Aplicación de reglas de exponentes combinados: Calculando potencias con exponentes negativos

Utilizamos la propiedad de potencias para el producto entre paréntesis:

$(z\cdot t)^n=z^n\cdot t^n$

Es decir que la potencia aplicada a un producto entre paréntesis se aplica a cada término del mismo cuando se abren los paréntesis,

Aplicamos la propiedad para el problema:

$(8\cdot9\cdot5\cdot3)^{-2}=8^{-2}\cdot9^{-2}\cdot5^{-2}\cdot3^{-2}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción c.

Nota:

De la fórmula de la propiedad de potencias entre paréntesis mencionada anteriormente, se puede entender que se refiere solo a dos términos del producto entre paréntesis, pero en realidad también es válida para la potencia sobre una multiplicación de muchos términos entre paréntesis, como por ejemplo lo que se hizo en este problema y en otros problemas.

Un buen ejercicio es demostrar que si la propiedad anterior es válida para una potencia sobre un producto de dos términos entre paréntesis (como está formula anteriormente), entonces también es válida para una potencia sobre varios términos del producto entre paréntesis (por ejemplo - tres términos, etc.).

Utilizamos la ley de potencias para el producto entre paréntesis:

$(z\cdot t)^n=z^n\cdot t^n$

Es decir que la potencia aplicada a un producto entre paréntesis se aplica a cada término del mismo cuando se abren los paréntesis,

Aplicamos la propiedad para el problema:

$(3\cdot2\cdot4\cdot6)^{-4}=3^{-4}\cdot2^{-4}\cdot4^{-4}\cdot6^{-4}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción d.

Nota:

De la fórmula de la propiedad de potencias entre paréntesis mencionada anteriormente, se puede entender que se refiere solo a dos términos del producto entre paréntesis, pero en realidad también es válida para la potencia sobre una multiplicación de muchos términos entre paréntesis, como por ejemplo lo que se hizo en este problema y en otros problemas.

Un buen ejercicio es demostrar que si la propiedad anterior es válida para una potencia sobre un producto de dos términos entre paréntesis (como está formula anteriormente), entonces también es válida para una potencia sobre varios términos del producto entre paréntesis (por ejemplo - tres términos, etc.).

Primero, recordamos la propiedad de potenciación para un exponente negativo:

$b^{-n}=\frac{1}{b^n}$Lo aplicamos en la expresión que obtuvimos:

$(3a)^{-2}=\frac{1}{(3a)^2}$A continuación, recordamos la propiedad de potenciación mencionada anteriormente sobre la multiplicación entre paréntesis:

$(x\cdot y)^n=x^n\cdot y^n$Y lo aplicamos al denominador de la expresión que obtuvimos:

$\frac{1}{(3a)^2}=\frac{1}{3^2a^2}=\frac{1}{9a^2}$Resumamos la solución del problema:

$(3a)^{-2}=\frac{1}{(3a)^2} =\frac{1}{9a^2}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.

Usamos la propiedad de potencias para multiplicar términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$Cabe recalcar que esta propiedad sólo es válida para términos con bases idénticas,

Retornamos al problema

Notamos que en el problema hay dos tipos de términos que difieren entre sí en diferentes bases. Primero, por el bien del orden, usaremos la propiedad sustitutiva en la multiplicación para ordenar la expresión de manera que los dos términos con la misma base sean adyacentes, procederemos a trabajar:

$E^6\cdot F^{-4}\cdot E^0\cdot F^7\cdot E=E^6\cdot E^0\cdot E\cdot F^{-4}\cdot F^7$Posteriormente aplicamos la ley de potencias mencionada para cada tipo de término por separado,

$E^6\cdot E^0\cdot E\cdot F^{-4}\cdot F^7=E^{6+0+1}\cdot F^{-4+7}=E^7\cdot F^3$

$$Cuando en realidad aplicamos la ley antes mencionada por separado - para los términos cuyas base$E$y para los términos cuyas bases $F$y sumamos los exponentes cuando insertamos todos los términos con la misma base en la misma base.

La respuesta correcta es entonces la opción d.

Nota:

Usamos el hecho de que:

$E=E^1$.

Primero convertimos la fracción decimal del problema en una fracción simple:

$0.25=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$

Cuando recordamos que 0,25 son 25 centésimas, es decir:

$25\cdot\frac{1}{100}=\frac{25}{100}$

Entonces, reescribimos el problema:

$(0.25)^{-2}=\big(\frac{1}{4}\big)^{-2}=\text{?}$

Ahora usamos la propiedad de potenciación negativa:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

Y nos ocupamos de la expresión fraccionaria dentro del paréntesis:

$\big(\frac{1}{4}\big)^{-2}=(4^{-1})^{-2}$

Cuando aplicamos la propiedad de potenciación antes mencionada a la expresión dentro del paréntesis,

A continuación recordamos la propiedad de potenciación para un exponente elevado a otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$

Y aplicamos esta propiedad que obtuvimos en el último paso:

$(4^{-1})^{-2}=4^{(-1)\cdot(-2)}=4^2=16$

Cuando en el primer paso aplicamos cuidadosamente la propiedad antes mencionada y utilizamos paréntesis en el exponente para realizar la multiplicación entre las potencias, posteriormente simplificamos la expresión resultante y finalmente calculamos el resultado numérico obtenido en el último paso.

Resumimos los pasos de la solución:

$(0.25)^{-2}=\big(\frac{1}{4}\big)^{-2}=4^{(-1)\cdot(-2)}=16$

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B.

Para resolver el ejercicio, usamos la propiedad de potenciación de un exponente negativo

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

Usamos la propiedad para resolver el ejercicio:

$19^{-2}=\frac{1}{19^2}$

Podemos continuar y resolver la potencia

$\frac{1}{19^2}=\frac{1}{361}$

Usamos la propiedad de potenciación de un exponente negativo:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$Lo aplicamos en el problema:

$$$2^{-5}=\frac{1}{2^5}=\frac{1}{32}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.

Usamos la propiedad de potenciación de un exponente negativo:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$Lo aplicamos en el problema:

$$$4^{-1}=\frac{1}{4^1}=\frac{1}{4}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B.

Usamos la propiedad de potenciación para un exponente negativo, pero en dirección opuesta:

$\frac{1}{a^n} =a^{-n}$Aplicamos esta propiedad al problema:

$4^5-4^6\cdot\frac{1}{4}= 4^5-4^6\cdot4^{-1}$Cuando aplicamos la propiedad anterior para el segundo término desde la izquierda en la cantidad del problema y convertimos la fracción a un término con un exponente negativo,

Posteriormente usamos la propiedad de potenciación para multiplicar términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$Aplicamos esta propiedad en la expresión que obtuvimos en el último paso:

$4^5-4^6\cdot4^{-1} =4^5-4^{6+(-1)}=4^5-4^{6-1}=4^5-4^{5}=0$Cuando aplicamos la propiedad de potenciación antes mencionada al segundo término desde la izquierda en la cantidad en la expresión que obtuvimos en el último paso, luego simplificamos la expresión resultante,

Resumimos los pasos de resolución:

$4^5-4^6\cdot\frac{1}{4}= 4^5-4^6\cdot4^{-1} =4^5-4^{5}=0$

Obtuvimos que la respuesta es 0.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.

Utilizamos la propiedad de potencias de un exponente negativo:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$Lo aplicamos en el problema:

$5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción d.

Usamos la propiedad de potenciación para multiplicar términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$y simplificamos mediante el segundo término desde la izquierda por la suma total en el problema:
$5^3+5^{-3}\cdot5^3=5^3+5^{-3+3}=5^3+5^0=5^3+1$Cuando en el primer paso aplicamos la propiedad antes mencionada al segundo término desde la izquierda, posteriormente simplificamos la expresión en el exponente de potencia y en el último paso utilizamos el hecho de que elevando cualquier número a la potencia de 0 dará como resultado 1 ,

Por supuesto, no tocamos el primer término porque ya está simplificado,

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción C.

Primero recordemos la propiedad de potenciación negativa:

$b^{-n}=\frac{1}{b^n}$La aplicamos en la expresión que obtuvimos:

$(-5)^{-3}=\frac{1}{(-5)^3}$Posteriormente recordemos la propiedad de potenciación para una potencia entre paréntesis:

$(x\cdot y)^n=x^n\cdot y^n$La aplicamos al denominador de la expresión que obtuvimos:

$\frac{1}{(-5)^3}=\frac{1}{(-1\cdot5)^3}=\frac{1}{(-1)^3\cdot5^3}=\frac{1}{-1\cdot5^3}=-\frac{1}{5^3}=-\frac{1}{125}$Cuando en el primer paso presentamos el número negativo dentro del paréntesis en el denominador como una multiplicación entre un número positivo y el menos uno, y luego abrimos el paréntesis mediante la propiedad de potenciación para una multiplicación aplicada al producto entre paréntesis, luego simplificamos la expresión.

Resumimos la solución al problema:

$(-5)^{-3}=\frac{1}{(-5)^3} =\frac{1}{-5^3}=-\frac{1}{125}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B.

Usamos la propiedad de potenciación de un exponente negativo:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$Lo aplicamos en el problema:

$$$$$7^{-24}=\frac{1}{7^{24}}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción D.

Usamos la propiedad de potenciación para un exponente negativo:

$b^{-n}=\frac{1}{b^n}$Lo aplicamos en el problema:

$(-7)^{-3}=\frac{1}{(-7)^3}$Cuando notamos que cada número entero entre paréntesis se eleva a una potencia negativa (es decir, el número y su coeficiente negativo juntos), al usar la propiedad de potenciación mencionada anteriormente fuimos cuidadosos y tomamos este hecho en cuenta,

Continuamos simplificando la expresión en el denominador de la fracción, recordando la propiedad de potenciación para la potencia de términos en la multiplicación:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$Aplicamos la expresión que obtuvimos:

$\frac{1}{(-7)^3}=\frac{1}{(-1\cdot7)^3}=\frac{1}{(-1)^3\cdot7^3}=\frac{1}{-1\cdot7^3}=\frac{1}{-7^3}=-\frac{1}{7^3}$

Resumiendo la solución al problema, obtuvimos que:

$(-7)^{-3}=\frac{1}{(-7)^3}=\frac{1}{-7^3}=-\frac{1}{7^3}$

$$$$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B.

Usamos la fórmula:

$(\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}$

Descomponemos la fracción entre paréntesis:

$(\frac{1}{7})^4=\frac{1^4}{7^4}$

Obtenemos:

$7^4\times8^3\times\frac{1^4}{7^4}$

Simplificamos las potencias: $7^4$

Obtenemos:

$8^3\times1^4$

Recordemos que el número 1 en cualquier potencia es igual a 1, por lo que obtenemos:

$8^3\times1=8^3$

Primero, recordamos la propiedad de potenciación para un exponente negativo:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$Lo aplicamos en la expresión que obtuvimos:

$7^{-4}=\frac{1}{7^4}=\frac{1}{2401}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción C.

Usamos la propiedad de potenciación de un exponente negativo:

$b^{-n}=\frac{1}{b^n}$Lo aplicamos en el problema:

$$$$$a^{-4}=\frac{1}{a^4}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B.

Primero tengamos en cuenta que:

A.

$10=5\cdot2$Para ello recordemos la propiedad de potenciación para una multiplicación entre paréntesis:

$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$En consecuencia, obtenemos que:

$(-5)^3=(-1\cdot5)^3=(-1)^3\cdot5^3=-1\cdot5^3=-5^3$Nos gustaría utilizar el entendimiento en A para obtener términos con bases idénticas en el numerador y denominador,

Regresemos al problema y apliquemos los conocimientos anteriores de A y B:

$\frac{10}{(-5)^3}=\frac{2\cdot5}{-5^3}=\frac{2}{-1}\cdot\frac{5}{5^3}=-2\cdot\frac{5}{5^3}$Cuando en el primer paso usamos A en el numerador y B en el denominador de la fracción, en el siguiente paso presentamos la fracción como multiplicación de fracciones según la regla de la multiplicación entre fracciones, posteriormente simplificamos la primera fracción en la multiplicación.

Ahora usamos la propiedad de potenciación para dividir entre términos con bases idénticas:

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$Aplicamos esta propiedad en la expresión que obtuvimos:

$-2\cdot\frac{5}{5^3}=-2\cdot5^{1-3}=-2\cdot5^{-2}$Cuando en el primer paso aplicamos esta propiedad a la fracción de la multiplicación y luego simplificamos la expresión que obtuvimos,

Resumimos los pasos de resolución:

$\frac{10}{(-5)^3} =-2\cdot\frac{5}{5^3} =-2\cdot5^{-2}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B.

Primero, recordamos la propiedad de potenciación para un exponente negativo:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$Lo aplicamos en la expresión que obtuvimos:

$\frac{1}{12^3}=12^{-3}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.

Primero nos ocupamos de la expresión en el denominador de la fracción y recordamos de acuerdo a la propiedad de potenciación de un exponente elevado a otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$Obtenemos que:

$(-2)^7=(-1\cdot2)^7=(-1)^7\cdot2^7=-1\cdot2^7=-2^7$Regresamos al problema y aplicamos lo dicho anteriormente:

$\frac{1}{(-2)^7}=\frac{1}{-2^7}=\frac{1}{-1}\cdot\frac{1}{2^7}=-\frac{1}{2^7}$$$Cuando en el último paso recordamos que:

$\frac{1}{-1}=-1$A continuación recordamos la propiedad de potenciación para una potencia negativa

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$Lo aplicamos a la expresión que obtuvimos en el último paso:

$-\frac{1}{2^7}=-2^{-7}$Resumamos los pasos de la solución:

$\frac{1}{(-2)^7}=-\frac{1}{2^7} = -2^{-7}$

$$$$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción C.