Potencias con exponente entero negativo: Identificar el valor mayor

En este problema, se nos pide determinar si es una igualdad o una desigualdad, y si es una desigualdad - ¿cuál es su dirección?

Para hacer esto, primero usaremos la ley de exponentes para exponentes negativos:

$x^{-n}=\frac{1}{x^n}$Antes de empezar a resolver el problema, entendamos esta ley de una manera ligeramente diferente:

Nota que si tratamos esta ley como una ecuación (de hecho, es una ecuación en todo sentido), y multiplicamos ambos lados de la ecuación por el denominador común que es:

$x^n$Obtenemos:

$x^{-n}=\frac{1}{x^n}\\ \frac{x^n}{1} =\frac{1}{x^n}\hspace{8pt} \text{/}\cdot x^n\\ x^n\cdot x^{-n}=1$En la primera parte recordamos que cualquier número puede ser representado como sí mismo dividido por 1. Aplicamos esto al lado izquierdo de la ecuación, luego multiplicamos por el denominador común.

Para saber por cuánto necesitamos multiplicar cada numerador (después de la reducción con el denominador común) nos preguntamos "¿Por cuánto multiplicamos el denominador actual para obtener el denominador común?".

Veamos el resultado que obtuvimos:

$x^n\cdot x^{-n}=1$Lo que significa que $x^n,\hspace{4pt}x^{-n}$son números recíprocos entre sí, o en otras palabras:

$x^n$es recíproco de $x^{-n}$(y viceversa),

Y en particular:

$x,\hspace{4pt}x^{-1}$son recíprocos entre sí,

Podemos aplicar este entendimiento al problema si también recordamos el hecho de que el recíproco de una fracción es el número que obtenemos al intercambiar el numerador y el denominador, lo que significa que las fracciones:

$\frac{z}{w},\hspace{4pt}\frac{w}{z}$son fracciones recíprocas entre sí - lo cual puede entenderse lógicamente, ya que su multiplicación claramente dará el resultado 1.

Y si combinamos esto con el entendimiento previo, podemos concluir fácilmente que:

$\big(\frac{z}{w}\big)^{-1}=\frac{w}{z}$Lo que significa que elevar una fracción a la potencia de menos uno nos dará la fracción recíproca, obtenida al intercambiar el numerador y el denominador.

Volvamos al problema y apliquemos estos entendimientos, además recordaremos la ley de multiplicación de exponentes, pero en la dirección opuesta:

$(z^m)^n=z^{m\cdot n}$

También aplicaremos esta ley al problema, primero trataremos con el término de la izquierda:

$\big(\frac{a}{b}\big)^{-7}\cdot b^8$Comenzaremos con el primer término en la expresión:

$\big(\frac{a}{b}\big)^{-7}= \big (\frac{a}{b} \big )^{-1\cdot 7}= \big (\big (\frac{a}{b}\big )^{-1} \big )^{7}$En la primera parte presentamos la expresión exponencial como una multiplicación entre dos números, en la segunda parte aplicamos la ley de multiplicación de exponentes en su dirección opuesta.

A continuación, aplicaremos el entendimiento de que elevar una fracción a la potencia de menos uno siempre dará la fracción recíproca, obtenida al intercambiar el numerador con el denominador: aplicaremos esto al primer término en la expresión que obtuvimos en la última parte:

$\big (\big (\frac{a}{b}\big )^{-1} \big )^{7} = \big (\frac{b}{a} \big )^{7}$Resumamos. Obtuvimos que:

$\big(\frac{a}{b}\big)^{-7}\cdot b^8 = \big (\big (\frac{a}{b}\big )^{-1} \big )^{7}\cdot b^8= \big (\frac{b}{a} \big )^{7} \cdot b^8$

Ahora volvamos al problema y examinemos lo que tenemos:

$\big (\frac{b}{a} \big )^{7} \cdot b^8 \text{ }_{—\text{ }}\big(\frac{b}{a}\big)^7 \cdot b^{-4}$Usamos la propiedad distributiva y reorganizamos la expresión del lado derecho.

Nota que, en ambos lados, la primera expresión (es decir, la fracción con el exponente) es idéntica. Sin embargo, el segundo término en la multiplicación es diferente en ambos lados, y esto es porque se da que:

b>1 (Si también pudiera ser igual a uno, podríamos argumentar que tal vez estos términos podrían ser iguales, pero se da que es mayor que uno y por lo tanto estos términos son ciertamente diferentes).

Por lo tanto, podemos concluir que esto no es una igualdad sino una desigualdad, y necesitamos determinar su dirección.

A continuación, notemos que ya que también se da que:

a>0 Podemos concluir que:

\big (\frac{b}{a} \big )^{7} >0 Y esto es porque tanto el numerador de la fracción como el denominador de la fracción son números positivos,

Y por lo tanto la dirección de la desigualdad no depende de este término, (si no supiéramos el signo de este término con certeza, no podríamos determinar la dirección de la desigualdad más adelante)

Significando-

El término que determinará la dirección de la desigualdad es el segundo término en la multiplicación en ambos lados, es decir, necesitamos encontrar la dirección entre los términos:

$b^8 \text{ }_{—\text{ }}b^{-4}$Mantenemos los lados originales en los que estaban estos términos.

Será suficiente para responder el problema dado.

Para esto, recordaremos las reglas de desigualdad para expresiones exponenciales, que simplemente establecen que la dirección de desigualdad entre expresiones exponenciales con bases iguales será determinada tanto por el valor de las bases como por los exponentes de la siguiente manera:

Para una base mayor que uno, la dirección de desigualdad entre las expresiones exponenciales mantendrá la dirección de desigualdad entre los exponentes, es decir, para una base: $x$, tal que:

$$ x>1 (La base siempre se define como un número positivo)

Y exponentes $z,\hspace{4pt}w$tales que: z>w Se cumple que:

x^z>x^w

Y para una base menor que 1 y mayor que 0, la dirección de desigualdad entre las expresiones exponenciales será opuesta a la dirección de desigualdad entre los exponentes, es decir, para una base: $x$, tal que:

$$ 1 >x>0 (La base siempre se define como un número positivo)

Y exponentes $z,\hspace{4pt}w$tales que: z>w Se cumple que:

x^w >x^z

Volvamos entonces al problema:

Se nos pide determinar la dirección de desigualdad entre las expresiones:

$b^8 \text{ }_{—\text{ }}b^{-4}$De lo que se da en el problema b>1 Es decir, mayor que uno, y por lo tanto la dirección de desigualdad entre las expresiones será la misma que la dirección de desigualdad entre los exponentes.

Por lo tanto, examinaremos los exponentes de las expresiones en cuestión aquí.

Ya que está claro que:

8>-4 Entonces se cumple que:

b^8 \text{ }>{\text{ }}b^{-4}

Y por lo tanto la respuesta correcta es la respuesta B.