Técnica algebraica - Ejemplos, Ejercicios y Soluciones

Recordemos la propiedad distributiva extendida:

$(\textcolor{red}{a}+\textcolor{blue}{b})(c+d)=\textcolor{red}{a}c+\textcolor{red}{a}d+\textcolor{blue}{b}c+\textcolor{blue}{b}d$Tengamos en cuenta que la operación entre los términos de la expresión dentro del paréntesis entre los cuales se realiza la multiplicación es una operación de multiplicación:

$(a b)(c d)$Esto contrasta con la operación entre los términos en las expresiones entre paréntesis en la propiedad distributiva ampliada antes mencionada, que es la suma (o la resta, que en realidad es la suma del término con un signo menos),

Además, notaremos que como hay una multiplicación entre todos los términos, tanto en la expresión dentro del paréntesis como entre las expresiones dentro del paréntesis, existe una multiplicación donde los paréntesis en realidad son redundantes y se pueden omitir y obtenemos:

$(a b)(c d)= \\ abcd$Por lo tanto, la apertura de los paréntesis en la expresión dada con el uso de la propiedad distributiva extendida es incorrecta y produce un resultado incorrecto.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción d.

Simplificamos la expresión dada, abrimos paréntesis usando la propiedad distributiva extendida:

$(\textcolor{red}{x}+\textcolor{blue}{y})(t+d)=\textcolor{red}{x}t+\textcolor{red}{x}d+\textcolor{blue}{y}t+\textcolor{blue}{y}d$Tengamos en cuenta que en la forma de la fórmula de la propiedad distributiva mencionada anteriormente, asumimos por defecto que la operación entre los términos dentro del paréntesis es una operación de suma, por lo tanto, por supuesto, no olvidaremos que el signo del coeficiente del término es parte inseparable de él, también aplicaremos las reglas de multiplicación de signos y así podremos presentar cualquier expresión entre paréntesis, que se abre mediante la fórmula anterior, primero, como una expresión en la que hay una operación de suma entre todos los términos, en esta expresión, como queda claro, para todos los términos el coeficiente es el signo más, por lo tanto vamos directamente a la apertura del paréntesis,

$$Comenzamos con la apertura de paréntesis:

$(\textcolor{red}{x}+\textcolor{blue}{c})(4+c)\\ \textcolor{red}{x}\cdot 4+\textcolor{red}{x}\cdot c+\textcolor{blue}{c}\cdot 4+\textcolor{blue}{c} \cdot c\\ 4x+xc+4c+c^2$Para simplificar la expresión anterior, utilizamos la ley de potencias para la multiplicación entre términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

En el siguiente paso entran términos semejantes, definiremos términos semejantes como términos en los que las incógnitas(cada una por separado), en este caso, x y c, tienen potencias idénticas (en ausencia de una de las incógnitas de la expresión , nos referiremos a su potencia como potencia de cero, esto se debe a que elevando cada número a la potencia de cero da como resultado 1), además usaremos la propiedad sustitutiva, además ordenaremos la expresión de mayor a la potencia más baja de izquierda a derecha (nos referiremos al número libre como la potencia de cero),

Tengamos en cuenta que en la expresión que obtuvimos en el último paso hay cuatro términos diferentes, esto se debe a que no hay ni siquiera un par de términos en los que las incógnitas (diferentes) tengan la misma potencia, además ya está ordenado según potencia como arriba, por lo tanto la expresión que ya hemos obtenido es la expresión final y más simplificada:$\textcolor{purple}{4x}\textcolor{green}{+xc}\textcolor{black}{+4c}\textcolor{orange}{+c^2 }\\ \textcolor{orange}{c^2 }\textcolor{green}{+xc}\textcolor{purple}{+4x}\textcolor{black}{+4c}\\$Resaltamos a los diferentes términos mediante colores y, como se enfatizó antes, nos aseguramos de que el signo principal del término sea una parte integral del mismo.

Utilizamos la propiedad sustitutiva por la multiplicación para notar que la respuesta correcta es la opción A.

Simplifica esta expresión prestando atención al orden de las operaciones aritméticas que dice que la potenciación precede a la multiplicación y la división antes que la suma y la resta y que los paréntesis preceden a todas ellas.

Por lo tanto, primero comencemos simplificando las expresiones entre paréntesis, posteriormente realizamos la multiplicación entre ellas:

$(12+2)\cdot(3+5)= \\ 14\cdot8=\\ 112$

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción C.

Simplifica esta expresión prestando atención al orden de las operaciones aritméticas que dice que la potenciación precede a la multiplicación y la división antes que la suma y la resta y que los paréntesis preceden a todas ellas.

Por lo tanto, primero comencemos simplificando las expresiones entre paréntesis, posteriormente realizamos la multiplicación entre ellas:

$(3+20)\cdot(12+4)=\\ 23\cdot16=\\ 368$

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.

Abrimos los paréntesis usando la propiedad distributiva extendida y crearemos un ejercicio de suma largo:

Multiplicamos el primer término del paréntesis izquierdo por el primer término del paréntesis derecho.

Luego multiplicamos el primer término del paréntesis izquierdo por el segundo término del paréntesis derecho.

Ahora multiplicamos el segundo término del paréntesis izquierdo por el primer término del paréntesis izquierdo.

Por último, multiplicamos el segundo término del paréntesis izquierdo por el segundo término del paréntesis derecho.

De la siguiente manera:

$(35\times10)+(35\times5)+(4\times10)+(4\times5)=$

Resolvemos cada uno de los ejercicios entre paréntesis:

$350+175+40+20=$

Resolvemos el ejercicio de izquierda a derecha:

$350+175=525$

$525+40=565$

$565+20=585$

Cuando nos encontramos con un ejercicio de multiplicación de este tipo, podemos reconocer que se debe seguir la propiedad distributiva.

Paso 1: multiplica el primer factor del primer paréntesis por cada uno de los factores del segundo paréntesis.

Paso 2: multiplica el segundo factor del primer paréntesis por cada uno de los factores del segundo paréntesis.

Paso 3: agrupamos términos semejantes.

a * (c+3) =

a*c + a*3

4  * (c+3) =

4*c + 4*3

ac+3a+4c+12

No hay términos semejantes para simplificar aquí, ¡así que esta es la solución!

Para responder a este ejercicio, necesitamos entender cómo funciona la propiedad distributiva extendida:

Por ejemplo:

(a+1)∗(b+2)

Para resolver este tipo de ejercicios se deben resolver los siguientes pasos:

Paso 1: multiplicamos el primer factor del primer paréntesis por cada uno de los factores del segundo paréntesis.

Paso 2: multiplicamos el segundo factor del primer paréntesis por cada uno de los factores del segundo paréntesis.

Paso 3: agrupamos en términos semejantes.

ab∗2a∗b∗2

Comenzamos desde el primer número del ejercicio: 2x

2x*5x+2x*-7

10x²-14x

Continuaremos con el segundo factor: -3

-3*5x+-3*-7

-15x+21

Sumamos todos los datos juntos:

10x²-14x-15x+21

10x²-29x+21

Simplificamos la expresión dada factorizando los paréntesis usando la propiedad distributiva expandida:

$(\textcolor{red}{a}+\textcolor{blue}{b})(c+d)=\textcolor{red}{a}c+\textcolor{red}{a}d+\textcolor{blue}{b}c+\textcolor{blue}{b}d$Ten en cuenta que el signo antes del término es una parte inseparable del mismo.

También aplicaremos las leyes de multiplicación de signos y, por lo tanto, podemos presentar cualquier término entre paréntesis para simplificar las cosas.

$(2x-y)(4-3x)\\ (\textcolor{red}{2x}+\textcolor{blue}{(-y)})(4+(-3x))\\$Empecemos entonces abriendo los paréntesis:

$(\textcolor{red}{2x}+\textcolor{blue}{(-y)})(4+(-3x))\\ \textcolor{red}{2x}\cdot 4+\textcolor{red}{2x}\cdot(-3x)+\textcolor{blue}{(-y)}\cdot 4+\textcolor{blue}{(-y)} \cdot(-3x)\\ 8x-6x^2-4y+3xy$En las operaciones anteriores usamos las leyes de multiplicación de signos y la ley de exponentes para multiplicar términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

En el siguiente paso combinamos términos semejantes. Definimos términos semejantes como términos en los que las variables, en este caso, x e y, tienen potencias idénticas (en ausencia de una de las incógnitas en la expresión, consideraremos su potencia como potencia cero, ya que elevar cualquier número a la potencia de cero dará como resultado 1).

Ordenaremos la expresión de la potencia más alta a la más baja de izquierda a derecha (consideraremos el término independiente como la potencia de cero),

Ten en cuenta que en la expresión que obtuvimos en el último paso hay cuatro términos diferentes, ya que no hay ni siquiera un par de términos en los que las incógnitas (las variables) tengan la misma potencia, por lo que la expresión que ya obtuvimos es la expresión final y más simplificada.

Nos conformaremos con ordenarla nuevamente de la potencia más alta a la más baja de izquierda a derecha:
$\textcolor{purple}{ 8x}\textcolor{green}{-6x^2}-4y\textcolor{orange}{+3xy}\\ \textcolor{green}{-6x^2}\textcolor{orange}{+3xy}\textcolor{purple}{ +8x}-4y\\$Hemos resaltado los términos diferentes usando colores, y como ya se enfatizó antes, nos aseguramos de que el signo antes del término sea correcto.

Así, hemos obtenido que la respuesta correcta es la respuesta D.

Podemos utilizar el paréntesis de la derecha ya que se puede simplificar de la siguiente manera:

(8+a)

Luego obtendremos el ejercicio:

$(17+c)(8+a)=$

$136+17a+8c+ca$

Primero, descomponemos todas las potencias en ejercicios de multiplicación y al mismo tiempo intentamos reducir los números enteros tanto como sea posible:

7*2*xyz+2*4*x*x*y*y²*z

Ahora usamos la propiedad sustitutiva para ordenar la ecuación de una manera un poco más conveniente:

2*x*y*z*7+2*x*y*z*x*y²

Ahora intentamos encontrar el factor común entre todas las partes - 2xyz

2xyz(7+xy²)

Factorizar la expresión dada:

$xyz+yzt+ztw+wtr$Esto lo haremos mediante la extracción del máximo factor común, tanto de los números como de las letras,

Nos referimos a los números y letras por separado, recordando que un factor común es un factor (multiplicador) común a todos los términos de la expresión,

Como la expresión dada no tiene coeficientes numéricos (distintos de 1) buscaremos el máximo factor común de las letras:

Existen en la expresión cuatro términos:
$xyz,\hspace{4pt}yzt,\hspace{4pt}ztw,\hspace{4pt}wtr$Notaremos que en cada uno de los cuatro miembros hay tres letras diferentes, pero no hay una o más letras que estén incluidas (en la multiplicación) en todos los términos, es decir, no hay ningún factor común para los cuatro términos y por lo tanto no es posible factorizar esta expresión extrayendo un factor común

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción d.

Factorizar la expresión dada:

$15a^2+10a+5$Esto lo haremos sacando el máximo factor común, tanto de los números como de las letras,

Nos referiremos a los números y letras por separado, recordando que un factor común es un factor (multiplicador) común a todos los términos de la expresión,

Comencemos con los números

Tenga en cuenta que los coeficientes numéricos de los términos en la expresión dada, es decir, los números: 5,10,15 son todos múltiplos del número 5:

$15=3\cdot\underline{5}\\ 10=2\cdot\underline{5}\\$Por lo tanto, el número 5 es el máximo factor común de los números,

Para las letras:

Tenga en cuenta que sólo los dos primeros términos de la izquierda dependen de x, el tercer término es un número libre que no depende de x, por lo tanto no existe un factor común para los tres términos juntos para las letras (es decir, consideraremos el número 1 como factor común de las letras)

Por lo tanto resumimos:

El máximo factor común (para números y letras juntos) es:

$5\cdot1\\ \downarrow\\ 5$Tomémoslo, entonces, como un múltiplo fuera del paréntesis y realicemos la pregunta: "¿Cuántas veces multiplicaremos el factor común (incluido su signo) obteniendo cada uno de los términos de la expresión original (incluido su signo)?", así sabremos cuál es la expresión entre paréntesis que multiplicó el factor común:

$\textcolor{red}{ 15a^2}\textcolor{blue}{+10a} \textcolor{green}{+5} \\ \underline{5}\cdot\textcolor{red}{3a^2}+\underline{5}\cdot\textcolor{blue}{(+2a)}+\underline{5}\cdot\textcolor{green}{(+1)}\\ \downarrow\\ \underline{5}(\textcolor{red}{3a^2}\textcolor{blue}{+2a}\textcolor{green}{+1})$En la expresión anterior, la operación se explica mediante colores y signos:

El factor común se ha resaltado con un guion bajo, y los múltiplos dentro del paréntesis se asocian con los términos de la expresión original con la ayuda de colores, notamos que en el detalle de descomposición anterior también nos referimos al signo del factor común (en negro) que extrajimos como múltiplo fuera del paréntesis y el signo de los términos en la expresión original (en colores), no hay obligación de mostrarlo. Esto es en etapas como se describe arriba, puedes (y vale la pena) saltar directamente a la forma desglosada en la última línea, pero definitivamente debes referirte a los signos anteriores, ya que en cada miembro el signo es parte inseparable del mismo,

Podemos asegurarnos de que esta descomposición sea correcta fácilmente abriendo los paréntesis con la ayuda de la propiedad distributiva y asegurándonos de que la expresión original que descompusimos efectivamente se obtenga atrás - término, esto debe hacerse enfatizando el signo de los términos en la expresión original y el signo (que siempre es seleccionable) del factor común.

(Inicialmente, debe usar los colores anteriores para asegurarse de obtener todos los términos en la expresión original y pertenecer al múltiplo dentro del paréntesis; más adelante, se recomienda no usar los colores)

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción b.

Factorizar la expresión dada:

$4a+13b+58c$ Esto lo haremos extrayendo máximo factor común, tanto de los números como de las letras,

Nos referiremos a los números y letras por separado, recordando que un factor común es un factor (múltiplo) común a todos los términos de la expresión,

Comencemos por los números:

Notaremos que los coeficientes numéricos de los términos en la expresión dada, es decir, los números 4, 13, 58, no tienen un factor común, y esto se debe a que el número 13 es un número primo y los otros dos números no son múltiplos de él,

Por lo tanto no existe un factor común para los números (consideramos el número 1 (es la potencia del cero), como factor común para los números)

Para las letras:

Existen en la expresión tres términos:
$a,\hspace{4pt}b,\hspace{4pt}c$ Es fácil ver que no existe ningún factor común a estos tres términos,

Por lo tanto, no es posible factorizar la expresión dada con la ayuda del facto común.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción d.

Descompondremos el coeficiente de 20 en un ejercicio de multiplicación que nos ayudará a simplificar:$5\times4\times a\times b-4\times a\times c$

Extraemos 4a como factor común:$4a(5\times b-c)=4a(5b-c)$

Dividimos 14 en un ejercicio de multiplicación para que nos ayude a simplificar en consecuencia:$7\times a+7\times b\times2=$

Extraemos el factor común 7:

$7(a+2\times b)=7(a+2b)$