Función lineal - Ejemplos, Ejercicios y Soluciones

La función que vemos es una función decreciente,

Porque a medida que aumenta X, el valor de Y disminuye, creando la pendiente de la función.

Sabemos que esta función corta el eje X en el punto x=-4

Por lo tanto, podemos entender que hasta -4, los valores de Y son mayores que 0, y después de -4, los valores de Y son menores que cero.

Por lo tanto, la función será positiva sólo cuando

X < -4

Esta es una consigna de desigualdad. La desigualdad es en realidad un ejercicio que resolvemos de forma completamente normal, excepto en el caso de que multipliquemos o dividamos por menos.

Comencemos moviendo las secciones:

5X+8<9

5X<9-8

5X<1

Dividimos por 5:

X<1/5

¡Y esta es la solución!

Las ecuaciones de desigualdad se resolverán como una ecuación regular, excepto por una regla,

Si multiplicamos toda la ecuación por el menos, invertiremos la desigualdad.

Empezamos por mover las secciones, de modo que un lado tenga las incógnitas y el otro no:

-3x>-10-5

-3x>-15

Dividimos por 3

-x>-5

Dividimos por menos 1 (para deshacernos del menos) y recordemos invertir el signo de la ecuación.

x<5

En el ejercicio tenemos una ecuación de desigualdad.

Tratamos la desigualdad como una ecuación con el signo -=,

Y solo nos referimos a él si necesitamos multiplicar o dividir por 0.

 $10x-4 ≤ -3x-8$

Comenzamos ordenando las secciones:

$10x+3x-4 ≤ -8$

$13x-4 ≤ -8$

$13x ≤ -4$

Dividir por 13 para aislar la X

$x≤-\frac{4}{13}$

Veamos de nuevo las opciones que se nos han preguntado:

La respuesta A es con datos diferentes y por lo tanto fue rechazada.

La respuesta C muestra un caso donde X es mayor que$-\frac{4}{13}$, si bien sabemos que es pequeño, por lo que está rechazada.

La respuesta D muestra un caso (según el círculo blanco) donde la X no es igual a$-\frac{4}{13}$, y sólo más pequeño que él. Sabemos que debe ser grande e igual, por lo que se rechaza esta respuesta.

¡Por lo tanto la respuesta B es la correcta!

Cuando se nos pregunta cuáles son los dominios de positividad de la función, en realidad se nos pregunta en qué valores de X la función es positiva: se encuentra por encima del eje X.

¿En qué valores de X la función obtiene valores de Y positivos?

En la gráfica dada, observamos que la función está arriba del eje X antes del punto X=7, y debajo de la línea después de este punto. Es decir, la función es positiva cuando X>7 y negativa cuando X<7,

¡Y esta es la solución!

Para resolver una ecuación de desigualdad, al igual que una ecuación normal, intentamos aislar la incógnita (X).

Es importante señalar que en esta ecuación hay dos variables (X y a), por lo que es posible que no lleguemos a un resultado final.

 8x+a<3x-4

Movemos las secciones

8x-3x<-4-a

Reducimos los términos

5x<-4-a

Dividimos por 5

x< -a/5 -4/5

¡Y esta es la solución!

Recuerda que la tasa de cambio es igual a la pendiente.

En esta función:

$m=-3$

Por lo tanto, la función es decreciente.

Recordemos que la tasa de cambio es igual a la pendiente.

En este caso, la pendiente es:

$m=1$

Los dominios de positividad y negatividad están determinados por el punto de intersección de la función con el eje X, por lo que los valores de Y son mayores o menores que 0.

Nos dan la información de la intersección con el eje Y, pero no del punto de intersección con el eje X,

Además, no hay datos sobre la función en sí o la pendiente, por lo que no tenemos la capacidad de determinar el punto de intersección con el eje X,

Y así en las dominios de positividad y negatividad.

Dominio positivo es otro nombre para el punto a partir del cual los valores de x son positivos y no negativos.

A partir de la figura, se puede ver que la función asciende y pasa por el punto de intersección con el eje X (donde X es igual a 0) en el punto 2a.

Por lo tanto, es posible entender que desde el momento en que X es mayor que 2a, la función se encuentra en los dominios de positividad.

Por lo tanto, la función es positiva cuando:

2a < x

Para responder a la pregunta, recordemos primero qué es el "dominio de negatividad",

El dominio de negatividad: cuando los valores de Y son inferiores a 0.

Tenga en cuenta que el punto que se nos da no es el punto de intersección con el eje X sino con el eje Y,

Es decir, en este punto la función ya es positiva.

El punto que buscamos es el segundo, donde se produce la intersección con el eje X.

La función que estamos viendo es una función creciente, como se puede ver en el diagrama y la pendiente (una pendiente positiva significa que la función es creciente),

Esto significa que si queremos hallar el punto, tenemos que encontrar X que sea menor que 0

Ahora veamos las soluciones:

La Opción B y la Opción D se cancelan inmediatamente, ya que en ellas la X es mayor que 0.

Nos quedamos con la opción A y C.

La opción C describe una situación en la que, como X es menor que 0, la función es negativa,

Recuerda que sabemos que la pendiente es 1,

Lo que significa que por cada aumento en X, Y también aumenta en la misma proporción.

Es decir, si sabemos que cuando (0,1) la función ya es positiva, y queremos bajar Y a 0,

La X también disminuyó en el mismo valor. Si ambos disminuyen en 1, el punto resultante es (0,-1)

De esto aprendemos que la respuesta C es incorrecta y la respuesta A es correcta.

Siempre que X sea menor que -1, la función es negativa.

Para hallar los dominios de positividad, necesitaremos encontrar el punto de intersección de la ecuación con el eje x.

Para esto necesitamos encontrar la fórmula de la ecuación.

Sabemos que una ecuación lineal se construye así:

Y=MX+B

m representa la pendiente de la recta, que nos es dada: 1.5

b representa el punto de intersección de la recta con el eje Y, que se puede extraer del punto existente en la gráfica, -8. 

Y por lo tanto: 

Y=1.5X-8

Ahora, reemplazamos:

Y=0, ya que estamos tratando de encontrar el punto de intersección con el eje X.

0=1.5X-8
8=1.5X
5.3333 = X

Revelamos que el punto de intersección con el eje X es cinco y un tercio (5.333)

Ahora, como sabemos que la pendiente es positiva y la función es creciente, podemos concluir que el dominio de positividad es cuando los valores de x son menores que cinco y un tercio.

Es decir:

5.333>X

¡Y esta es la solución!

Para averiguar si la ecuación interseca el eje x, necesitamos sustituir y=0 en cada ecuación.
Si la función tiene una solución donde y=0, entonces la ecuación tiene un punto de intersección y no es la respuesta correcta.

Comencemos con la primera ecuación:

y = 3x+8

Sustituimos como se indica:

0 = 3x+8

3x = -8

x = -8/3

Aunque el resultado aquí no es un número "agradable", vemos que podemos llegar a un resultado y por lo tanto esta respuesta se rechaza.

Pasemos a la segunda ecuación:

y = 300x+50

Aquí también sustituimos:

0 = 300x + 50
-50 = 300x

-50/300 = x
-1/6 = x

En este ejercicio también logramos llegar a un resultado y por lo tanto la respuesta se rechaza.

Pasemos a la respuesta C:

y = 3

Sustituiremos:

0 = 3

Vemos que aquí se obtiene un resultado imposible porque 0 nunca puede ser igual a 3.

Por lo tanto, entendemos que la ecuación en la respuesta C es la que no interseca el eje x, y de hecho es positiva todo el tiempo.

Por lo tanto, la respuesta D también se rechaza, y solo la respuesta C es correcta.

Recuerda la fórmula para calcular la pendiente mediante los puntos:

Ahora, reemplazamos los datos en la fórmula:

$\frac{(5-1)}{(2-4)}=\frac{4}{-2}=-2$

Para resolver la consigna, recuerda la fórmula para hallar la pendiente mediante dos puntos

Ahora, reemplazamos los puntos dados en el cálculo:

 $\frac{(0-2)}{(0-(-8)}=\frac{-2}{8}=-\frac{1}{4}$