Aplicación de reglas de exponentes combinados: Calculando potencias con exponentes negativos

Utilizamos la ley de potencias para el producto entre paréntesis:

$(z\cdot t)^n=z^n\cdot t^n$Es decir que la potencia aplicada a un producto entre paréntesis se aplica a cada término del mismo cuando se abren los paréntesis,

Aplicamos la propiedad para el problema:

$(3\cdot2\cdot4\cdot6)^{-4}=3^{-4}\cdot2^{-4}\cdot4^{-4}\cdot6^{-4}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción d.

Nota:

De la fórmula de la propiedad de potencias entre paréntesis mencionada anteriormente, se puede entender que se refiere solo a dos términos del producto entre paréntesis, pero en realidad también es válida para la potencia sobre una multiplicación de muchos términos entre paréntesis, como por ejemplo lo que se hizo en este problema y en otros problemas.

Un buen ejercicio es demostrar que si la propiedad anterior es válida para una potencia sobre un producto de dos términos entre paréntesis (como está formula anteriormente), entonces también es válida para una potencia sobre varios términos del producto entre paréntesis (por ejemplo - tres términos, etc.).

Utilizamos la propiedad de potencias para el producto entre paréntesis:

$(z\cdot t)^n=z^n\cdot t^n$Es decir que la potencia aplicada a un producto entre paréntesis se aplica a cada término del mismo cuando se abren los paréntesis,

Aplicamos la propiedad para el problema:

$(8\cdot9\cdot5\cdot3)^{-2}=8^{-2}\cdot9^{-2}\cdot5^{-2}\cdot3^{-2}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción c.

Nota:

De la fórmula de la propiedad de potencias entre paréntesis mencionada anteriormente, se puede entender que se refiere solo a dos términos del producto entre paréntesis, pero en realidad también es válida para la potencia sobre una multiplicación de muchos términos entre paréntesis, como por ejemplo lo que se hizo en este problema y en otros problemas.

Un buen ejercicio es demostrar que si la propiedad anterior es válida para una potencia sobre un producto de dos términos entre paréntesis (como está formula anteriormente), entonces también es válida para una potencia sobre varios términos del producto entre paréntesis (por ejemplo - tres términos, etc.).

Primero, recordamos la propiedad de potenciación para un exponente negativo:

$b^{-n}=\frac{1}{b^n}$Lo aplicamos en la expresión que obtuvimos:

$(3a)^{-2}=\frac{1}{(3a)^2}$A continuación, recordamos la propiedad de potenciación mencionada anteriormente sobre la multiplicación entre paréntesis:

$(x\cdot y)^n=x^n\cdot y^n$Y lo aplicamos al denominador de la expresión que obtuvimos:

$\frac{1}{(3a)^2}=\frac{1}{3^2a^2}=\frac{1}{9a^2}$Resumamos la solución del problema:

$(3a)^{-2}=\frac{1}{(3a)^2} =\frac{1}{9a^2}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.

Primero usamos la ley de potenciación para una multiplicación entre términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$Lo aplicamos en el problema:

$7^5\cdot7^{-6}=7^{5+(-6)}=7^{5-6}=7^{-1}$Cuando en una primera etapa aplicamos la propiedad antes mencionada y luego simplificamos la expresión en el exponente,

A continuación, usamos la propiedad de potencias negativas:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$Y lo aplicamos en la expresión que obtuvimos en el último paso:

$7^{-1}=\frac{1}{7^1}=\frac{1}{7}$Resumimos la solución al problema: $7^5\cdot7^{-6}=7^{-1}=\frac{1}{7}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B.

Primero usamos la ley de potenciación para una multiplicación entre términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$Lo aplicamos en el problema:

$12^4\cdot12^{-6}=12^{4+(-6)}=12^{4-6}=12^{-2}$Cuando en una primera etapa aplicamos la propiedad antes mencionada y luego simplificamos la expresión en el exponente,

A continuación, usamos la propiedad de potencias negativas:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$Y lo aplicamos en la expresión que obtuvimos en el último paso:

$12^{-2}=\frac{1}{12^2}=\frac{1}{144}$Resumimos la solución al problema: $12^4\cdot12^{-6}=12^{-2} =\frac{1}{144}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.

Utiliza la propiedad de potencias para una potencia en un paréntesis donde en el mismo existe una multiplicación de sus términos:

$(x\cdot y)^n=x^n\cdot y^n$Aplicamos esta ley a la expresión del problema:

$(5\cdot12\cdot4\cdot6)^{a+3bx}=5^{a+3bx}12^{a+3bx}4^{a+3bx}6^{a+3bx}$Cuando aplicamos una potencia para un paréntesis donde se multiplican sus términos retención lo realizamos por separado y mantenemos la multiplicación.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción d.

Usamos la propiedad de potenciación de un exponente negativo:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$Lo aplicamos en el problema:

$$$4^{-1}=\frac{1}{4^1}=\frac{1}{4}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B.

Usamos la propiedad de potenciación de un exponente negativo:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$Lo aplicamos en el problema:

$$$2^{-5}=\frac{1}{2^5}=\frac{1}{32}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.

Usamos la propiedad de potenciación para un exponente negativo:

$b^{-n}=\frac{1}{b^n}$Lo aplicamos en el problema:

$(-7)^{-3}=\frac{1}{(-7)^3}$Cuando notamos que cada número entero entre paréntesis se eleva a una potencia negativa (es decir, el número y su coeficiente negativo juntos), al usar la propiedad de potenciación mencionada anteriormente fuimos cuidadosos y tomamos este hecho en cuenta,

Continuamos simplificando la expresión en el denominador de la fracción, recordando la propiedad de potenciación para la potencia de términos en la multiplicación:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$Aplicamos la expresión que obtuvimos:

$\frac{1}{(-7)^3}=\frac{1}{(-1\cdot7)^3}=\frac{1}{(-1)^3\cdot7^3}=\frac{1}{-1\cdot7^3}=\frac{1}{-7^3}=-\frac{1}{7^3}$

Resumiendo la solución al problema, obtuvimos que:

$(-7)^{-3}=\frac{1}{(-7)^3}=\frac{1}{-7^3}=-\frac{1}{7^3}$

$$$$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B.

Usamos la propiedad de potenciación de un exponente negativo:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$Lo aplicamos en el problema:

$$$$$7^{-24}=\frac{1}{7^{24}}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción D.

Para resolver el ejercicio, usamos la propiedad de potenciación de un exponente negativo

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

Usamos la propiedad para resolver el ejercicio:

$19^{-2}=\frac{1}{19^2}$

Podemos continuar y resolver la potencia

$\frac{1}{19^2}=\frac{1}{361}$

Usamos la propiedad de potenciación de un exponente negativo:

$b^{-n}=\frac{1}{b^n}$Lo aplicamos en el problema:

$$$$$a^{-4}=\frac{1}{a^4}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B.

Usamos la propiedad de potenciación para un exponente negativo:

$b^{-n}=\frac{1}{b^n}$Lo aplicamos en el problema:

$$$$$\frac{1}{8^3}=8^{-3}$Cuando usamos esta propiedad mencionada anteriormente en el sentido contrario.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.

Primero tengamos en cuenta que 4 es una potencia de 2:

$4=2^2$Por lo tanto, podemos hacer un movimiento hacia una base uniforme para todos los términos del problema,

Aplicamos esto:

$\frac{2}{4^{-2}}=\frac{2}{(2^2)^{-2}}$A continuación utilizamos la propiedad de potenciación para un exponente elevado a otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$Aplicamos esta propiedad al término en el denominador de la fracción obtenida en el último paso:

$\frac{2}{(2^2)^{-2}}=\frac{2}{2^{2\cdot(-2)}}=\frac{2}{2^{-4}}$Cuando en el primer paso aplicamos la propiedad antes mencionada en el denominador de la fracción y en el segundo paso simplificamos la expresión resultante,

A continuación utilizamos la propiedad de potenciación de división entre términos con bases idénticas:

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$Aplicamos esta propiedad en la última expresión que obtuvimos:

$\frac{2}{2^{-4}}=2^{1-(-4)}=2^{1+4}=2^5$

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B.

Primero tengamos en cuenta que:

A.

$10=5\cdot2$Para ello recordemos la propiedad de potenciación para una multiplicación entre paréntesis:

$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$En consecuencia, obtenemos que:

$(-5)^3=(-1\cdot5)^3=(-1)^3\cdot5^3=-1\cdot5^3=-5^3$Nos gustaría utilizar el entendimiento en A para obtener términos con bases idénticas en el numerador y denominador,

Regresemos al problema y apliquemos los conocimientos anteriores de A y B:

$\frac{10}{(-5)^3}=\frac{2\cdot5}{-5^3}=\frac{2}{-1}\cdot\frac{5}{5^3}=-2\cdot\frac{5}{5^3}$Cuando en el primer paso usamos A en el numerador y B en el denominador de la fracción, en el siguiente paso presentamos la fracción como multiplicación de fracciones según la regla de la multiplicación entre fracciones, posteriormente simplificamos la primera fracción en la multiplicación.

Ahora usamos la propiedad de potenciación para dividir entre términos con bases idénticas:

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$Aplicamos esta propiedad en la expresión que obtuvimos:

$-2\cdot\frac{5}{5^3}=-2\cdot5^{1-3}=-2\cdot5^{-2}$Cuando en el primer paso aplicamos esta propiedad a la fracción de la multiplicación y luego simplificamos la expresión que obtuvimos,

Resumimos los pasos de resolución:

$\frac{10}{(-5)^3} =-2\cdot\frac{5}{5^3} =-2\cdot5^{-2}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B.

Primero nos ocupamos de la expresión en el denominador de la fracción y recordamos de acuerdo a la propiedad de potenciación de un exponente elevado a otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$Obtenemos que:

$(-2)^7=(-1\cdot2)^7=(-1)^7\cdot2^7=-1\cdot2^7=-2^7$Regresamos al problema y aplicamos lo dicho anteriormente:

$\frac{1}{(-2)^7}=\frac{1}{-2^7}=\frac{1}{-1}\cdot\frac{1}{2^7}=-\frac{1}{2^7}$$$Cuando en el último paso recordamos que:

$\frac{1}{-1}=-1$A continuación recordamos la propiedad de potenciación para una potencia negativa

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$Lo aplicamos a la expresión que obtuvimos en el último paso:

$-\frac{1}{2^7}=-2^{-7}$Resumamos los pasos de la solución:

$\frac{1}{(-2)^7}=-\frac{1}{2^7} = -2^{-7}$

$$$$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción C.

Usamos la propiedad de potenciación para un exponente negativo:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$Lo aplicamos en la expresión que obtuvimos:

$\frac{1}{2^9}=2^{-9}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.

Primero, recordamos la propiedad de potenciación para un exponente negativo:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$Lo aplicamos en la expresión que obtuvimos:

$\frac{1}{12^3}=12^{-3}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.

Primero recordemos la propiedad de potenciación negativa:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$La aplicamos en la expresión que obtuvimos:

$\frac{1}{4^{-3}}=4^{-(-3)}=4^3=64$Cuando en el primer paso aplicamos cuidadosamente la ley de potencias antes mencionada, y esto se debe a que el término en el denominador de la fracción ya es un término con una potencia negativa, por lo tanto al usar la propiedad anterior ponemos la potencia del término que estaba en el denominador de la fracción entre paréntesis (y esto es para aplicar el signo menos que pertenece a la propiedad de potencias más adelante), posteriormente simplificamos el exponente en la expresión resultante.

En el último paso calculamos el resultado numérico de la expresión que obtuvimos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B.

Primero convertimos la fracción decimal del problema en una fracción simple:

$0.25=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$Cuando recordamos que 0,25 son 25 centésimas, es decir:

$25\cdot\frac{1}{100}=\frac{25}{100}$Entonces, reescribimos el problema:

$(0.25)^{-2}=\big(\frac{1}{4}\big)^{-2}=\text{?}$Ahora usamos la propiedad de potenciación negativa:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$Y nos ocupamos de la expresión fraccionaria dentro del paréntesis:

$\big(\frac{1}{4}\big)^{-2}=(4^{-1})^{-2}$Cuando aplicamos la propiedad de potenciación antes mencionada a la expresión dentro del paréntesis,

A continuación recordamos la propiedad de potenciación para un exponente elevado a otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$Y aplicamos esta propiedad que obtuvimos en el último paso:

$(4^{-1})^{-2}=4^{(-1)\cdot(-2)}=4^2=16$Cuando en el primer paso aplicamos cuidadosamente la propiedad antes mencionada y utilizamos paréntesis en el exponente para realizar la multiplicación entre las potencias, posteriormente simplificamos la expresión resultante y finalmente calculamos el resultado numérico obtenido en el último paso.

Resumimos los pasos de la solución:

$(0.25)^{-2}=\big(\frac{1}{4}\big)^{-2}=4^{(-1)\cdot(-2)}=16$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B.