Potencias con exponente entero negativo: Convirtiendo exponentes negativos a exponentes positivos

Comencemos enfatizando que este problema requiere un enfoque diferente para aplicar las leyes de los exponentes y no es tan sencillo como muchos otros problemas resueltos hasta ahora. Debemos notar que es en realidad una expresión muy simplificada, sin embargo, para entender cuál de las respuestas es correcta, presentémosla de una manera ligeramente diferente,

Recordemos dos de las leyes de los exponentes:

a. La ley de exponentes elevados a un exponente, pero en la dirección opuesta:

$a^{m\cdot n} = (a^m)^n$b. La ley de exponentes aplicada a fracciones, pero en la dirección opuesta:

$\frac{a^n}{c^n} = \big(\frac{a}{c}\big)^n$

Trabajaremos en los dos términos del problema por separado, comenzando con el primer término de la izquierda:

$\frac{z^{8n}}{m^{4t}}$

Nota que tanto en el numerador como en el denominador, el número que se nos da en los exponentes es un múltiplo de 4. Por lo tanto, usando la primera ley de exponentes (en la dirección opuesta) mencionada anteriormente en a', podemos representar tanto el término en el numerador como el término en el denominador como términos con un exponente de 4:

$\frac{z^{8n}}{m^{4t}}=\frac{z^{2n\cdot4}}{m^{t\cdot4}}=\frac{(z^{2n})^4}{(m^t)^4}$

Primero vemos los exponentes como un múltiplo de 4, y luego aplicamos la ley de exponentes mencionada en a', al numerador y denominador.

A continuación, notaremos que tanto el numerador como el denominador tienen el mismo exponente, y por lo tanto podemos usar la segunda ley de exponentes mencionada en b', en la dirección opuesta:

$\frac{(z^{2n})^4}{(m^t)^4} =\big(\frac{z^{2n}}{m^t}\big)^4$

Pudimos usar la segunda ley de exponentes en su dirección opuesta porque los términos en el numerador y denominador de la fracción tienen el mismo exponente.

Resumamos la solución hasta ahora. Obtuvimos que:

$\frac{z^{8n}}{m^{4t}}=\frac{(z^{2n})^4}{(m^t)^4}=\big(\frac{z^{2n}}{m^t}\big)^4$

Ahora detengámonos aquí y echemos un vistazo a las respuestas dadas:

Nota que existen términos similares en todas las respuestas, sin embargo, en la respuesta a' el exponente (en este caso su numerador y denominador son opuestos a la expresión que obtuvimos en la última etapa) es completamente diferente del exponente en la expresión que obtuvimos (es decir, ni siquiera tiene el signo opuesto al exponente en la expresión que obtuvimos).

Además, está el coeficiente 4 que no existe en nuestra expresión, por lo tanto descalificaremos esta respuesta,

Ahora refiramos a la respuesta propuesta d' donde solo existe el primer término de la multiplicación en el problema dado y está claro que no hay información en el problema que pudiera llevar a que el valor del segundo término en la multiplicación sea 1, así que descalificaremos esta respuesta también,

Si es así, nos quedamos con las respuestas b' o c', pero el primer término:

$(\frac{m^t}{z^{2n}})^{-4}$en ellas, es similar pero no idéntico, al término que obtuvimos en la última etapa:

$\big(\frac{z^{2n}}{m^t}\big)^4$La clara diferencia entre ellos está en el exponente, que en la expresión que obtuvimos es positivo y en las respuestas b' y c' es negativo,

Esto nos recuerda la ley de exponentes negativos:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

Antes de volver a resolver el problema entendamos esta ley de una manera ligeramente diferente, indirecta:

Si nos referimos a esta ley como una ecuación (y de hecho es una ecuación para todos los efectos), y multiplicamos ambos lados de la ecuación por el denominador común que es:

$a^n$obtendremos:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}\\ \frac{a^n}{1} =\frac{1}{a^n}\hspace{8pt} \text{/}\cdot a^n\\ a^n\cdot a^{-n}=1$

Aquí recordamos que cualquier número puede convertirse en una fracción escribiéndolo como sí mismo dividido por 1, aplicamos esto al lado izquierdo de la ecuación, luego multiplicamos por el denominador común y para saber por cuánto multiplicamos cada numerador (después de encontrar el denominador común) nos preguntamos "¿por cuánto multiplicamos el denominador actual para obtener el denominador común?".

Veamos el resultado que obtuvimos:

$a^n\cdot a^{-n}=1$lo que significa que $a^n,\hspace{4pt}a^{-n}$son números recíprocos entre sí, o en otras palabras:

$a^n$es recíproco de $a^{-n}$(y viceversa).

Podemos aplicar esta comprensión al problema si también recordamos que el número recíproco de una fracción es el número obtenido al intercambiar el numerador y el denominador, lo que significa que las fracciones:

$\frac{a}{b},\hspace{4pt}\frac{b}{a}$

son fracciones recíprocas entre sí- lo que tiene sentido, ya que multiplicarlas nos dará 1.

Y si combinamos esto con la comprensión anterior, podemos concluir que:

$\big(\frac{a}{b}\big)^{-1}=\frac{b}{a}$

lo que significa que elevar una fracción a la potencia de menos uno dará un resultado que es la fracción recíproca, obtenida al intercambiar el numerador y el denominador.

Volvamos al problema y apliquemos estos entendimientos. Primero revisaremos brevemente lo que ya hemos hecho:

Tratamos el primer término de la izquierda del problema:

$\frac{z^{8n}}{m^{4t}}\cdot c^z=\text{?}$y después de tratarlo usando las leyes de exponentes obtuvimos que puede ser representado como:

$\frac{z^{8n}}{m^{4t}}=\frac{(z^{2n})^4}{(m^t)^4}=\big(\frac{z^{2n}}{m^t}\big)^4$

Luego después de descalificar las respuestas a' y d' por las razones mencionadas anteriormente, queríamos mostrar que el término que obtuvimos en la última etapa:

$\big(\frac{z^{2n}}{m^t}\big)^4$es idéntico al primer término en la multiplicación de términos en las respuestas b' -c':

$(\frac{m^t}{z^{2n}})^{-4}$Ahora después de que entendimos que elevar una fracción a la potencia de $-1$intercambiará entre el numerador y el denominador, lo que significa que:

$\big(\frac{a}{b}\big)^{-1}=\frac{b}{a}$podemos volver a la expresión que obtuvimos para el primer término en la multiplicación , y presentarla como un término con un exponente negativo y en el denominador de la fracción:

$\big(\frac{z^{2n}}{m^t}\big)^4 = \big(\big(\frac{m^t }{z^{2n}}\big)^{-1}\big)^4 = \big(\frac{m^t }{z^{2n}}\big)^{-1\cdot4}=\big(\frac{m^t }{z^{2n}}\big)^{-4}$

Aplicamos el entendimiento mencionado anteriormente dentro de los paréntesis y presentamos la fracción como la fracción recíproca a la potencia de $-1$y en la siguiente etapa aplicamos la ley de exponentes elevados a un exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$a la expresión que obtuvimos, luego simplificamos la expresión en el exponente,

Si es así, probamos que la expresión que obtuvimos en el último paso (la primera expresión en el problema) es idéntica a la primera expresión en la multiplicación en las respuestas b' y c',

Continuaremos entonces y nos enfocaremos en elegir entre estas opciones para el segundo término del problema.

El segundo término en la multiplicación en el problema es:

$c^z$

$$Volvamos a las respuestas propuestas b' y c' (que aún no han sido descalificadas) y notemos que en realidad solo el segundo término en la multiplicación en la respuesta b' es similar a este término (y no en la respuesta c'), excepto que está en el denominador y tiene un exponente negativo mientras que en nuestro caso (el término en el problema) está en el numerador (ver nota al final de la solución) y tiene un exponente positivo.

Esto nos recordará nuevamente la ley de exponentes negativos, lo que significa que querremos presentar el término en el problema con el que estamos tratando actualmente, como teniendo un exponente negativo y en el denominador, lo haremos de la siguiente manera:

$c^z=c^{-(\underline{-z})}=\frac{1}{c^{\underline{-z}}}$$$

Aquí presentamos el término en cuestión como teniendo un exponente negativo, usando las leyes de multiplicación, y luego aplicamos la ley de exponentes negativos:

$a^{-\underline{n}}=\frac{1}{a^-\underline{n}}$

Cuidadosamente - porque la expresión con la que estamos tratando ahora tiene un signo negativo (indicado por un subrayado, tanto en la ley de exponentes aquí como en el último cálculo realizado)

Resumamos:

$\frac{z^{8n}}{m^{4t}}\cdot c^z=\big(\frac{z^{2n}}{m^t}\big)^4\cdot c^z=\big(\frac{m^t }{z^{2n}}\big)^{-4}\cdot\frac{1}{c^{-z}}$Y por lo tanto la respuesta correcta es la respuesta b'.

Nota:

Cuando vemos "el número en el numerador" cuando no hay fracción, es porque siempre podemos referirnos a cualquier número como un número en el numerador de una fracción si recordamos que cualquier número dividido por 1 es igual a sí mismo, es decir, siempre podemos escribir un número como una fracción escribiéndolo así:

$X=\frac{X}{1}$y por lo tanto podemos referirnos a $X$como un número en el numerador de una fracción.

Usaremos la siguiente ley de exponentes negativos:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ Antes de abordar la resolución del problema entenderemos esta ley de una manera ligeramente diferente:

Observa que si tratamos esta ley como una ecuación (y es de hecho una ecuación en todo sentido), y multiplicamos ambos lados de la ecuación por el denominador común que es:

$a^n$obtenemos:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}\\ \frac{a^n}{1} =\frac{1}{a^n}\hspace{8pt} \text{/}\cdot a^n\\ a^n\cdot a^{-n}=1$ En la primera etapa recordamos que cualquier número puede convertirse en una fracción simplemente dividiéndolo por 1, aplicamos esto al lado izquierdo de la ecuación, luego multiplicamos por el denominador común. Para saber por cuánto necesitamos multiplicar cada numerador (después de la reducción con el denominador común) nos preguntamos "¿Por cuánto multiplicamos el denominador original para obtener el denominador común?".

Prestemos atención al resultado que obtuvimos:

$a^n\cdot a^{-n}=1$lo que significa que $a^n,\hspace{4pt}a^{-n}$son números recíprocos entre sí, o en otras palabras:

$a^n$es recíproco de $a^{-n}$(y viceversa),

y en particular:

$a,\hspace{4pt}a^{-1}$son recíprocos entre sí,

Podemos aplicar esta comprensión al problema si también recordamos que obtenemos el número recíproco de una fracción intercambiando el numerador y el denominador, lo que significa que las fracciones:

$\frac{a}{b},\hspace{4pt}\frac{b}{a}$son fracciones recíprocas entre sí - lo cual puede comprobarse fácilmente, ya que multiplicarlas claramente nos dará 1.

Si combinamos esto con la comprensión anterior, podemos concluir que:

$\big(\frac{a}{b}\big)^{-1}=\frac{b}{a}$lo que significa que elevar una fracción a la potencia de menos uno siempre dará la fracción recíproca, obtenida intercambiando el numerador y el denominador.

Volvamos al problema y apliquemos estos entendimientos.

Además, recordaremos la ley de multiplicación de exponentes, pero en la dirección opuesta:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$También aplicaremos esta ley al problema:

$\big (\frac{7}{8} \big )^{-4}\cdot\frac{8}{7}+\frac{7}{8}\cdot \big (\frac{8}{7} \big )^{-3}=\text{?}$donde trataremos cada uno de los términos en la suma dada por separado:

a. Comenzaremos tratando por separado el primer término desde la izquierda en la suma del problema:

$\big (\frac{7}{8} \big )^{-4}\cdot\frac{8}{7}= \big (\frac{7}{8} \big )^{-1\cdot 4}\cdot\frac{8}{7}= \big (\big (\frac{7}{8}\big )^{-1} \big )^{4}\cdot\frac{8}{7}$En el primer paso, presentamos la expresión del exponente como una multiplicación, en el segundo paso aplicamos la ley de multiplicación de exponentes en la dirección opuesta.

A continuación, recordaremos que elevar una fracción a la potencia de menos uno siempre dará la fracción recíproca. Aplicaremos esto al primer término en la expresión de multiplicación que obtuvimos en la última etapa:

$\big (\big (\frac{7}{8}\big )^{-1} \big )^{4}\cdot\frac{8}{7}= \big (\frac{8}{7} \big )^{4}\cdot\frac{8}{7}$A partir de aquí notamos que todos los términos en la expresión de multiplicación que obtuvimos en la última etapa tienen bases idénticas:

$\frac{8}{7}$Así que recordaremos la ley de multiplicación de exponentes con bases idénticas:$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$y aplicaremos esta ley a la expresión que obtuvimos en la última etapa:

$\big (\frac{8}{7} \big )^{4}\cdot\frac{8}{7} =\big (\frac{8}{7} \big )^{4+1} =\big (\frac{8}{7} \big )^{5}$ En la primera etapa aplicamos la ley de exponentes mencionada anteriormente recordando que: $\frac{8}{7}=\big(\frac{8}{7}\big)^1$y en las siguientes etapas simplificamos la expresión en el exponente

Resumamos lo que hemos hecho hasta ahora:

Para el primer término en la suma del problema, obtuvimos que:

$\big (\frac{7}{8} \big )^{-4}\cdot\frac{8}{7}= \big (\frac{8}{7} \big )^{4}\cdot\frac{8}{7} =\big (\frac{8}{7} \big )^{5}$

b. Ahora pasaremos a tratar el segundo término:

$\frac{7}{8}\cdot \big (\frac{8}{7} \big )^{-3}$

Usaremos la ley conmutativa de la multiplicación e intercambiaremos, por conveniencia, entre los dos términos en la expresión de multiplicación con la que estamos tratando ahora, luego aplicaremos (nuevamente) la ley de multiplicación de exponentes, pero en su dirección opuesta:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$ y luego - trataremos este término de la misma manera que hicimos con el primer término.

$\big (\frac{8}{7} \big )^{-3}\cdot \frac{7}{8}= \big (\frac{8}{7} \big )^{-1\cdot 3}\cdot\frac{7}{8}= \big (\big (\frac{8}{7}\big )^{-1} \big )^{3}\cdot\frac{7}{8}$En el primer paso presentamos la expresión del exponente como una multiplicación, en el segundo paso aplicamos la ley de multiplicación de exponentes en su dirección opuesta.

A continuación, aplicaremos el entendimiento de que elevar una fracción a la potencia de menos uno siempre dará la fracción recíproca.

Aplicaremos esto al primer término en la expresión de multiplicación que obtuvimos en el último paso:

$\big (\big (\frac{8}{7}\big )^{-1} \big )^{3}\cdot\frac{7}{8} = \big (\frac{7}{8} \big )^{3}\cdot\frac{7}{8}$A partir de aquí notamos que todos los términos en la expresión de multiplicación que obtuvimos en la última etapa tienen bases idénticas:

$\frac{7}{8}$Así que aplicaremos la ley de multiplicación de exponentes con bases idénticas:$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$y aplicaremos esta ley a la expresión que obtuvimos en la última etapa:

$\big (\frac{7}{8} \big )^{3}\cdot\frac{7}{8} =\big (\frac{7}{8} \big )^{3+1} =\big (\frac{7}{8} \big )^{4}$En la primera etapa aplicamos la ley de exponentes mencionada anteriormente recordando que: $\frac{7}{8}=\big(\frac{7}{8}\big)^1$y en las siguientes etapas simplificamos la expresión en el exponente.

Resumamos lo que hemos obtenido hasta ahora para el segundo término desde la izquierda en el problema.

Obtuvimos que:

$\big (\frac{8}{7} \big )^{-3}\cdot \frac{7}{8} = \big (\frac{7}{8} \big )^{3}\cdot\frac{7}{8} =\big (\frac{7}{8} \big )^{4}$

Ahora volvamos al problema original y reemplacemos los términos originales con las soluciones a y b .

Obtuvimos que:

$\big (\frac{7}{8} \big )^{-4}\cdot\frac{8}{7}+\frac{7}{8}\cdot \big (\frac{8}{7} \big )^{-3}= \big (\frac{8}{7} \big )^{4}\cdot\frac{8}{7} + \big (\frac{7}{8} \big )^{3}\cdot\frac{7}{8} =\big (\frac{8}{7} \big )^{5}+ \big (\frac{7}{8} \big )^{4}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es la respuesta a.