Cociente de potencia: Uso de múltiples reglas

Primero nos ocupamos del primer término de la multiplicación, tengamos en cuenta que los términos del numerador y del denominador tienen bases idénticas, por lo tanto usamos la propiedad de potenciación para dividir entre términos con la misma base:

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$Aplicamos el primer término de la expresión:

$\frac{a^{3b}}{a^{2b}}\cdot a^b=a^{3b-2b}\cdot a^b=a^b\cdot a^b$Cuando simplificamos adicionalmente la expresión que obtuvimos como resultado de la operación de resta en el exponente del primer término,

Posteriormente, tengamos en cuenta que los dos términos de la multiplicación tienen la misma base, por lo tanto usamos la propiedad de potenciación para la multiplicación entre términos con las mismas bases:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$Aplicamos esto al problema:

$a^b\cdot a^b=a^{b+b}=a^{2b}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.

Primero reescribimos la primera expresión de la izquierda del problema como una fracción:

$\frac{a^2}{a}+a^3\cdot a^5$Posteriormente usamos dos propiedades de potenciación, para multiplicar y dividir términos con bases idénticas:

A.

$b^m\cdot b^n=b^{m+n}$2.

$\frac{b^m}{b^n}=b^{m-n}$Regresamos al problema y aplicamos las dos propiedades de potenciación mencionadas anteriormente:

$\frac{a^2}{a}+a^3\cdot a^5=a^{2-1}+a^{3+5}=a^1+a^8=a+a^8$

Más adelante tengamos en cuenta que debemos descomponer en factores la expresión que obtuvimos en el último paso extrayendo el factor común,

Por lo tanto, extraemos de fuera de los paréntesis el máximo divisor común a los dos términos que son:

$a$ Obtenemos la expresión:

$a+a^8=a(1+a^7)$cuando utilizamos la propiedad de potenciación mencionada anteriormente en A.

$$$a^8=a^{1+7}=a^1\cdot a^7=a\cdot a^7$

Resumiendo la solución al problema y todos los pasos, obtuvimos lo siguiente:

$\frac{a^2}{a}+a^3\cdot a^5=a(1+a^{7)}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción b.

Primero, simplifica el numerador y el denominador por separado:
Numerador: $X^4 \cdot X^3 = X^{4+3} = X^7$
Denominador: $X^5 \cdot X^2 = X^{5+2} = X^7$

Ahora, combina el numerador y denominador simplificados:

$\frac{X^7}{X^7}$

Como cualquier número dividido por sí mismo es 1, tenemos:

$\frac{X^7}{X^7} = 1$

Por lo tanto, la respuesta correcta es:

$1$

Nos enfocamos en el primer término del problema, es decir, la fracción,

Para ello recordamos dos propiedades de potenciación:

A. Propiedad de potenciación para la multiplicación entre términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$B. Propiedad de potenciación para la división entre términos con bases idénticas:

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$Aplicamos las propiedades de potenciación en el problema:

$$$\frac{17^{-3}\cdot17^{3x}}{17}-17x=\frac{17^{-3+3x}}{17}-17x=17^{-3+3x-1}-17x=17^{3x-4}-17x$Cuando en el primer paso aplicamos la propiedad de potenciación especificada en A arriba al numerador de la fracción y en el siguiente paso aplicamos la propiedad de potenciación especificada en B a la expresión resultante, luego simplificamos la expresión.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.

Recordemos la propiedad de potenciación para una multiplicación entre términos con bases idénticas:

$b^m\cdot b^n=b^{m+n}$Aplicamos esta propiedad al numerador de fracción en la expresión del problema:

$\frac{a^4a^8a^{-7}}{a^9}=\frac{a^{4+8+(-7)}}{a^{^9}}=\frac{a^{4+8-7}}{a^9}=\frac{a^5}{a^9}$Cuando en el primer paso aplicamos la mencionada propiedad de potenciación y en los siguientes pasos simplificamos la expresión obtenida,

Recordemos ahora la propiedad de potenciación para la división entre términos con bases idénticas:

$\frac{b^m}{b^n}=b^{m-n}$Aplicamos esta propiedad para la expresión que obtuvimos en el último paso:

$\frac{a^5}{a^9}=a^{5-9}=a^{-4}$Recordemos ahora la propiedad de potenciación para un exponente negativo:

$b^{-n}=\frac{1}{b^n}$Aplicamos esta propiedad de potenciación en la expresión que obtuvimos en el último paso:

$a^{-4}=\frac{1}{a^4}$Resumimos los pasos de la solución hasta el momento, obtuvimos que:

$\frac{a^4a^8a^{-7}}{a^9}=\frac{a^5}{a^9}=\frac{1}{a^4}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción a.

Utilizamos las tres propiedades de potencias apropiadas para resolver el problema:

1. Ley de potencias para la multiplicación entre términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ 2. Ley de potencias para un exponente elevado a otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$ 3. Ley de potencias para la división de términos con bases idénticas:

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

Continuamos y aplicamos las tres leyes anteriores al problema:

$2^3\cdot2^4+(4^3)^2+\frac{2^5}{2^3}=2^{3+4}+4^{3\cdot2}+2^{5-3}=2^7+4^6+2^2$

Cuando en el primer paso aplicamos la ley de potencias mencionada en el punto 1 a la primera expresión de la izquierda, la ley de potencias mencionada en el punto 2 a la segunda expresión de la izquierda y la ley de potencias mencionada en el punto 3 a la tercera expresión de la izquierda izquierda, por separado, y en el segundo paso simplificamos las expresiones por exponentes posesión de los términos recibidos,

Más adelante, utilizando la propiedad sustitutiva en la suma, reconocemos que la respuesta correcta es D.

Para resolver el problema utilizamos dos leyes de potencia, recuérdalas:

A. Propiedad de potencias para términos con bases idénticas:

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$B. Propiedad de potencias para un exponente elevado a otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$Aplicamos estas dos leyes de potencia a la expresión del problema en dos pasos:

Comencemos y apliquemos la ley de potencia especificada en A al segundo término desde la izquierda en la expresión del problema:

$\frac{2^7}{2^4}=2^{7-4}=2^3$Cuando en el primer paso aplicamos la ley de potencias especificada en A y en los siguientes pasos simplificamos la expresión resultante,

Procederemos al siguiente paso y aplicaremos la ley de potencias especificada en B y abordaremos el tercer término desde la izquierda en la expresión del problema:

$(8^2)^5=8^{2\cdot5}=8^{10}$Cuando en la primera etapa aplicamos la ley de potencias especificada en B y en las siguientes etapas simplificamos la expresión resultante,

Resumamos los dos pasos enumerados anteriormente para resolver el problema general:

$(4\cdot7)^9+\frac{2^7}{2^4}+(8^2)^5= (4\cdot7)^9+2^3+8^{10}$En el siguiente paso, calculamos el resultado de multiplicar los términos dentro de los paréntesis en el primer término de la izquierda:

$(4\cdot7)^9+2^3+8^{10}=28^9+2^3+8^{10}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción c.

Primero usamos dos propiedades de potenciación:

a. Propiedad de potenciación de un exponente negativo:

$$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$b. Propiedad de potenciación de un exponente elevado a otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$Nos ocupamos del término medio en la multiplicación del numerador de la fracción del problema:

$\frac{2^{-4}\cdot(\frac{1}{2})^8\cdot2^{10}}{2^3}=\frac{2^{-4}\cdot(2^{-1})^8\cdot2^{10}}{2^3}=\frac{2^{-4}\cdot2^{-1\cdot8}\cdot2^{10}}{2^3}=\frac{2^{-4}\cdot2^{-8}\cdot2^{10}}{2^3}$Mientras, en la primera etapa aplicamos la propiedad de potenciación negativa especificada en A al término dentro de los paréntesis del término medio en el numerador de la fracción, en la segunda etapa aplicamos la propiedad de potenciación especificada en B a este término, posteriormente simplificamos la expresión en el exponente,

Continuamos y recordamos la propiedad de potenciación para multiplicar términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$Aplicamos esta propiedad en el numerador de la fracción que obtuvimos en el último paso:

$\frac{2^{-4}\cdot2^{-8}\cdot2^{10}}{2^3}=\frac{2^{-4+(-8)+10}}{2^3}=\frac{2^{-4-8+10}}{2^3}=\frac{2^{-2}}{2^3}$Recordemos ahora la propiedad de potenciación para dividir términos de bases idénticas:

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$Aplicamos esta propiedad en la expresión que obtuvimos en el último paso:

$\frac{2^{-2}}{2^3}=2^{-2-3}=2^{-5}$Resumimos los pasos de resolución hasta aquí, obteniendo que:

$\frac{2^{-4}\cdot(\frac{1}{2})^8\cdot2^{10}}{2^3}=\frac{2^{-4}\cdot2^{-8}\cdot2^{10}}{2^3} =\frac{2^{-2}}{2^3}=2^{-5}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B.

Abordamos el problema

$\big( \big(\frac{1}{5} \big)^2 \big)^?:5=125$ como una ecuación para todo (y por supuesto es de hecho una ecuación),

Por lo tanto, reemplazamos el signo del problema en la incógnita x y la resolvemos:

$\big( \big(\frac{1}{5} \big)^2 \big)^x:5=125$ Más adelante recordaremos que dividir por un determinado número es multiplicar por su inverso, por lo que reescribiremos la ecuación dada teniendo esto en cuenta:

$\big( \big(\frac{1}{5} \big)^2 \big)^x\cdot \frac{1}{5}=125$

Ahora discutimos brevemente la técnica de solución:

De manera bastante general, el objetivo al resolver ecuaciones exponenciales es lograr llegar a una situación en la que haya un término en cada uno de los dos lados de la ecuación para que ambos lados tengan la misma base, en tal situación podemos afirmar inequívocamente que los exponentes de potencia en ambos lados de la ecuación son iguales, y resolver una ecuación simple para la incógnita,

De forma matemática, realizaremos una manipulación matemática (según las leyes por supuesto) en ambos lados de la ecuación (o desarrollo de uno de los lados con la ayuda de propiedades de potencia y álgebra) y llegaremos a la siguiente situación:

$b^{m(x)}=b^{n(x)}$cuando $m(x),\hspace{4pt}n(x)$ Expresiones algebraicas (en realidad funciones de la incógnita $x$) que también puede excluir a las incógnitas ($x$) que tratamos de encontrar en el problema, que es la solución a la ecuación,

A continuación se afirma que:

$m(x)=n(x)$ y resolvemos la ecuación simple que obtenemos,

Volvemos a resolver la ecuación en el problema dado:

$\big( \big(\frac{1}{5} \big)^2 \big)^x\cdot \frac{1}{5}=125$ En la solución de esta ecuación se utilizan varias propiedades de potencias:

a. Propiedad de potencias con exponente negativo:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$b. Propiedad de potencias para una potencia de un exponente elevado a otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$

Primero llegaremos a una presentación simple de los términos de la ecuación, es decir, "eliminamos" fracciones y raíces (si hay alguna en el problema, no hay ninguna aquí)

Para hacer esto, comenzaremos tratando con la fracción en el lado izquierdo de la ecuación:

$\frac{1}{5}$Es decir, tanto la fracción dentro del paréntesis como la fracción fuera del paréntesis, esto se hace con la ayuda de la propiedad de potencias con exponente negativo especificada en A arriba y representamos esta fracción como un término con potencia negativa y en el siguiente paso aplicaremos la propiedad de potencias para una potencia de un exponente elevado a otro exponente especificada en B arriba y nos desharemos de los paréntesis, otro paso comenzando desde el paréntesis interno hacia el externo, haremos esto, paso a paso por continuación:

$\big( \big(\frac{1}{5} \big)^2 \big)^x\cdot \frac{1}{5}=125 \\ \big( (5^{-1})^2 \big)^x\cdot 5^{-1}=125 \\ (5^{(-1)\cdot 2} )^x\cdot 5^{-1}=125 \\ 5^{(-1)\cdot 2\cdot x} \cdot 5^{-1}=125 \\ 5^{-2x} \cdot 5^{-1}=125 \\$Cuando llevamos a cabo el desarrollo del lado izquierdo de la ecuación como se describió anteriormente, inicialmente aplicamos la propiedad de potencias con exponente negativo que se mencionó anteriormente en A y en los siguientes pasos aplicamos la propiedad de potencias para una potencia de un exponente elevado a otro exponente mencionado anteriormente en B y nos deshicimos de los paréntesis: comenzando desde el paréntesis interno hasta el externo, en el último paso simplificamos la expresión en el exponente de potencia en el lado izquierdo de la ecuación,

c. Más adelante recordamos la propiedad de potencias para multiplicar términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$Y aplicaremos esta ley al lado izquierdo de la ecuación que obtuvimos en el último paso, esto es para tener un término en este lado, haremos esto:

$5^{-2x} \cdot 5^{-1}=125 \\ 5^{-2x+(-1)}=125 \\ 5^{-2x-1}=125 \\$Cuando en el primer paso aplicamos la ley de potencias antes mencionada al producto entre miembros con bases idénticas mencionado anteriormente en C y en los siguientes pasos simplificamos la expresión en el exponente de potencia del lado izquierdo,

A continuación, nos gustaría obtener la misma base en ambos lados de la ecuación, la mejor manera de conseguirlo es descomponiendo todos y cada uno de los números del problema en factores primos (utilizando potencias también), notarán que el número 125 es una potencia del número 5, es decir:

$125=5^3$ Esta es la presentación (factorización) del número 125 utilizando su factor primo, que es el número 5, por lo que volvemos a la ecuación que recibimos en el paso anterior y reemplazamos este número por su descomposición en factores primos:

$5^{-2x-1}=125 \\ 5^{-2x-1}=5^3 \\$Hemos alcanzado nuestro objetivo, hemos recibido una ecuación en la que ambos lados tienen términos con la misma base, por lo tanto podemos afirmar que los exponentes de potencia de los términos en ambos lados son iguales, y para resolver la ecuación resultante para la incógnita, realizaremos esto:

$5^{-2x-1}=5^3 \\ \\ \downarrow\\ -2x-1=3$ Continuaremos y resolveremos la ecuación resultante, lo haremos mediante el aislamiento de la incógnita en el lado izquierdo, lo lograremos de la manera habitual, moviendo las secciones y dividiendo la ecuación final por el coeficiente de incógnita:

$-2x-1=3 \\ -2x=3+1\\ -2x=4 \hspace{8pt}\text{/:}(-2) \\ \frac{\not{-2}x}{\not{-2}}=\frac{4}{-2}\\ x=-\frac{4}{2}\\ \bm{x=-2 }$ Cuando en el primer paso simplificamos la ecuación moviendo los lados, recordando que cuando un término se mueve su signo cambia, luego completamos el aislamiento anulando dividiendo ambos lados de la ecuación por su coeficiente, en los últimos pasos, simplificamos la expresión obtenida al reducir las fracciones,

Hemos resuelto así la ecuación dada, resumimos brevemente los pasos de la solución:

$\big( \big(\frac{1}{5} \big)^2 \big)^x\cdot \frac{1}{5}=125 \\ \big( (5^{-1})^2 \big)^x\cdot 5^{-1}=125 \\ 5^{-2x} \cdot 5^{-1}=125 \\ 5^{-2x-1}=5^3 \\ \downarrow\\ -2x-1=3 \\ -2x=4 \hspace{8pt}\text{/:}(-2) \\ \bm{x=-2 }$ Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción a.