Potencias con exponente entero negativo: Uso de las leyes de los exponentes

Utilizamos la propiedad de potencias para el producto entre paréntesis:

$(z\cdot t)^n=z^n\cdot t^n$

Es decir que la potencia aplicada a un producto entre paréntesis se aplica a cada término del mismo cuando se abren los paréntesis,

Aplicamos la propiedad para el problema:

$(8\cdot9\cdot5\cdot3)^{-2}=8^{-2}\cdot9^{-2}\cdot5^{-2}\cdot3^{-2}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción c.

Nota:

De la fórmula de la propiedad de potencias entre paréntesis mencionada anteriormente, se puede entender que se refiere solo a dos términos del producto entre paréntesis, pero en realidad también es válida para la potencia sobre una multiplicación de muchos términos entre paréntesis, como por ejemplo lo que se hizo en este problema y en otros problemas.

Un buen ejercicio es demostrar que si la propiedad anterior es válida para una potencia sobre un producto de dos términos entre paréntesis (como está formula anteriormente), entonces también es válida para una potencia sobre varios términos del producto entre paréntesis (por ejemplo - tres términos, etc.).

Usamos la fórmula:

$(\frac{a}{b})^{-n}=(\frac{b}{a})^n$

Por lo tanto, obtenemos:

$(\frac{3}{2})^4$

Usamos la fórmula:

$(\frac{b}{a})^n=\frac{b^n}{a^n}$

Por lo tanto, obtenemos:

$\frac{3^4}{2^4}=\frac{3\times3\times3\times3}{2\times2\times2\times2}=\frac{81}{16}$

Usamos la propiedad de potenciación para un exponente negativo:

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$Aplicamos esta propiedad en el problema:

$10^8+10^{-4}+(\frac{1}{10})^{-16}=10^8+\frac{1}{10^4}+(10^{-1})^{-16}$$$Cuando aplicamos la propiedad de potenciación antes mencionada para el segundo término de la suma del problema, y ​​la misma propiedad pero en la dirección opuesta: la aplicamos para la fracción dentro de los paréntesis del tercer término de la suma,

Ahora recordemos la propiedad de potenciación para un exponente elevado a otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$Aplicamos esta propiedad en la expresión que obtuvimos en el último paso:

$10^8+\frac{1}{10^4}+(10^{-1})^{-16}=10^8+\frac{1}{10^4}+10^{(-1)\cdot(-16)}=10^8+\frac{1}{10^4}+10^{16}$Cuando aplicamos esta propiedad al tercer término desde la izquierda y simplificamos aún más la expresión resultante,

Resumiendo los pasos de resolución, obtenemos que:

$10^8+10^{-4}+(\frac{1}{10})^{-16}=10^8+\frac{1}{10^4}+(10^{-1})^{-16} =10^8+\frac{1}{10^4}+10^{16}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.

Primero usamos dos propiedades de potenciación:

a. Propiedad de potenciación de un exponente negativo:

$$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$b. Propiedad de potenciación de un exponente elevado a otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$Nos ocupamos del término medio en la multiplicación del numerador de la fracción del problema:

$\frac{2^{-4}\cdot(\frac{1}{2})^8\cdot2^{10}}{2^3}=\frac{2^{-4}\cdot(2^{-1})^8\cdot2^{10}}{2^3}=\frac{2^{-4}\cdot2^{-1\cdot8}\cdot2^{10}}{2^3}=\frac{2^{-4}\cdot2^{-8}\cdot2^{10}}{2^3}$Mientras, en la primera etapa aplicamos la propiedad de potenciación negativa especificada en A al término dentro de los paréntesis del término medio en el numerador de la fracción, en la segunda etapa aplicamos la propiedad de potenciación especificada en B a este término, posteriormente simplificamos la expresión en el exponente,

Continuamos y recordamos la propiedad de potenciación para multiplicar términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$Aplicamos esta propiedad en el numerador de la fracción que obtuvimos en el último paso:

$\frac{2^{-4}\cdot2^{-8}\cdot2^{10}}{2^3}=\frac{2^{-4+(-8)+10}}{2^3}=\frac{2^{-4-8+10}}{2^3}=\frac{2^{-2}}{2^3}$Recordemos ahora la propiedad de potenciación para dividir términos de bases idénticas:

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$Aplicamos esta propiedad en la expresión que obtuvimos en el último paso:

$\frac{2^{-2}}{2^3}=2^{-2-3}=2^{-5}$Resumimos los pasos de resolución hasta aquí, obteniendo que:

$\frac{2^{-4}\cdot(\frac{1}{2})^8\cdot2^{10}}{2^3}=\frac{2^{-4}\cdot2^{-8}\cdot2^{10}}{2^3} =\frac{2^{-2}}{2^3}=2^{-5}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B.