Cociente de potencia: Sistema de ecuaciones sin solución

Comenzamos analizando la expresión dada: $\frac{\left(9\times5\right)^{12}}{\left(5\times9\right)^6}$. Usando la propiedad de exponentes conocida como la Regla de la Potencia de un Cociente, podemos reescribir esta expresión.
Esta regla establece que $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. Aquí, tanto el numerador como el denominador tienen la misma base, $9\times5$ o equivalentemente $5\times9$, por lo tanto podemos aplicar esta regla.

Apliquemos la Regla de la Potencia de un Cociente:

• Identificar la base, que es $9\times5$.

• Restar el exponente del denominador del exponente en el numerador: $12 - 6$.

Por lo tanto, la expresión se simplifica a $\left(9\times5\right)^{12-6}$.

La solución a la pregunta es: $\left(9\times5\right)^{12-6}$.

Comenzamos con la expresión dada:
$\frac{\left(4\times5\right)^{8}}{\left(4\times5\right)^4}$

Según la regla de la potencia de un cociente para exponentes, podemos simplificar una expresión de la forma $\frac{a^m}{a^n}$ como $a^{m-n}$.
Esta regla establece que cuando dividimos dos exponentes con la misma base, restamos los exponentes.

Aplicando esta regla a nuestra expresión, tenemos:

• Base: $4 \times 5$
• Exponente en el numerador: $8$
• Exponente en el denominador: $4$

Por lo tanto, restamos los exponentes en el cociente:

$(4\times5)^{8-4}$

Simplificando el exponente:

$(4\times5)^{4}$

Por lo tanto, la expresión se simplifica a:
$(4\times5)^{8-4}$.

La solución a la pregunta es $\left(4\times5\right)^{8-4}$.

La expresión dada es $\frac{\left(15\times2\right)^{17}}{\left(2\times15\right)^{13}}$. Para simplificar
usando la regla de exponentes conocida como la Regla de la Potencia de un Cociente, que establece

Cuando divides bases iguales, restas los exponentes:

$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Primero, observa que tanto el numerador como el denominador tienen la base $15 \times 2$. Por lo tanto, podemos simplificar restando los exponentes en el numerador y el denominador:

• Exponente del numerador: 17
• Exponente del denominador: 13

Necesitamos simplificar la expresión: $\frac{\left(3\times6\right)^{10}}{\left(3\times6\right)^7}$.

De acuerdo con la Regla de la Potencia de un Cociente para Exponentes, que establece que $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, podemos simplificar cualquier fracción donde el numerador y el denominador tienen la misma base y diferentes exponentes restando sus exponentes.

En nuestro caso, la base común es $3\times6$. Apliquemos la regla:

• El exponente en el numerador es 10.
• El exponente en el denominador es 7.

Entonces, según la regla, restamos el exponente del denominador del exponente del numerador:

$(3\times6)^{10-7}$.

Por lo tanto, la expresión se simplifica a $\left(3\times6\right)^{10-7}$.

Para resolver el problema, primero necesitamos aplicar las reglas de los exponentes, específicamente enfocándonos en la regla de "Potencia de un Cociente". La expresión dada es:

$\frac{\left(10\times2\right)^{20}}{\left(2\times10\right)^7}$

Podemos notar que tanto el numerador como el denominador tienen la misma base, que es $(10 \times 2) \ or \ (2 \times 10)$. Por lo tanto, simplifiquemos la base:

• $a = 10 \times 2 = 20$

Así, tanto el numerador como el denominador pueden reescribirse con la base $a$:

• $a^{20}$ para el numerador

• $a^{7}$ para el denominador

Ahora, usando la regla de "Potencia de un Cociente":

$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

Aplicamos esta regla a nuestra expresión:

$\frac{a^{20}}{a^7} = a^{20-7}$

Esto se simplifica a:

$a^{13}$

Sustituyendo el valor de $a$:

$\left(2 \times 10\right)^{13}$

Sin embargo, verifiquemos la forma de la solución dada en el problema:

La solución sugerida es:

$\left(2 \times 10\right)^{20-7}$

En efecto, esto verifica nuestro cálculo de que la expresión se simplifica a $\left(2 \times 10\right)^{13}$.

La solución a la pregunta es: $\left(2 \times 10\right)^{13}$

Para resolver este problema, seguiremos estos pasos:

• Paso 1: Identificar la base y los exponentes de la expresión.
• Paso 2: Aplicar la regla del cociente para exponentes.
• Paso 3: Simplificar la expresión.

Ahora, trabajemos cada paso:

Paso 1: La expresión dada es $\frac{(16 \times 5)^{25}}{(16 \times 5)^{21}}$, donde la base es $(16 \times 5)$ y los exponentes son 25 y 21.

Paso 2: Aplicando la regla del cociente para exponentes, que establece que $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, restamos el exponente del denominador del exponente del numerador. Por lo tanto, tenemos:

$(16 \times 5)^{25-21}$

Paso 3: Simplificando los exponentes resulta en:

$(16 \times 5)^4$

Por lo tanto, la opción correcta es la expresión simplificada:

$(16 \times 5)^{25-21}$

Al revisar las opciones proporcionadas:

• Opción 1: $(16 \times 5)^{25 \times 21}$ es incorrecta porque indica multiplicación de exponentes, no la resta necesaria.
• Opción 2: $(16 \times 5)^{25-21}$ es correcta, reflejando la resta de exponentes.
• Opción 3: $(16 \times 5)^{25+21}$ es incorrecta ya que aplica la regla equivocada (suma en lugar de resta).
• Opción 4: $(16 \times 5)^{\frac{25}{21}}$ es incorrecta ya que la regla del cociente para exponentes requiere resta, no división.

Por lo tanto, la opción 2 es la respuesta correcta.

Para resolver la expresión dada $\frac{\left(7\times2\right)^{9}}{\left(2\times7\right)^2}$, aplicaremos la Regla de la Potencia de un Cociente para Exponentes. Esta regla establece que $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

La base de los exponentes tanto en el numerador como en el denominador es la misma, $7 \times 2$ o equivalentemente $2 \times 7$.

1. Primero, observa que la estructura es $\frac{(7\times2)^9}{(7\times2)^2}$.

2. Usando la Regla de la Potencia de un Cociente: $\frac{(7\times2)^9}{(7\times2)^2} = (7\times2)^{9-2}$$$

3. Simplifica la expresión en el exponente: $9 - 2 = 7$

4. Por lo tanto, la expresión simplificada es \$(7\times2)^7$

La solución a la pregunta es: $(7\times2)^{9-2}$

Resolvamos la expresión dada paso a paso usando la regla de la potencia de un cociente para exponentes. La regla establece que $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$, donde $a$ es cualquier número diferente de cero, y $n$ y $m$ son números enteros.

Dada la expresión: $\frac{\left(2\times3\right)^{6}}{\left(2\times3\right)^3}$

• Primero, aplica la fórmula de la regla de la potencia de un cociente para exponentes: $\frac{\left(2\times3\right)^{6}}{\left(2\times3\right)^3} = \left(2\times3\right)^{6-3}$.

• El exponente en el numerador es 6, y el exponente en el denominador es 3.

• Resta el exponente del denominador del exponente del numerador: $6 - 3 = 3$.

• Por lo tanto, la expresión se simplifica a: $\left(2\times3\right)^3$.

La solución a la pregunta es: $\left(2\times3\right)^{6-3}$

Resolvamos la expresión matemática dada paso a paso usando las reglas de los exponentes.

• Comenzamos con la expresión: $\frac{\left(11\times12\right)^{30}}{\left(11\times12\right)^{30}}$.

• De acuerdo con las reglas de los exponentes, específicamente la regla del cociente, que establece que cuando divides potencias con la misma base, restas sus exponentes: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

• Aplicando esta regla a la expresión, dado que la base $11 \times 12$ es la misma tanto en el numerador como en el denominador, restamos los exponentes:

  • El numerador es $\left(11\times12\right)^{30}$ y el denominador es $\left(11\times12\right)^{30}$.

  • Por lo tanto, $\frac{\left(11\times12\right)^{30}}{\left(11\times12\right)^{30}} = \left(11\times12\right)^{30-30}$.

• Simplificando más, tenemos:

  • $\left(11\times12\right)^{30-30} = \left(11\times12\right)^{0}$.

  • Cualquier número diferente de cero elevado a la potencia de 0 es 1. Sin embargo, aquí la expresión se deja en forma de exponente como se solicita.

La solución a la pregunta es: $\left(11\times12\right)^{30-30}$

Se nos da la expresión: $\frac{\left(8\times7\right)^{15}}{\left(8\times7\right)^3}$

Para resolver esto, podemos usar la Regla de la Potencia de un Cociente para Exponentes. Esta regla establece que para cualquier número distinto de cero $a$ y $b$, y cualquier número entero $m$ y $n$, la expresión:

$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

puede simplificarse restando el exponente del denominador del exponente del numerador.

Usando la Regla de la Potencia de un Cociente, apliquémosla a nuestra expresión:

Dado: $\frac{\left(8\times7\right)^{15}}{\left(8\times7\right)^3}$

Según la regla: $\left(8\times7\right)^{15-3}$

Entonces, la expresión simplificada es: $\left(8\times7\right)^{12}$

Por lo tanto, la expresión simplificada correcta es: $\left(8\times7\right)^{15-3}$