m^t}{z^{2n}})^{-4}$en ellas, es similar pero no idéntico, al término que obtuvimos en la última etapa:

$\big(\frac{z^{2n}}{m^t}\big)^4$La clara diferencia entre ellos está en el exponente, que en la expresión que obtuvimos es positivo y en las respuestas b' y c' es negativo,

Esto nos recuerda la ley de exponentes negativos:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

Antes de volver a resolver el problema entendamos esta ley de una manera ligeramente diferente, indirecta:

Si nos referimos a esta ley como una ecuación (y de hecho es una ecuación para todos los efectos), y multiplicamos ambos lados de la ecuación por el denominador común que es:

$a^n$obtendremos:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}\\ \frac{a^n}{1} =\frac{1}{a^n}\hspace{8pt} \text{/}\cdot a^n\\ a^n\cdot a^{-n}=1$

Aquí recordamos que cualquier número puede convertirse en una fracción escribiéndolo como sí mismo dividido por 1, aplicamos esto al lado izquierdo de la ecuación, luego multiplicamos por el denominador común y para saber por cuánto multiplicamos cada numerador (después de encontrar el denominador común) nos preguntamos "¿por cuánto multiplicamos el denominador actual para obtener el denominador común?".

Veamos el resultado que obtuvimos:

$a^n\cdot a^{-n}=1$lo que significa que $a^n,\hspace{4pt}a^{-n}$son números recíprocos entre sí, o en otras palabras:

$a^n$es recíproco de $a^{-n}$(y viceversa).

Podemos aplicar esta comprensión al problema si también recordamos que el número recíproco de una fracción es el número obtenido al intercambiar el numerador y el denominador, lo que significa que las fracciones:

$\frac{a}{b},\hspace{4pt}\frac{b}{a}$

son fracciones recíprocas entre sí- lo que tiene sentido, ya que multiplicarlas nos dará 1.

Y si combinamos esto con la comprensión anterior, podemos concluir que:

$\big(\frac{a}{b}\big)^{-1}=\frac{b}{a}$

lo que significa que elevar una fracción a la potencia de menos uno dará un resultado que es la fracción recíproca, obtenida al intercambiar el numerador y el denominador.

Volvamos al problema y apliquemos estos entendimientos. Primero revisaremos brevemente lo que ya hemos hecho:

Tratamos el primer término de la izquierda del problema:

$\frac{z^{8n}}{m^{4t}}\cdot c^z=\text{?}$y después de tratarlo usando las leyes de exponentes obtuvimos que puede ser representado como:

$\frac{z^{8n}}{m^{4t}}=\frac{(z^{2n})^4}{(m^t)^4}=\big(\frac{z^{2n}}{m^t}\big)^4$

Luego después de descalificar las respuestas a' y d' por las razones mencionadas anteriormente, queríamos mostrar que el término que obtuvimos en la última etapa:

$\big(\frac{z^{2n}}{m^t}\big)^4$es idéntico al primer término en la multiplicación de términos en las respuestas b' -c':

$(\frac{m^t}{z^{2n}})^{-4}$Ahora después de que entendimos que elevar una fracción a la potencia de $-1$intercambiará entre el numerador y el denominador, lo que significa que:

$\big(\frac{a}{b}\big)^{-1}=\frac{b}{a}$podemos volver a la expresión que obtuvimos para el primer término en la multiplicación , y presentarla como un término con un exponente negativo y en el denominador de la fracción:

$\big(\frac{z^{2n}}{m^t}\big)^4 = \big(\big(\frac{m^t }{z^{2n}}\big)^{-1}\big)^4 = \big(\frac{m^t }{z^{2n}}\big)^{-1\cdot4}=\big(\frac{m^t }{z^{2n}}\big)^{-4}$

Aplicamos el entendimiento mencionado anteriormente dentro de los paréntesis y presentamos la fracción como la fracción recíproca a la potencia de $-1$y en la siguiente etapa aplicamos la ley de exponentes elevados a un exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$a la expresión que obtuvimos, luego simplificamos la expresión en el exponente,

Si es así, probamos que la expresión que obtuvimos en el último paso (la primera expresión en el problema) es idéntica a la primera expresión en la multiplicación en las respuestas b' y c',

Continuaremos entonces y nos enfocaremos en elegir entre estas opciones para el segundo término del problema.

El segundo término en la multiplicación en el problema es:

$c^z$

$$Volvamos a las respuestas propuestas b' y c' (que aún no han sido descalificadas) y notemos que en realidad solo el segundo término en la multiplicación en la respuesta b' es similar a este término (y no en la respuesta c'), excepto que está en el denominador y tiene un exponente negativo mientras que en nuestro caso (el término en el problema) está en el numerador (ver nota al final de la solución) y tiene un exponente positivo.

Esto nos recordará nuevamente la ley de exponentes negativos, lo que significa que querremos presentar el término en el problema con el que estamos tratando actualmente, como teniendo un exponente negativo y en el denominador, lo haremos de la siguiente manera:

$c^z=c^{-(\underline{-z})}=\frac{1}{c^{\underline{-z}}}$$$

Aquí presentamos el término en cuestión como teniendo un exponente negativo, usando las leyes de multiplicación, y luego aplicamos la ley de exponentes negativos:

$a^{-\underline{n}}=\frac{1}{a^-\underline{n}}$

Cuidadosamente - porque la expresión con la que estamos tratando ahora tiene un signo negativo (indicado por un subrayado, tanto en la ley de exponentes aquí como en el último cálculo realizado)

Resumamos:

$\frac{z^{8n}}{m^{4t}}\cdot c^z=\big(\frac{z^{2n}}{m^t}\big)^4\cdot c^z=\big(\frac{m^t }{z^{2n}}\big)^{-4}\cdot\frac{1}{c^{-z}}$Y por lo tanto la respuesta correcta es la respuesta b'.

Nota:

Cuando vemos "el número en el numerador" cuando no hay fracción, es porque siempre podemos referirnos a cualquier número como un número en el numerador de una fracción si recordamos que cualquier número dividido por 1 es igual a sí mismo, es decir, siempre podemos escribir un número como una fracción escribiéndolo así:

$X=\frac{X}{1}$y por lo tanto podemos referirnos a $X$como un número en el numerador de una fracción.

Abordamos el problema

$\big( \big(\frac{1}{5} \big)^2 \big)^?:5=125$ como una ecuación para todo (y por supuesto es de hecho una ecuación),

Por lo tanto, reemplazamos el signo del problema en la incógnita x y la resolvemos:

$\big( \big(\frac{1}{5} \big)^2 \big)^x:5=125$ Más adelante recordaremos que dividir por un determinado número es multiplicar por su inverso, por lo que reescribiremos la ecuación dada teniendo esto en cuenta:

$\big( \big(\frac{1}{5} \big)^2 \big)^x\cdot \frac{1}{5}=125$

Ahora discutimos brevemente la técnica de solución:

De manera bastante general, el objetivo al resolver ecuaciones exponenciales es lograr llegar a una situación en la que haya un término en cada uno de los dos lados de la ecuación para que ambos lados tengan la misma base, en tal situación podemos afirmar inequívocamente que los exponentes de potencia en ambos lados de la ecuación son iguales, y resolver una ecuación simple para la incógnita,

De forma matemática, realizaremos una manipulación matemática (según las leyes por supuesto) en ambos lados de la ecuación (o desarrollo de uno de los lados con la ayuda de propiedades de potencia y álgebra) y llegaremos a la siguiente situación:

$b^{m(x)}=b^{n(x)}$cuando $m(x),\hspace{4pt}n(x)$ Expresiones algebraicas (en realidad funciones de la incógnita $x$) que también puede excluir a las incógnitas ($x$) que tratamos de encontrar en el problema, que es la solución a la ecuación,

A continuación se afirma que:

$m(x)=n(x)$ y resolvemos la ecuación simple que obtenemos,

Volvemos a resolver la ecuación en el problema dado:

$\big( \big(\frac{1}{5} \big)^2 \big)^x\cdot \frac{1}{5}=125$ En la solución de esta ecuación se utilizan varias propiedades de potencias:

a. Propiedad de potencias con exponente negativo:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$b. Propiedad de potencias para una potencia de un exponente elevado a otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$

Primero llegaremos a una presentación simple de los términos de la ecuación, es decir, "eliminamos" fracciones y raíces (si hay alguna en el problema, no hay ninguna aquí)

Para hacer esto, comenzaremos tratando con la fracción en el lado izquierdo de la ecuación:

$\frac{1}{5}$Es decir, tanto la fracción dentro del paréntesis como la fracción fuera del paréntesis, esto se hace con la ayuda de la propiedad de potencias con exponente negativo especificada en A arriba y representamos esta fracción como un término con potencia negativa y en el siguiente paso aplicaremos la propiedad de potencias para una potencia de un exponente elevado a otro exponente especificada en B arriba y nos desharemos de los paréntesis, otro paso comenzando desde el paréntesis interno hacia el externo, haremos esto, paso a paso por continuación:

$\big( \big(\frac{1}{5} \big)^2 \big)^x\cdot \frac{1}{5}=125 \\ \big( (5^{-1})^2 \big)^x\cdot 5^{-1}=125 \\ (5^{(-1)\cdot 2} )^x\cdot 5^{-1}=125 \\ 5^{(-1)\cdot 2\cdot x} \cdot 5^{-1}=125 \\ 5^{-2x} \cdot 5^{-1}=125 \\$Cuando llevamos a cabo el desarrollo del lado izquierdo de la ecuación como se describió anteriormente, inicialmente aplicamos la propiedad de potencias con exponente negativo que se mencionó anteriormente en A y en los siguientes pasos aplicamos la propiedad de potencias para una potencia de un exponente elevado a otro exponente mencionado anteriormente en B y nos deshicimos de los paréntesis: comenzando desde el paréntesis interno hasta el externo, en el último paso simplificamos la expresión en el exponente de potencia en el lado izquierdo de la ecuación,

c. Más adelante recordamos la propiedad de potencias para multiplicar términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$Y aplicaremos esta ley al lado izquierdo de la ecuación que obtuvimos en el último paso, esto es para tener un término en este lado, haremos esto:

$5^{-2x} \cdot 5^{-1}=125 \\ 5^{-2x+(-1)}=125 \\ 5^{-2x-1}=125 \\$Cuando en el primer paso aplicamos la ley de potencias antes mencionada al producto entre miembros con bases idénticas mencionado anteriormente en C y en los siguientes pasos simplificamos la expresión en el exponente de potencia del lado izquierdo,

A continuación, nos gustaría obtener la misma base en ambos lados de la ecuación, la mejor manera de conseguirlo es descomponiendo todos y cada uno de los números del problema en factores primos (utilizando potencias también), notarán que el número 125 es una potencia del número 5, es decir:

$125=5^3$ Esta es la presentación (factorización) del número 125 utilizando su factor primo, que es el número 5, por lo que volvemos a la ecuación que recibimos en el paso anterior y reemplazamos este número por su descomposición en factores primos:

$5^{-2x-1}=125 \\ 5^{-2x-1}=5^3 \\$Hemos alcanzado nuestro objetivo, hemos recibido una ecuación en la que ambos lados tienen términos con la misma base, por lo tanto podemos afirmar que los exponentes de potencia de los términos en ambos lados son iguales, y para resolver la ecuación resultante para la incógnita, realizaremos esto:

$5^{-2x-1}=5^3 \\ \\ \downarrow\\ -2x-1=3$ Continuaremos y resolveremos la ecuación resultante, lo haremos mediante el aislamiento de la incógnita en el lado izquierdo, lo lograremos de la manera habitual, moviendo las secciones y dividiendo la ecuación final por el coeficiente de incógnita:

$-2x-1=3 \\ -2x=3+1\\ -2x=4 \hspace{8pt}\text{/:}(-2) \\ \frac{\not{-2}x}{\not{-2}}=\frac{4}{-2}\\ x=-\frac{4}{2}\\ \bm{x=-2 }$ Cuando en el primer paso simplificamos la ecuación moviendo los lados, recordando que cuando un término se mueve su signo cambia, luego completamos el aislamiento anulando dividiendo ambos lados de la ecuación por su coeficiente, en los últimos pasos, simplificamos la expresión obtenida al reducir las fracciones,

Hemos resuelto así la ecuación dada, resumimos brevemente los pasos de la solución:

$\big( \big(\frac{1}{5} \big)^2 \big)^x\cdot \frac{1}{5}=125 \\ \big( (5^{-1})^2 \big)^x\cdot 5^{-1}=125 \\ 5^{-2x} \cdot 5^{-1}=125 \\ 5^{-2x-1}=5^3 \\ \downarrow\\ -2x-1=3 \\ -2x=4 \hspace{8pt}\text{/:}(-2) \\ \bm{x=-2 }$ Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción a.