Aplicación de reglas de exponentes combinados: Variables en el exponente de la potencia

Como las bases son iguales, se pueden sumar los exponentes:

$2x+1+5+3x=5x+6$

Usamos la propiedad de potencias para multiplicar términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$Aplicamos la propiedad para este problema:

$4^{2y}\cdot4^{-5}\cdot4^{-y}\cdot4^6= 4^{2y+(-5)+(-y)+6}=4^{2y-5-y+6}$Completamos la simplificación de la expresión que recibimos en el último paso:

$4^{2y-5-y+6} =4^{y+1}$Cuando agregamos términos similares en el exponente.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción c.

Usamos la propiedad de potencias para multiplicar términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$Aplicamos la propiedad para este problema:

$7^{2x+1}\cdot7^{-1}\cdot7^x=7^{2x+1+(-1)+x}=7^{2x+1-1+x}$Completamos la simplificación de la expresión que recibimos en el último paso:

$7^{2x+1-1+x}=7^{3x}$Cuando agregamos términos similares en el exponente.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción d.

Utilizamos la ley de potencias para una multiplicación entre paréntesis:

$(z\cdot t)^n=z^n\cdot t^n$

Es decir, una potencia en una multiplicación entre paréntesis se aplica a cada término cuando se abren los paréntesis,

Lo aplicamos en el problema:

$(4\cdot9\cdot11)^a=4^a\cdot9^a\cdot11^a$

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción b.

Nota:

De la fórmula de la propiedad de potencias mencionada en la solución anterior, se puede entender que se refiere solo a dos términos de la multiplicación entre paréntesis, pero de hecho también es válida para la potencia sobre una multiplicación entre muchos términos en paréntesis. Como por ejemplo lo que se realizó en este problema y en otros problemas.

Un buen ejercicio es demostrar que si la ley anterior es válida para una potencia sobre una multiplicación entre dos términos entre paréntesis (como está formulada anteriormente), entonces también es válida para una potencia sobre varios términos de la multiplicación entre paréntesis (por ejemplo - tres términos, etc.).

Mediante la ley de potencias de un exponente elevado a otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$Lo aplicamos en el problema:

$(4^x)^y=4^{xy}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción a.

Utiliza la propiedad de potencias que se aplica a los paréntesis en los que se multiplican los términos:

$(x\cdot y)^n=x^n\cdot y^n$

Aplicamos la propiedad para la expresión del problema:

$(2\cdot3\cdot7\cdot9)^{ab+3} =2^{ab+3}3^{ab+3}7^{ab+3}9^{ab+3}$

Cuando aplicamos la potencia entre paréntesis a cada uno de los términos del producto dentro del paréntesis por separado y mantenemos la multiplicación,

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción a.

Utiliza la propiedad de potencias para una potencia en un paréntesis donde en el mismo existe una multiplicación de sus términos:

$(x\cdot y)^n=x^n\cdot y^n$Aplicamos esta ley a la expresión del problema:

$(5\cdot12\cdot4\cdot6)^{a+3bx}=5^{a+3bx}12^{a+3bx}4^{a+3bx}6^{a+3bx}$Cuando aplicamos una potencia para un paréntesis donde se multiplican sus términos retención lo realizamos por separado y mantenemos la multiplicación.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción d.

Utiliza la ley de potencias para un exponente que se aplica a los paréntesis en los que se multiplican los términos:

$(x\cdot y)^n=x^n\cdot y^n$

Aplicamos esta propiedad a la expresión del problema:

$(2\cdot4\cdot8)^{a+3}= 2^{a+3}4^{a+3}8^{a+3}$

Cuando aplicamos la potencia entre paréntesis a cada uno de los términos del producto dentro del paréntesis por separado y mantenemos la multiplicación.

La respuesta correcta es la opción d.

Utilizamos la propiedad de potencias para un exponente elevado a otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$Aplicamos esta ley a la expresión del problema:

$((3^9)^{4x})^{5y}= (3^9)^{4x\cdot 5y} =3^{9\cdot4x\cdot 5y}=3^{180xy}$Cuando en el primer paso aplicamos la propiedad de potencias mencionada anteriormente y nos deshicimos de los paréntesis exteriores, en el siguiente paso aplicamos nuevamente la propiedad de potencias en cuestión y nos deshicimos de los paréntesis restantes, en el siguiente paso simplificamos la expresión resultante.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción b.

Utilizando la ley de potencias de un exponente elevado a otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$Aplicamos la ley en la expresión del problema:

$((14^{3x})^{2y})^{5a}=(14^{3x})^{2y\cdot5a}=14^{3x\cdot2y\cdot5a}=14^{30xya}$Cuando en el primer paso aplicamos la propiedad de potencias antes mencionada y nos deshicimos de los paréntesis exteriores, en el siguiente paso aplicamos nuevamente la propiedad de potencias en cuestión y nos deshicimos de los paréntesis restantes, en el siguiente paso simplificamos la expresión resultante ,

Por lo tanto, del uso de la propiedad sustitutiva en la multiplicación (que se aplica en el exponente de la potencia en la expresión obtenida) se puede concluir que la respuesta correcta es la respuesta D.

En este caso tenemos 2 bases diferentes, por lo que sumaremos lo que se puede sumar, es decir, los exponentes de $3$

$3^x\cdot2^x\cdot3^{2x}=2^x\cdot3^{3x}$

Usamos la ley de potenciación para multiplicar términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$Aplicamos la ley en el problema:

$7^x\cdot7^{-x}=7^{x+(-x)}=7^{x-x}=7^0$Cuando en la primera etapa aplicamos la mencionada ley de potenciación y en las siguientes etapas simplificamos la expresión obtenida en el exponente,

Posteriormente usamos la propiedad de potenciación del cero:

$X^0=1$Obtenemos:

$7^0=1$Resumimos la solución al problema, obtuvimos que:

$7^x\cdot7^{-x}=7^{x-x}=7^0 =1$ Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B.

Para resolver este problema, reescribiremos la expresión $(15)^{xy}$ usando las reglas de exponentes.

• Paso 1: Entender que $(15)^{xy}$ puede ser reescrito usando la regla de potencia de una potencia.
• Paso 2: Aplicar la regla de exponentes $(a^m)^n = a^{m \times n}$. Sabemos que $(15^x)^y = (15)^{x \times y}$ y $(15^y)^x = (15)^{y \times x}$, ambos equivalentes a $(15)^{xy}$.
• Paso 3: Analizar cada opción:

Opción 1: $(15^y)^x$ es equivalente a $(15)^{xy}$ ya que aplicando la regla nos da $(15^y)^x = (15)^{y \times x} = (15)^{xy}$.
Opción 2: $(15^x)^y$ también es equivalente a $(15)^{xy}$ porque aplicando la regla obtenemos $(15^x)^y = (15)^{x \times y} = (15)^{xy}$.
Opción 3: $15^x \times 15^y$ resulta en $15^{x+y}$, que no es equivalente a $(15)^{xy}$ ya que usa la regla del producto de potencias.
Opción 4: Tanto $(15^y)^x$ como $(15^x)^y$ son correctas basadas en las reglas involucradas.

Basado en el análisis, la opción 4 (a'+b' son correctas) es la respuesta correcta.
Tanto $(15^y)^x$ como $(15^x)^y$ son representaciones equivalentes de $(15)^{xy}$.

Usamos la propiedad de potenciación de un exponente elevado a otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$Aplicamos esta propiedad en la expresión del problema:

$((4x)^{3y})^2= (4x)^{3y\cdot2}=(4x)^{6y}$Cuando en el primer paso aplicamos la propiedad de potenciación antes mencionada y nos deshicimos del paréntesis exterior, en el siguiente paso simplificamos la expresión resultante,

A continuación, recordamos la propiedad de potenciación para una potencia que se aplica a los paréntesis en los que se multiplican términos:

$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$Aplicamos esta propiedad en la expresión que obtuvimos en el último paso:

$(4x)^{6y} =4^{6y}\cdot x^{6y}$Cuando aplicamos la potencia que se aplica a los paréntesis para cada uno de los términos de la multiplicación dentro del paréntesis.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción D.