Series - Ejemplos, Ejercicios y Soluciones

Es posible ver que entre cada número hay un salto de un número.

Es decir, a cada número se le suma 1 y será el siguiente número:

$1+1=2$

$2+1=3$

$3+1=4$

Etcétera. Por lo tanto, los siguientes números que faltan en la secuencia serán:$8+1=9$

$10+1=11$

Se puede ver que la diferencia entre cada número es 2.

Es decir, entre cada salto se suma 2 al siguiente número:

$94+2=96$

$96+2=98$

$98+2=100$

Etcétera

Es posible ver que si multiplicamos cada número de la columna de la derecha por 2, obtienes el número de la columna de la izquierda.

Es decir:$1\times2=2$

$2\times2=4$

$3\times2=6$

Por lo tanto, el número de balones es 2 veces mayor que el número de canchas.

Puede verse que para cada número sucesivo se suma un cuadrado a lo largo y uno a lo ancho.

Por lo tanto, la legalidad usando la variable n es:

$a(n)=n^2$

Por lo tanto, el octavo término será:

$n^2=8\times8=16$

Prestamos atención a la columna derecha en los ejercicios.

Entre cada número hay un salto de +3:$4+3=7$

$7+3=10$

Etcétera.

Ahora prestamos atención a la columna izquierda de los ejercicios.

Entre cada número hay un salto de +1:

$2+1=3$

$3+1=4$

Ahora podemos averiguar cuál es el ejercicio que falta:

El dígito de la izquierda será:$2-1=1$

El dígito de la derecha será:$4-3=1$

Y el ejercicio que falta es:$1+1$

Calculamos mediante el reemplazo de$n=11$

$2\times11+2=$

Primero resolvemos el ejercicio de multiplicación y luego sumamos 2:

$22+2=24$

Sabemos que el primer término de la serie es 15.

A partir de aquí podemos escribir toda la serie fácilmente, hasta ver si llegamos al 1.  

15, 13, 11, 9, 7, 5, 3, 1

¡El número 1 es de hecho un elemento de la serie!

Comprobaremos si el número 30 es un término de la serie definida por el término general dado:

$$ $a_n= 15n$,

Lo realizaremos de la siguiente manera:

Primero requeriremos la existencia de dicho término en la serie, en alguna posición, es decir, exigiremos que:

$a_n=15$

Más adelante resolvemos la ecuación obtenida de este requisito, recordando que n es la posición del término de la serie (también conocida como índice del término de la serie), por lo que debe ser un número natural, es decir , un número entero positivo y, por lo tanto, también lo necesitaremos,

Luego comprobaremos si estos dos requisitos se cumplen juntos:

Primero resolvemos,

$\begin{cases} a_n= 15n \\ a_n=30 \end{cases}\\ \downarrow\\ 30=15n$

Cuando colocamos en la posición$a_n$En la primera ecuación, el valor solicitado de la segunda ecuación,

Obtuvimos una ecuación con una variable para n, la resolveremos de la forma habitual moviendo lados y aislando la variable, así obtenemos:

$30=15n \\ -15n=-30 \hspace{8pt} \text{/:}(-15)\\ n=2$

Cuando en el último paso dividimos ambos lados de la ecuación por el coeficiente evanescente del lado izquierdo,

Por lo tanto aceptamos el requisito de que:

$a_n=30$

Lo que conduce que:

$n=2$

Y este es efectivamente un número natural, es decir, entero y positivo, y por lo tanto concluimos que en la serie definida en el problema por el término general dado, el número 15 es efectivamente un término y su posición es 10, es decir, en notación matemática:

$a_{2}=30$

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción b.

Comprobaremos si el número 15 es un término de la serie definida por el término general dado:

$$ $a_n=n+5$

Lo realizaremos de la siguiente manera:

Primero requeriremos la existencia de dicho término en la serie, en alguna posición, es decir, exigiremos que:

$a_n=15$Más adelante resolvemos la ecuación obtenida de este requisito, recordando que n es la posición del término de la serie (también conocida como índice del término de la serie), por lo que debe ser un número natural, es decir , un número entero positivo y, por lo tanto, también lo necesitaremos,

Luego comprobaremos si estos dos requisitos se cumplen juntos:

Primero resolvemos,

$\begin{cases} a_n=n+5\\ a_n=15 \end{cases}\\ \downarrow\\ 15=n+5$Cuando colocamos en la posición$a_n$En la primera ecuación, el valor solicitado de la segunda ecuación,

Obtuvimos una ecuación con una variable para n, la resolveremos de la forma habitual moviendo lados y aislando la variable, así obtenemos:

$15=n+5 \\ -n=5-15\\ -n=-10 \hspace{8pt} \text{/:}(-1)\\ n=10$Cuando en el último paso dividimos ambos lados de la ecuación por el coeficiente evanescente del lado izquierdo,

Por lo tanto aceptamos el requisito de que:

$a_n=15$Lo que conduce que:

$n=10$Y este es efectivamente un número natural, es decir, entero y positivo, y por lo tanto concluimos que en la serie definida en el problema por el término general dado, el número 15 es efectivamente un término y su posición es 10, es decir, en notación matemática:

$a_{10}=15$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción a.

El tercer término en la serie es$a_3$Es decir, en la fórmula del término general dado:

$a_n= \frac{n}{2}$Debemos colocar la posición (del término solicitado en la serie):

$n=3$Realizaremos esto:

$a_{\underline{n}}= \frac{\underline{n}}{2} \\ n=\underline{3}\\ \downarrow\\ a_{\underline{3}}=\frac{\underline{3}}{2}$Cuando colocamos la posición (del término solicitado en la serie) en lugar de n: 3, la ubicación se describe mediante un guión bajo en la expresión anterior,

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción c.

Los términos cuarto y quinto en la serie son
$a_4,\hspace{4pt}a_5$Es decir, en la fórmula del término general dado:

$a_n=10n-9$Debemos colocar la posición (del término solicitado en la serie):

$n=4$$$para $a_4$y

$$$n=5$para

$a_5$Realizamos esto para el cuarto y quinto término:

$a_{\underline{n}}= 10\underline{n}-9 \\ n=\underline{4}\\ \downarrow\\ a_{\underline{4}}= 10\cdot\underline{4}-9=40-9\\ a_4=31$Cuando ponemos la posición (del término deseado en la serie) en lugar de n: 4, la posición se describe mediante un guión bajo en la expresión anterior,

Lo mismo, para el quinto término$a_5$Obtenemos:

$a_{\underline{5}}= 10\cdot\underline{5}-9=50-9\\ a_5=41$Es decir obtuvimos que:

$a_4=31,\hspace{4pt}a_5=41$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción a.