Razón de semejanza - Ejemplos, Ejercicios y Soluciones

De los datos del dibujo parece que el ángulo M es igual al ángulo B

También el ángulo A es un ángulo compartido por ambos triángulos ABC y AMN

Es decir, los triángulos ABC y AMN son semejantes respectivamente según el teorema del ángulo - ángulo.

Según las letras los lados que son iguales entre sí son:

$\frac{AB}{AM}=\frac{BC}{MN}=\frac{AC}{AN}$

Ahora podemos calcular la razón entre los lados de los triángulos dados:

$MN=3,BC=6$$\frac{6}{3}=2$

Primero observemos los ángulos C y E que son iguales a 30 grados:

El ángulo C es el lado opuesto de AB y el ángulo E es el lado opuesto de BD.

$\frac{AB}{DB}$

Ahora observemos el ángulo B que es igual a 90 grados en ambos triángulos:

En el triángulo ABC el lado opuesto es AC y en el triángulo EBD el lado opuesto es ED.

$\frac{AC}{ED}$

Observemos los ángulos A y D que son iguales a 60 grados:

El ángulo A es el lado opuesto de CB, el ángulo D es el lado opuesto de EB

$\frac{CB}{EB}$

Es decir, a partir de esto se puede argumentar que:

$\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{ED}$

Y también:$\frac{CB}{ED}=\frac{AB}{BD}$

Para responder a la pregunta, primero debemos entender qué es la "razón de semejanza".

En triángulos semejantes, la razón entre los lados es constante.

En la consigna, no tenemos datos de ninguno de los lados.

Sin embargo, una razón de semejanza de 1 significa que los lados son exactamente del mismo tamaño.

Es decir, los triángulos no solo son semejantes sino también congruentes.

En el dibujo, puedes observar claramente que los triángulos son de diferentes tamaños y, por lo tanto, claramente la relación de similitud entre ellos no es 1.

El triángulo a y el triángulo b son semejantes según el teorema L.L.L (lado lado lado)

Y la relación entre los lados es idéntica:

$\frac{GH}{DE}=\frac{HI}{EF}=\frac{GI}{DF}$

$\frac{9}{6}=\frac{3}{1}=\frac{6}{2}=3$

Es decir, la razón entre ellos es 1:3.

Elevamos al cuadrado. 7 al cuadrado es igual a 49.

Calculamos el perímetro del triángulo pequeño (superior):

$3.5+1.5+4=9$

Por lo tanto, de la semejanza se entiende que la razón entre los lados del triángulo es igual a la razón entre los perímetros de los triángulos.

Identificaremos el perímetro del triángulo grande con una X:

$\frac{x}{9}=\frac{14}{3.5}$

$3.5x=14\times9$

$3.5x=126$

$x=36$

Denominamos al triángulo pequeño A y al triángulo grande B, escribimos la razón:

$\frac{A}{B}=\frac{3}{4}$

Potenciamos:

$\frac{S_A}{S_B}=(\frac{3}{4})^2$

$\frac{S_A}{S_B}=\frac{9}{16}$

Por lo tanto, la razón es 9:16

Multiplicamos la razón por 2

$9:8=18:16$

Elevado a la potencia de 2:

$9^2:8^2=81:64$

La razón de semejanza es 1:4

La longitud del lado correspondiente en el triángulo pequeño es:

$\frac{42}{4}=6$

El perímetro del triángulo izquierdo: 13+12+5=25+5=30

Por lo tanto el perímetro del triángulo de la derecha dividido por 30 es igual a 5.2 dividido por 13:

$\frac{x}{30}=\frac{5.2}{13}$

$13x=156$

$x=12$

Anotamos la razón del perímetro según los datos de la siguiente manera:

$\frac{P_2}{P_1}=\sqrt{\frac{S_2}{S_1}}$

Reemplazamos los datos existentes

$\frac{P_2}{38}=\sqrt{\frac{81}{361}}$

$\frac{P_2}{38}=\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{361}}=\frac{9}{19}$

Multiplicamos por 38

$P_2=\frac{9}{19}\times38=18$

Primero, debemos recordar la fórmula del área de un paralelogramo:$\text{Lado }x\text{ Altura}$.

En este caso intentaremos hallar la altura CH y el lado BC.

Comenzamos desde el lado

Primero, observemos el pequeño triángulo EBG,

Como es un triángulo rectángulo, podemos usar el teorema de Pitágoras (

$A^2+B^2=C^2$)

$BG^2+4^2=5^2$

$BG^2+16=25$

$BG^2=9$

$BG=3$

Ahora, comencemos a buscar GC.

Primero, recuerda que el deltoide tiene dos pares de lados adyacentes iguales, por lo tanto:$FC=EC=9$

Ahora también podemos hacer en el triángulo GCE Pitágoras.

$GC^2+4^2=9^2$

$GC^2+16=81$

$GC^2=65$

$GC=\sqrt{65}$

Ahora podemos calcular el lado BC:

$BC=BG+GT=3+\sqrt{65}\approx11$

Ahora, observemos el triángulo BGE y DHC

Ángulo BGE = 90°
Ángulo CHD = 90°
Ángulo CDH=EBG porque estos son ángulos opuestos paralelos.

Por lo tanto, entre los dos triángulos existe una razón de semejanza, entonces:

$\frac{HD}{BG}=\frac{HC}{GE}$

$\frac{HD}{BG}=\frac{7.5}{3}=2.5$

$\frac{HC}{EG}=\frac{HC}{4}=2.5$

$HC=10$

Ahora que hay una altura y un lado solo queda calcular.

$10\times11\approx110$